擬Abelian范疇的平凡擴張范疇

趙 曉， 童智錦

(福州外語外貿學院 公共教學部， 福建 福州 350202)

1 預備知識

擬Abelian范疇是Abelian范疇的基礎，也是Abelian范疇的自然推廣，建立在擬Abelian范疇上的各種理論更具有一般的理論意義[1]。而范疇的擴張在代數表示論和范疇理論中扮演重要的角色，例如推出范疇、范疇的平凡擴張等。在代數學方面，由一個代數構造新代數是一個重要的研究方法，同樣，在范疇理論中由一個范疇構造新范疇也是范疇論一個重要的研究方向，范疇的平凡擴張就是一個精典的例子[2]。文獻[3]結合Abel范疇的平凡擴張，定義了一種新的Abel范疇的“平凡擴張”,此外,還對有限范疇進行了討論，證明了有限范疇的平凡擴張仍然為有限范疇。文獻[4-6]也對一些范疇的平凡擴張進行了研究。鑒于此，結合擬Abelian范疇的相關理論對擬Abelian范疇的平凡擴張范疇進行研究。文中所出現的擬Abelian范疇的相關概念參見文獻[7]，但為完整起見，將主要概念列示如下：

定義1[7]加法范疇A稱為擬Abelian范疇，如果1)每個態射都有核與余核;2)每個嚴格滿態射的拉回是封閉的,即每個嚴格滿態射的拉回是嚴格滿態射,如圖1所示。

圖1 嚴格滿態射拉回圖

圖中f是嚴格滿態射,則f′也是嚴格滿態射，其中(PB)表示該圖是拉回圖。

3)每個嚴格單態射的推出是封閉的,即每個嚴格單態射的推出是嚴格單態射,如圖2所示。

圖2 嚴格單態射推出圖

圖中f是嚴格單態射,則f′也是嚴格單態射，其中(PO)表示該圖是推出圖。

設A,B是兩個擬Abelian范疇，F:A→B是加法函子。

定義2[7]稱F是強左正合函子，如果對于A中任意嚴格正合序列0→A→B→C，經F作用后的序列0→F(A)→F(B)→F(C)在B中嚴格正合。即F是強左正合函子,當且僅當F保持任意態射的核。

定義3[7]稱F是強右正合函子,如果對于A中任意嚴格余正合序列A→B→C→0,經F作用后的序列F(A)→F(B)→F(C)→0在B中嚴格余正合。即F是強右正合函子,當且僅當F保持任意態射的余核。

2 擬Abeilian范疇的平凡擴張范疇

定義4設A為擬Abeilian范疇，F:A→A為自同構的加法函子。由A和加法函子F可構造得一新的范疇：

obj:a:FA→A,a∈MorA,使a°Fa=0。

Mor:f:a→b，f:A→B∈MorA，使得b°Ff=f°a,其中a:FA→A,f:A→B,Ff:FA→FA,b:FA→B。

將如上構造的范疇稱為擬Abeilian范疇A的右平凡擴張范疇，記為A?F。

對偶的可定義擬Abeilian范疇A的左平凡擴張范疇，記為F? A。

定理11)當F是強右正合函子時，右平凡擴張范疇A?F為擬Abelian范疇；

2)當F是強左正合函子時，左平凡擴張范疇F? A為擬Abelian范疇。

我們只證定理1中2)，對偶的可證定理1中1)。對于定理1中2)的證明，可分為以下幾個引理來證明。

引理1左平凡擴張范疇F?A中每個態射都有核與余核。

證明 1)先證每個態射都有余核。

設a:A→FA,b:B→FB∈objF?A，f:a→b為F?A中態射，其中f:A→B∈MorA。因為A為擬Abelian范疇，所以可令(C,π)=Cokerf，故存在交換圖如圖3所示。

圖3 F?A中交換圖

因為Fπ°b°f=Fπ°Ffa=F(π°f)°a=0，所以由余核的泛性存在唯一的c:C→FC使c°π=Fπ°b。下證c∈objF?A，即要證Fc°c=0。因為Fc°c°π=Fc°Fπ°b=F(cπ)°b=F(Fπ°b)°b=F2(π)°Fb°b=0，又因為π為滿態射，所以Fc°c=0。

下面再證π:b→c為f:a→b的余核。

?g:b→d∈MorF?A，其中g:B→D∈MorA，d:D→FD∈objF?A滿足gf=0，則根據c是f的余核，存在唯一的h:C→D使hπ=g。又由于d°h°π=dg=Fg°b,Fh°c°π=Fh°Fπ°b=F(h°π)°b=Fg°b，所以d°h°π=Fh°c°π，又π是滿態射，故d°h=Fh°c，即h:c→d為F?A中態射，因此在F?A中π:b→c為f:a→b的余核。

2)下面我們用F為強正合函子來證F?A中每個態射都有核。

因為Ff°a°i=b°f°i=0,Fi:FK→FA為Ff的核，故存在唯一的k:K→FK，使a°i=Fi°k。于是可得正合的交換圖，如圖5所示。

圖4 行正合交換圖

圖5 圖4相應的正合的交換圖

因為F2i為單態射，F2i°Fk°k=Fa°Fi°k=Fa°a°i=0，故有Fk°k=0，因此k:K→FK∈objF?A。往證i:k→a為f:a→b的核。?g′:e→a∈MorF?A，其中e:E→FE∈objF?A，?g':E→A∈MorA滿足f°g′=0。因為i:K→A為f的核，故存在唯一的h′:E→K使g′=i°h′，則有Fg′=Fi°Fh′。又a°g′=a°i°h′=Fi°k°h,Fg′°e=Fi°Fh′°e,a°g′=Fg′°e，所以Fi°k°h′=Fi°Fh′°e，又Fi為單態射，因此有k°h′=Fh′°e，即h′:e→k為F?A中態射，故在F?A中i:k→a為f:a→b的核。

由定義1可知，在擬Abelian范疇A中，f:A→B為嚴格滿態射，g:C→B為任意態射，則存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)，且f′為嚴格滿態射。

引理2若強左正合函子F作用于該拉回圖，則有(Ff′,FD,Fg′)為(Ff,Fg)的拉回。

證明 1)Ff°Fg′=F(f°g′)=Fg°Ff′;

2)?T∈A，m:T→FC,n:T→FA使Fg°m=Ff°n，拉回考察圖如圖6所示。

圖6 拉回考察圖

因為F是自同構的加法函子，所以存在F-1，用F-1作用于圖6后的拉回圖如圖7所示。

圖7 F-1作用于圖6后的拉回圖

由于F-1(Fg°m)=F-1(Ff°n)，即g°F-1m=f°F-1n，其中F-1m:F-1T→C,F-1n:F-1T→A,(f′,D,g′)為(f,g)的拉回，所以存在唯一的h:F-1T→D使得F-1m=f′°h,F-1n=g′°h。從而也存在Fh:T→FD使m=Ff′°Fh,n=Fg′°Fh。若還有Fh′:T→FD使m=Ff′°Fh′,n=Fg′°Fh′，則Ff′°Fh=Ff′°Fh′,Fg′°Fh=Fg′°Fh'，即F(f′°(h-h′))=0,F(g′°(h-h′))=0，由h的唯一性知h′=h，所以Fh′=Fh，因此圖6為拉回圖。

定義5稱f:a→b即f:A→B∈MorA為F?A中嚴格滿(單)態射，如果f:A→B為A中嚴格滿(單)態射。

引理31)F?A中每個嚴格滿態射的拉回是封閉的；

2)F?A中每個嚴格單態射的推出是封閉的。

證明 只須證1)，對偶的可證2)。設f:a→b即f:A→B∈MorA為F?A中嚴格滿態射，則f:A→B為A中嚴格滿態射，g:c→b為F?A中任意態射，其中g:C→B∈MorA，所以在A中存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)使得g°f′=f°g′，且f′為嚴格滿態射。由引理2知(Ff′,FD,Fg′)為(Ff,Fg)的拉回。嚴格滿態射的拉回交換圖如圖8所示。

圖8 嚴格滿態射的拉回交換圖

又因為Ff°a°g′=b°f°g′=b°g°f′=Fg°c°f′，所以由拉回的性質知存在唯一的d:D→FD使得Ff′°d=c°f′,Fg′°d=a°g′，即g′:d→a,f′:d→c為F?A中態射，且f′為F?A中嚴格滿態射，由引理2可知(F2f′,F2D,F2g′)為(F2f,F2g)的拉回。所以由拉回的唯一性可知Fd°d=0，即d:D→FD∈objF?A。

注1:若F為強正合函子，則左平凡擴張范疇F?A和右平凡擴張范疇A?F均為擬Abelian范疇。

F?A中的序列圖如圖9所示。

圖9 F?A中的序列圖

證明 在A中若kerf=0，則f為單態射。因為F為強左正合函子，所以Ff為單態射，所以在F?A中Ff°f=0。又Ff為單態射，所以在F?A中f=0。反之，當f=0時，顯然kerf=0。

以上F?A的性質，A?F有對偶的結論。因此，定理1的證明可以由引理1及引理3直接得證。

3 擬Abeilian范疇的平凡擴張范疇的局部類

1)若s∈S，則Fs∈S；

2)s°t∈S當且僅當s∈S,t∈S。

(m,v)的拉回交換圖如圖10所示。

圖10 (m,v)的拉回交換圖

因為m,c為范疇A中的態射，A為有核的加法范疇，所以(m,-c)在A中有核。設(v,u)T為(m,-c)的核，則(u,T,v)為(n,c)的拉回。又s是嚴格的，n為π的核，則u為πc的核，且u為嚴格單態射。又m為嚴格滿的，所以(m,v)存在拉回(p1,E1,f1)且p1為嚴格滿的。記t1=u°p1，則t1為嚴格的。

由拉回的性質知(t1,E1,f1)為(s,c)的拉回，考察交換圖如圖11所示。

圖11 交換圖

由上證明知(t2,E2,f2)為(Fs,Fc)的拉回，且t2∈S，又Fs°a°f1=b°s°f1=b°c°t1=Fc°d°t1，所以由拉回的唯一性知存在唯一的e:E1→E2使d°t1=t2°e,a°f1=f2°e,于是可令E1=E,E2=FE,t1=t,t2=Ft,f1=f,f2=Ff。因為a°f=Ff°e,d°t=Ft°e，所以f,t∈MorF?A。

下證e:E→FE∈objF?A，即只須證Fe°e=0。

證明Fe°e=0的考察圖如圖12所示。

圖12 證明Fe°e=0的考察圖

因為(Ft,FE,Ff)為(Fs,Fc)的拉回，所以由引理1知(F2t,F2E,F2f)為(F2s,F2c)的拉回，且F2t°Fe°e=Fd°Ft°e=Fd°d°t=0,F2f°Fe°e=Fa°Ff°e=Fa°a°f=0，故由拉回唯一性知Fe°e=0。

核的交換圖如圖13所示。

圖13 核的交換圖

圖13對應交換圖如圖14所示。

圖14 圖13對應交換圖

因為F2i°Fk°k=Fa°Fi°k=Fa°a°i=0，F2i為單態射，所以Fk°k=0。因此k:K→FK∈objF?A。