數學思想方法在二次函數中的應用

莊梅芳

(福建省晉江市南灣中學 福建 晉江 362200)

1.分類討論思想在二次函數中的應用

分類討論思想是一種重要的數學思想，在解決二次函數問題時經常用到。許多二次函數問題，往往在相同的題設下，會產生幾種不同的結果，這就需要借助于分類討論思想按照同一標準，確定分類對象，把可能存在的一切情況都列舉出來，一一加以研究，然后進行歸納，合并，綜合得出結論。

例1，已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)，它與x軸交于點A和B，與y軸交于點C，試求S△AoC+S△BoC

解：設A(x1,0)，B(x2,0)則x1，x2就是二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根。

而OA=|x1|,OB=|x2|, 又由x=0時，y=c得OC=|c|

已知a>0，下面就c的不同符號分別計算S△AoC+S△BOC的值

(1)當c=0時，顯然有S△AoC+S△B0C=0

(2)當c>0時，x1和x2同號

i)若x1和x2都為正數，則b<0，

ii)若x1和x2都為負數，則b>0

(3)當c<0時，x1和x2異號，不防設x1>0，x2<0,則

OC=|c|=-c

2.轉化思想在二次函數中的應用

轉化思想是一種最基本的數學思想，是解決二次函數問題不可忽視的方法。二次函數的問題一般都是綜合性很強的題目，如何把復雜的問題向簡單的問題轉化，是解題成敗的關鍵所在。轉化思想在二次函數中運用的思想一般是把生活、生產、科研中的實際問題通過建立數學模型轉化為數學問題；把幾何問題轉化為函數問題；把位置關系轉化為數量關系；把非常規問題轉化為常規問題，最終實現未知向已知的轉化，從而使問題得到解決。

(1)若導彈運行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式;

(2)說明按(1)中軌道運行的導彈能否擊中目標C的理由。

解：(1)設導彈運行軌道的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，由題意知，這條拋物線的頂點坐標為E(4，3)

(2)設C點的坐標為(xo，yo)，過C作CB⊥0X垂足為B,在Rt△OBC和Rt△ABC中，OA=1，

3.方程思想在二次函數中的應用

方程思想是一種廣泛應用的數學思想，是解決二次函數問題的一個有力工具。在二次函數問題中，或多或少存在著等量關系，我們經常把所研究的二次函數問題中的數量關系，轉化為方程或方程組等數學模型，通過解方程或方程組，實觀未知向已知的轉化。可見，方程思想方法，對解決二次函數問題，作用十分重大。如待定系數法求二次函數解析式，求解幾何圖形中的函數關系，求二次函數與其他圖形的交點問題等，都離不開方程思想。

例3已知二次函數y=x2+bx+a(b<0)的圖像與y軸交于點P(0,3)，與x軸交于A、B兩點，且AB=2

(1)求bc的值，并寫出這個函數的解析式；

(2)過P點作x軸的平行線，求這條平行線被二次函數圖像所截得的線段的長；

(3)求△PAB的面積；

解：(1)∵P(0,3)在圖像上，將其坐標值代入y=x2+ bx+c(b

即得c=3設A(x1,0)，B(x2,0)，則x1、x2是方程x2+bx+3=0的根。

∵AB=2,即|x1-x2|

∵b<0, ∴ b=-4

∴所求的解析式為y=x2-4x+3

(2)設過P且平行于x軸的直線與圖像的另一交點為Q，則P、Q的坐標就是下面方程組的解：

4.數形結合思想在二次函數中的應用

數形結合思想是一種典型的數學思想，是研究二次函數問題離不開的思想方法。數學是以現實世界中的空間形式與數量關系為研究對象，即數學是研究數、形及其關系的一門科學。在建立直角坐標系后，平面上的點就可以用坐標來表示，進一步又可建立平面上曲線與方程間的聯系，這就使數與形結合起來，二次函數問題正是這種思想的充分體現，使數和形的結合達到了一個新的境地。在二次函數問題中，我們通過圖形形象直觀地表示出抽象的數量關系，即利用形來研究數，另一方面，通過數量計算準確地表示出圖形的性質即利用數來研究形。數形結合思想的運用，是驗證二次函數解題能力和創造性的有力根據。