關于初中幾何解題方法的幾點思考

江蘇省蘇州高新區第五初級中學校 劉志昂

一、一般問題的解決方法

一般問題是指比較基礎的幾何問題，通常的解決方法是“讀題、讀圖，適當標記加聯想”。“讀題”是指逐字逐句地讀題，要讀出已知條件和要解決的問題，讀出關鍵詞，讀出已知條件和未知條件之間的聯系等；“讀圖”是指每讀到一個已知條件，都要在圖形上找到它的位置；“適當標記”是指每一個已知條件都要在圖上做出適當的標記，比如相等的線段，用條數相等的短線進行標記，相等的角用條數相等的短弧線進行標記等；“聯想”是指每讀出一個已知條件，都要聯想到它可以得出什么結論，或者與已有其他已知條件一起，可以得出什么結論。

例1：如圖1，在△ABC中，BP平 分 ∠ABC，CP平 分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC＝5，求△PDE的周長。

圖1

分 析：“BP平 分∠ABC” 指 向 于“ ∠ABP= ∠PBD”，“PD∥AB”指向于“∠ABP=∠BPD”，兩個條件在一起可以得到∠PBD=∠BPD，由“等角對等邊”可以得到BD=PD，同理得CE=PE，這樣△PDE的周長就轉化為線段BC的長。

如上題所述，一些簡單的幾何問題運用此方法，可以直接得到解題的思路和方法。

二、復雜問題的解決方法

對于一些復雜的結合問題，運用上面的“讀題、讀圖，適當標記加聯想”不能馬上解決問題，則需用“綜合——分析法”，俗稱“執果索因法”，即“缺誰證誰”。

例2：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°。過點A作直線AP（如圖2 所示），點C關于直線AP的對稱點為點D，連接BD，CD，直線BD交直線AP于點E。

（1）依題意補全圖；

（2）若直線AP旋轉到如圖2 所示的位置，請用等式表示線段EB、ED、BC之間的數量關系，并證明。

圖2

圖3

分析：（1）中的作圖如圖3，根據圖形的軸對稱性，可以得到AC=AD=AB，CE=CD，那么線段EB、ED、BC之間的數量關系就轉化為線段EB、EC、BC之間的數量關系。三條線段之間的關系，常規的是和差關系（比如兩條線段的和等于第三條線段）或者是兩條線段的平方和等于第三條線段的平方。根據圖形可以初步判斷應該是后一種，那么解決問題的交點就集中在證明∠BEC是直角上，這就是初步的 “執果索因”。對于∠BEC是直角的證明，則從四邊形ABEC的內角和入手，現在∠BAC是直角，則需證明∠ABE+∠ACE=180°，這是進一步的“執果索因”，由上面的AC=AD=AB，CE=CD可得∠ACE=∠ADB=∠ABD，而∠ABD與∠ABE互補，則∠ABE+∠ACE=180°，得到∠BEC＝90°，進而BE2+CE2＝BC2，故EB2+ED2＝BC2。

三、特殊問題的解決方法

1.線段和差關系的證明

線段之間的和差關系，是指幾條線段的和或差與另外幾條線段的和或差相等，對于這類問題的證明的常用方法是“截長補短”。如需要證明a+b=c，則可以將c截成兩條線段，使其中的一條等于a，證明剩下的那條線段等于b，這叫“截長”；將線段a延長b的長度，得到一條新的線段d，則線段d的長度等于線段a與線段b的長度之和，只要證明d=c即可，這叫“補短”。

例3： 如 圖4， 在△ABC中， ∠BAC＝75 °， ∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D。

（1）求證：△BCD為等腰三角形；

（2）若∠BAC的平分線AE交邊BC于點E，如圖5，求證：BD+AD＝AB+BE。

圖4

圖5

分析：（1）如圖4，先根據三角形內角和得∠ABC＝70°，由角平分線及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，由此可得結論。

（2）證法一（截長）：如圖5，在AC上截取AH＝AB，連接EH，證明△ABE≌△AHE，則BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝BD＝CD。

證法二（補短）：如圖5，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，證明△AEF≌△AEC，則∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，由此可得結論。

2.幾何解題中的分類討論

幾何解題中，由于一些特定的因素（如已知條件的不確定性、位置關系的不確定性等）的存在，導致了結論的不確定性，故需要根據不同的情況或者不同的前提對結果進行討論，叫作分類討論。分類討論時需要注意：（1）分類時要按照一定的順序，確保不重不漏；（2）討論結束時，需要對問題給予總結性的結論。

例4：如圖6，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連接CD。作∠CDE＝30°，DE交AC于點E。

（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是__________；

（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數；若不可以，請說明理由。

分析：（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°得到∠ACD＝120°-30°＝90°，則△ACD是直角三角形。

（2）對于△ECD是等腰三角形，分三種情況：EC＝DE、CD＝DE、EC＝CD。由于題目中是從角的角度來解決問題的，故還要轉化為角的關系，分別對應為∠CDE＝∠ECD、∠ECD＝∠CED、∠CED＝∠CDE三種情況進行討論，然后利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理進行計算。

3.幾何解題中的動點問題

在幾何的有關計算與證明中，往往會遇到動點問題。一般是某一個或幾個點沿著一定的方向，按照一定的速度運動。解決這類問題，往往是看清動點的起點和終點（可能會與自變量的取值范圍有關），根據運動的速度、時間表示所有能表示出的線段的長，然后根據題中給出的相等關系或者是題中幾何圖形的性質得到相等關系，列出方程求解。

例5：在直角三角形ABC中，若AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20 厘米。 點P從點A開始以2 厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移動，點Q從點C開始以1 厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移動，如果點P、Q同時出發，用t（秒）表示移動時間，那么：

（1）如圖7，請用含t的代數式表示：

①當點Q在AC上時，CQ＝__________；

②當點Q在AB上時，AQ＝__________；

③當點P在AB上時，BP＝__________；

④當點P在BC上時，BP＝__________。

（2）如圖8，若點P在線段AB上運動，點Q在線段CA上運動，當QA＝AP時，試求出t的值。

（3）如圖9，當P點到達C點時，P、Q兩點都停止運動，當AQ＝BP時，試求出t的值。

分析：（1）根據三角形的邊長、點的運動速度進行解答（這里就是上面所說的用動點運動的速度、時間表示所有能表示出的線段的長）。（2）根據QA＝AP這一相等關系列出方程，解方程即可。（3）根據分點P在線段AB上運動，點Q在線段CA上運動；點P在線段BC上運動，點Q在線段CA上運動；點P在線段BC上運動，點Q在線段AB上運動三種情況中，根據AQ＝BP這一相等關系列出方程，解之即可。

4.幾何解題中的“模式識別”策略

在解決一些簡單的問題或者簡單的圖形時得到了基本的結論，積累了基本的解題方法和解題思路，將之理解、記憶，遇到形同的、相近的、相關的、相似的問題時，可以用它來解決問題，簡單地說，是“基本問題的基本結論，基本思路和基本方法”。

例6：探索與運用。

（1）基本圖形：如圖10，已知OC是∠AOB的角平分線，DE∥OB，分別交OA、OC于點D、E，求證：DE＝OD。

（2）在圖11 中找出這樣的基本圖形，并利用（1）中的規律解決這個問題：已知△ABC中，兩個內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，交AB、AC于點D、E，求證：DE＝BD+CE。

（3）若將圖12 中兩個內角的角平分線改為一個內角、一個外角（如圖12，∠ABC、∠ACF）和兩個都是外角（如圖13，∠DBC、∠BCE）的角平分線，其他條件不變，則線段DE、BD、CE的數量關系分別是：圖12：________________，圖13：______________。

分析：（1）根據角平分線的定義得到∠AOC＝∠BOC，根據平行線的性質得到∠DEO＝∠BOC，等量代換得到∠DEO＝AOC，根據等腰三角形的判定即可得到結論。這里構造出一種“角平分線、平行線和等腰三角形”模式：在這種特定的圖形結構之下，DE∥OB，OC平分∠AOB和DO=DE，三者可以知二得一（即知道任意兩個結論，都可以推出第三個結論），也可以理解為：在特定的圖形結構之下，角平分線、平行線和等腰三角形可以知二得一。（2）根據圖形的結構特征，顯然存在著兩個上述的基本“模式”中的基本圖形，根據上述“模式”中蘊含的結論和思路、方法，很快便可以得到BD=DO，OE=CE，然后利用等量代換即可解決問題。（3）圖12 中，根據前面的“模式”，可以得到DB=DO，EO=EC，所以DE=OD-OE=DB-CE。圖13 中，根據前面的“模式”，可以得到DB＝DO，EO＝EC，所以DE＝OD+OE=BD+CE，