面向實例的概率論教學方法的探索與設計

李琳

摘要：在概率論知識的教學中，學生很難深刻理解概念的內涵和外延，難以建立起利用概率解決問題的思維模式。本文將生活中的幾個應用問題滲透于教學過程之中，提高學生對概率教學中抽象概念的理解和能力，同時利用Python代碼進行編程模擬驗證，加強學生對概率的直覺認識，幫助利用概率統計知識解決實際問題的能力，取得良好的教學效果。

關鍵詞：概率;Python;教學改革

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）27-0135-02

現實世界中許多問題充滿混沌和不確定性，如天氣情況、疾病的發生、生產線上產品合格率等等，這些問題中存在著一些不確定性因素的干擾，我們無法獲得精確的結果。概率論是研究隨機現象規律的科學，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，學習概率論基本知識可以幫助我們以科學的態度評價身邊的一些隨機現象。

1概率和頻率及其實例

隨機事件的概率是其發生可能性大小的度量，我們用概率來衡量各種隨機事件發生的可能性。一方面，事件發生的可能性是可以量化的，如人們常說的，明天下雨的可能性為80%，某隊奪冠的可能性有50%等等，另一方面，它又不像一些有形的事物，可以直接測量，因此又是難以量化的。在實際問題中，究竟如何確定隨機事件發生的可能性？

最常見的度量方法是利用頻率來度量概率大小。對于一類能在相同條件下多次重復的隨機試驗，一個隨機事件A發生概率的大小，可以粗略地通過一系列的重復試驗中A發生頻率來估量，當試驗的重復次數很大時，A發生的頻率往往會呈現出一種穩定的狀態，這時，隨機事件A發生的概率，可以用該事件發生的頻率代替。即用多次重復試驗的樣本去無限接近概率真實值。下面通過兩個實例來加深對概率的認識。

實例1.在生活中每個人偶爾會遇到與自己同一天生日的人，但這種緣分似乎并不經常遇到。猜猜在50個人當中出現這種緣分的概率有多大？

解：概率的定義告訴我們：一個隨機事件A發生概率的大小，可以用多次重復試驗樣本從而無限接近概率真實值。我們利用計算機來重復模擬事件發生1000次，Pvthon中的random模塊用于生成隨機數。函數randint（a，b）返回一個位于區間[a，b]內的整數。

結果：50個人中日相同的概率高達97%

50個人中日相同的概率高達97%，這恐怕超出了絕大多數人的意料，跟我們的直覺不一樣，體現的是理性計算與日常經驗的矛盾，該問題被稱為生日悖論，但還算不上嚴格意義上的悖論。下面再看一個概率的悖論問題。

實例2.有一個抽獎節目，臺上有三扇關閉的門，一扇門后面停著汽車，其余門后都是空的，只有主持人知道每扇門后面是什么。參賽者選中了其中一扇門，記做1號門。主持人會開啟另外一扇門，記做3號門，門后是空的。然后他問你，“你是否想換成.2號門？”此時轉換選擇是明智的選擇嗎？

解：通常估算某事件發生的可能性一般用概率來表達。利用計算機來重復模擬事件發生106次，Pvthon中的random模塊用于生成隨機數。函數randint（a'b）返回一個位于區間[a，b]內的整數。

該問題的具體代碼如下：

分析：通過模擬多次重復試驗，“換一扇門中獎的概率”均在2/3附近。這個結論是有些反直覺的，一般直覺認為該問題相當于兩扇門選一扇，應該是1/2。

當選擇了一扇門的時候，選擇的這扇門有車的概率是1/3，那么其他兩扇門有車的概率是2/3。這時主持人會在后兩扇門中打開一扇有山羊的門，那么此時的2/3的概率會收縮到最后一扇門上，所以在后一扇門上的出現汽車的概率為2/3，因此換門會提高獲得汽車概率。

當然這一論據并不能說服所有人，很多人堅持認為：無論轉不轉換選擇概率都是1/2。對這個問題人們有很多爭論，很多情況下都是因這個問題的模糊表述所引起的，關鍵點在于主持人對于門后的情況是否知情。如果主持人事先知道山羊位置，并且特意選擇了有山羊的門打開了，那么參賽者應該換另一扇門，這樣可以將他勝利的概率從1/3升到2/3。如果主持人事先不知情，這時候參賽者沒有換門的必要，勝利概率總是1/2。

2條件概率及其問題實例

一個隨機事件發生的概率并非是一個絕對的概念，事實上，當另一個與其相關的隨機事件發生后，該事件再發生的概率往往會隨之改變。如對于某球隊，賽前奪冠的概率是0.1，但如果已知該球隊已經小組出線了，那么該球隊奪冠的概率就會大大增加，這時的概率稱為條件概率。

設A，B為隨機事件，且P（A）>0，稱P（B1A）=（P（AB））/（P（A））為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率。

實例3：考慮一個拋硬幣的例子，一個盒子里裝了三個硬幣，這三個硬幣拋出正面的概率分別為0.3，0.5，0.7。假設我們從盒子中隨機取出一個硬幣，拋出了49個正面，31個反面，那么拋哪個硬幣的可能性比較大？并利用Python代碼實現求解過程。

分析：首先建立問題的概率模型，拋80次硬幣相當于做80重伯努利試驗，以x記為拋出正面的次數，根據二項分布的概率公式，那么拋出正面的概率為：

從運行結果可知：當拋出49個正面時第3個硬幣的可能性最大。

3結束語

概率論不僅包括一些基礎理論知識，還能培養我們分析隨機現象的能力，這種能力在大數據時代是一種必備的素質，通過上面幾個實例，幫助大家體會概率在實踐中的應用，培養和激發對概率論的興趣和熱愛。