模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王雪

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）22-0246-02

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。如自然數(shù)“1”是“1個人”、“一件玩具”等抽象的結(jié)果，是反映這些事物共性的一個數(shù)學(xué)模型;方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型等。

數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式、圖形和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普通的意義。如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題;當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。

《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。”并在教材編寫建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活動體現(xiàn)‘問題情境——建立模型——求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗;要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。

由此可見，在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中的常見模型

1.總量模型。

這種模型講述的是總量與部分量之間的關(guān)系，其中部分量之間的地位是平等的，是并列的關(guān)系，因此在這種模型中，部分量之間的運算要用加法。這種模型具體表現(xiàn)為：總量=部分量+部分量。

顯然，模型中的部分量不局限于兩個。可以用這個模型來解決現(xiàn)實生活中一類涉及總量的問題，這樣的問題在小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中是屢見不鮮的。比如，計算圖書室中各類圖書的總和是多少，計算在商店中買幾種商品的總花費是多少等。也可以在總量那里講一些故事，把加法運算變?yōu)闇p法運算：部分量=總量-部分量。

2.路程模型。

這種模型講述的是距離、速度、時間之間的關(guān)系，如果假設(shè)速度是均勻的（或者平均速度），可以得到模型的形式：路程=速度×?xí)r間。

雖然所說的是路程問題，但這個模型可以適用于一類現(xiàn)實中的問題，比如，解決“總價=單價×數(shù)量”的問題，解決“總數(shù)=行數(shù)×列數(shù)”的問題等。因為這種模型強(qiáng)調(diào)的是乘法，因此單純從數(shù)學(xué)計算的角度考慮，還可以稱這種模型為乘法模型。在具體使用這類模型的時候，可以用距離講一些故事，把乘法變?yōu)槌ǎ簳r間=路程/速度;速度=路程/時間。

3.植樹模型。

植樹問題是現(xiàn)實生活中一類相似問題的總結(jié)，并非僅僅適用于植樹一種情況。在建立“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的模型后，可讓學(xué)生完成類似練習(xí)，達(dá)到舉一反三的效果。還可適當(dāng)?shù)耐卣寡由欤⑵稹皟啥硕疾辉浴钡哪Ｐ汀爸矘淇脭?shù)=間隔數(shù)-1”和“只栽一端”的模型“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)”。

4.工程模型。

這類模型的問題背景是：有一個工程，甲工程隊和乙工程隊單獨完成分別需要A天和B天，兩個工程隊合作需要多少天。解決這樣的問題，一個簡便的方法就是設(shè)工程為1，那么甲隊和乙隊一天分別完成工程的1/A和1/B。這樣的問題也成為歸一問題。這種模型還包括傳統(tǒng)的注水問題。

二、模型思想的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，不但促進(jìn)了科學(xué)和人類的進(jìn)步，也使得人們對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂園，它也不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。因此，廣大教師在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問題的教學(xué)，要注意貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學(xué)生如何建立模型，并喜歡數(shù)學(xué)。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，第二種是利用基本模型去解決各種問題。數(shù)學(xué)建模也是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng);（2）把復(fù)雜的情景經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù);（3）建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖形;（4）解答問題。下面將結(jié)合實例作簡要分析。

1.學(xué)習(xí)的過程可以經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的再創(chuàng)造過程。

現(xiàn)實生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家們研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。而根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有時是一個探索的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程。例如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長方體的體積公式，建立模型V=abc，這就是一個模型化的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程。

2.學(xué)習(xí)的過程可以改編教材習(xí)題，加強(qiáng)建模教學(xué)。

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型思想解決實際問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，體會數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用帶來的樂趣。因此教材中有些問題需要改編，使其成為建模的有效素材。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。”可以利用它開展以下的建模活動：設(shè)圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系后，建立起關(guān)系模型，進(jìn)而解決問題。也可以另辟蹊徑，先通過“正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問題的解決，建立關(guān)系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，從而使原問題獲得解決。

3.應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進(jìn)而解決各種問題。

傳統(tǒng)上應(yīng)用題的編排結(jié)構(gòu)是與四則混合運算、混合運算相匹配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較、多個問題構(gòu)成的問題串，這些都是很好的傳統(tǒng)做法和經(jīng)驗，是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。但是這種結(jié)構(gòu)往往是線性的。如果以數(shù)學(xué)模型為核心進(jìn)行問題解決的教學(xué)，構(gòu)建問題鏈，可構(gòu)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度的整合豐富多彩的問題。例如上面提到的植樹問題、路程問題等。

總之，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想是一個長期的過程，我們要從低年級抓起，常抓不懈。這就需要老師們在教學(xué)中提供大量的感性素材，創(chuàng)設(shè)生活情境，并在探究學(xué)習(xí)中積累經(jīng)驗，并運用模型思想解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。