柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)隨動平臺運動學(xué)分析

王 震， 于正林， 朱振濤

(長春理工大學(xué) 機電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)首先是驅(qū)動器輸出的力和運動，通過控制柔索的長度來控制末端執(zhí)行器的位姿狀態(tài)。柔索的長度較長，靈活性較大。所以柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)具有工作空間大、機動性能高、承載能力強和結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉等優(yōu)勢,因此柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)近年來得到了眾多學(xué)者的重視[1]。20世紀(jì)80年代，麻省理工首次針對剛性壁的大慣量、串聯(lián)柔性臂的低剛性、負(fù)載能力低和工作空間小的缺點，提出了索引并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用和設(shè)計問題[2]。錢森等[3]進行了大型重載起重吊裝空間協(xié)作柔索并聯(lián)構(gòu)型裝備機構(gòu)的動態(tài)性能分析與協(xié)調(diào)控制技術(shù)研究；劉鵬等[4]進行了高速柔索牽引攝像機機器人機動性與穩(wěn)定性研究；當(dāng)今柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)在3D打印、并聯(lián)機器人、太空探測等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，但是在其他領(lǐng)域仍有很大的應(yīng)用空間。

柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)研究是柔索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)研究的基礎(chǔ)工作，運動學(xué)分析為并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型建立和運動控制打下理論基礎(chǔ)。汪選要等[5]提出了并聯(lián)機構(gòu)CRPM (Completely Restrained Position Mechanisms) 正解的三棱錐法,確定了正解的數(shù)目,給出了其解析形式,并以反解為已知通過實例驗證。張立勛等[6]給出了完全約束和冗余約束柔索并聯(lián)機構(gòu)的力螺旋可行工作空間判斷條件,即需要同時具備結(jié)構(gòu)矩陣滿秩、結(jié)構(gòu)矩陣零空間元素大于0和柔索拉力具有根據(jù)實際情況確定的最大最小值限制。文中擬對四柔索并聯(lián)機構(gòu)進行運動學(xué)分析，并仿真驗證其可行性。

1 追蹤隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型

文中追蹤隨動系統(tǒng)采用的結(jié)構(gòu)模型為四索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，它具有結(jié)構(gòu)簡單、靈活性高的優(yōu)點。其機構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 追蹤隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型

四索并聯(lián)機構(gòu)主要由驅(qū)動裝置(電機)、傳動裝置(定滑輪)、高架桿、柔索、追蹤平臺幾部分構(gòu)成。4個電機分別在追蹤平臺四個頂角的位置均勻排列固定在實驗臺上，電機帶動繞線輪的旋轉(zhuǎn)來收放柔索，柔索穿過定滑輪與追蹤平臺相連，追蹤平臺在四根柔索的牽引下，在四個高架桿圍成的空間內(nèi)跟隨驅(qū)動器輸出的力和運動進行移動。圖1中Pi(i=1～4)為柔索與追蹤平臺的連接點，Ai(i=1～4)為定滑輪在高架桿頂端的位置，由于定滑輪的尺寸較小，所以將Ai點近似為柔索與定滑輪的切點位置，定義Bi(i=1～4)點為驅(qū)動裝置上的纏線輪與柔索的切點。

建立如圖1所示坐標(biāo)原點為B1B2B3B4組成的矩形中心的全局坐標(biāo)系O-XYZ和建立追蹤動平臺上的局部坐標(biāo)系o-xyz，其原點位于P1P2P3P4四點的中心。全局坐標(biāo)系中OX方向為水平方向，OY方向為豎直方向，OZ方向根據(jù)右手定則為垂直于B1B2B3B4組成的平面方向向上。局部坐標(biāo)系中ox，oy，oz方向分別與OX，OY，OZ方向平行(見圖1)。

初始平衡狀態(tài)下各點坐標(biāo)分別為：

式中：a----由柔索與定滑輪的切點組成的矩形中B1B4與B2B3的長度;

b----矩形中B1B2與B3B4的長度;

p----正方形追蹤隨動平臺邊長;

h----柔索和纏線輪的切點與柔索和定滑輪切點連線的高度值，垂直于實驗平臺。

隨動平臺結(jié)構(gòu)模型各參數(shù)見表1。

表1 隨動平臺結(jié)構(gòu)模型參數(shù) cm

2 運動學(xué)逆解分析

追蹤隨動平臺的逆運動學(xué)[7]分析是在已知末端執(zhí)行機構(gòu)(追蹤平臺)運動規(guī)律的前提下，分析各輸入構(gòu)件的運動參數(shù)。首先是位置分析，為后面的速度分析、加速度分析、誤差分析提供理論依據(jù)。就文中而言，柔索在實際應(yīng)用中存在自身彈性模量較大的問題，會發(fā)生彈性形變產(chǎn)生牽張力。但是在對追蹤隨動平臺的運動學(xué)分析過程中假設(shè)柔索剛度較大的理想模型，不會有彈性形變的影響。所以分析輸入構(gòu)件的運動參數(shù)指的就是求解四根柔索的長度Li(i=1～4)。

追蹤隨動平臺[8]的位置和姿態(tài)信息分別用位置矢量和旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化矩陣表示。采用四索驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的一條支鏈的示意圖如圖2所示。

圖2 單條支鏈的示意圖

(1)

式中：

R=Rot(Z,α)Rot(Y,β)Rot(Z,γ)=

(2)

B=(XP,YP,ZP)T,

(3)

其中

cα=cosα,

sα=sinα,

cβ=cosβ,

sβ=sinβ,

cγ=cosγ,

sγ=sinγ,

式中：α、β、γ----分別表示局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的歐拉角。

由以上公式可以得到追蹤隨動平臺與柔索的連接點在全局坐標(biāo)系中的位置矢量Pi。由此，可以通過全局坐標(biāo)系中求得柔索索長為

Li=Ai-Pi。

(4)

矢量Li(i=1～4)的方向為追蹤隨動平臺與柔索的連接點指向柔索與定滑輪的連接點見圖2。索長li(i=1～4)可通過下式求得

(5)

由式(1)可以得出,追蹤隨動平臺p與索長l之間的位移關(guān)系。則追蹤隨動平臺的運動方程可以表示為

l=Jp。

(6)

將式(2)兩邊對時間t進行求導(dǎo)，可以得出平臺的運動速度與柔索伸縮變化的速度關(guān)系，其表達式為

(7)

J----速度雅可比矩陣或速度影響系數(shù)，表示動平臺速度與索長速度的線性變換，其矩陣表達式為

(8)

3 運動學(xué)正解分析

追蹤隨動系統(tǒng)的運動學(xué)正解是在已知各支鏈柔索索長的情況下，求解追蹤平臺位姿的過程。與運動學(xué)逆解過程相比，對四驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解的求解更加困難，因此運動學(xué)正解求解方法一直是并聯(lián)機構(gòu)研究的難點和熱點。運動學(xué)正解求解方法主要包括解析法和數(shù)值法兩種。數(shù)值法更加穩(wěn)定，同時計算速度更快，文中采用迭代法，從運動學(xué)公式出發(fā)，根據(jù)各個位置點之間的聯(lián)系構(gòu)造迭代方程求解。

3.1 雅可比矩陣

通過式(1)來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(9)

變量P=[x,y,z]T為追蹤平臺的運動位置，該目標(biāo)函數(shù)可以求出使得理論索長與實際索長的二次方之差為最小值時的解。

則目標(biāo)函數(shù)的雅可比矩陣表示為

(10)

由牛頓-拉夫森迭代法可得

Pk+1=Pk+δPk,

(11)

式中：δPk----增量值。

δPk=-J+P(Pk)。

(12)

由矩陣論相關(guān)理論可知，矩陣J的偽逆矩陣為

J+=(JTJ)-1JT。

(13)

3.2 牛頓迭代法

通過牛頓迭代法迭代開始時，先代入預(yù)估的追蹤平臺的初始位置，P0=[x0,y0,z0]T代入式(1)得出預(yù)估索長‖L0‖，再將其結(jié)果代入式(8)和式(9)中求出對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)F(P)和雅可比矩陣J，由式(11)求出其增量值δPk，若δPk不滿足下式

‖δPk‖<ε。

(14)

將δPk代入式(10)求出δPk+1，繼續(xù)重復(fù)上述過程，直至δPk滿足式(13)，迭代終止。ε為自身設(shè)定的收斂精度，在牛頓迭代法中，迭代初始值P0的選取對計算過程影響較大，因此在實際應(yīng)用中，P0通常選取靠近目標(biāo)點的值，這樣可以提高計算效率，減少迭代次數(shù)。

根據(jù)上述方法，在給定預(yù)估的初始位置P0和收斂精度ε后，可得程序框圖如圖3所示。

圖3 牛頓迭代法程序框圖

4 運動學(xué)仿真

4.1 運動學(xué)逆解仿真

基于驗證上述運動學(xué)逆解運算的準(zhǔn)確性，文中對追蹤隨動平臺的運動學(xué)逆解過程進行仿真，仿真的一般過程為給定追蹤平臺中心點的運動軌跡，通過Matlab軟件編寫M文件程序，運用上文的運動學(xué)逆解公式求得各柔索的長度、速度和加速度值。

設(shè)定追蹤隨動平臺的中心點的運動軌跡為一個圓形，其表達式為

(15)

式中：r----追蹤平臺中心點運行圓形軌跡半徑;

ω----追蹤平臺中心點運行的角速度;

t----追蹤平臺中心點運動軌跡上的任意時間點。

此模型中設(shè)定中心點運行圓形軌跡半徑r=10 cm, 運行周期為t=2 s,則運行角速度ω為2π/2=π rad/s,由上述參數(shù)可得運行軌跡模型如圖4所示。

圖4 追蹤平臺中心點運動軌跡模型

根據(jù)上文中的運動學(xué)逆解公式，動平臺中心點的理想運動軌跡和運動學(xué)模型的各設(shè)定參數(shù)，可以計算出各柔索長度、速度、加速度公式，根據(jù)運動公式進行數(shù)值分析,求出任意時間各柔索的長度變化，速度變化曲線如圖5所示。

(a) 柔索長度變化

(b) 柔索速度變化圖5 運動學(xué)逆解仿真曲線

由圖5(a)所示，當(dāng)追蹤平臺中心點按著理想圓形軌跡運動時，各柔索長度變化平穩(wěn)，呈周期性變化。由圖5(b)所示，索長的速度和加速度曲線連續(xù)，未有較大的沖擊，證明文中建立的運動學(xué)逆解模型可行。

4.2 運動學(xué)正解仿真

根據(jù)牛頓-拉夫森迭代算法和Matlab數(shù)值編程，將圖5所示運動學(xué)逆解求得的各個柔索的長度作為已知條件代入到運動學(xué)正解公式中，平臺中心的初始位置設(shè)定為P0=[0,0,20]T，求解出追蹤平臺相應(yīng)的運動軌跡如圖6所示。

圖6 運動學(xué)正解仿真

圖中連續(xù)軌跡為追蹤平臺中心點目標(biāo)理想軌跡，圓圈位置為通過運動學(xué)正解得到的實際軌跡。

由圖6可知，追蹤平臺中心點的目標(biāo)軌跡與實際計算的軌跡基本重合，證明了追蹤平臺運動學(xué)正解算法的有效性。

5 結(jié) 語

1)對于柔索驅(qū)動平臺運動學(xué)逆解分析，通過對系統(tǒng)輸入中心點理想軌跡，計算各柔索長度變化。由仿真結(jié)果可知，柔索長度變化具有連續(xù)性，變化平穩(wěn)，速度、加速度變化連續(xù)。驗證了系統(tǒng)的整體性和穩(wěn)定性。

2)對于柔索驅(qū)動平臺運動學(xué)正解分析，通過對系統(tǒng)輸入索長變化，計算追蹤平臺末端位置。由仿真結(jié)果可知，追蹤平臺中心點的目標(biāo)軌跡與實際計算的軌跡基本重合，證明了追蹤平臺運動學(xué)正解算法的準(zhǔn)確性。

3)柔索驅(qū)動并聯(lián)系統(tǒng)變化較多，可將運動學(xué)分析與動力學(xué)分析相結(jié)合，得到更準(zhǔn)確的運動情形。為運動控制問題打下理論基礎(chǔ)。