間斷有限元求解兩點邊值橢圓問題的超收斂性數值研究

張作政

(長沙學院計算機工程與應用數學學院, 湖南 長沙 410022)

1973年，Reed和Hill[1]首先提出間斷有限元方法求解中子輸運方程.之后，用間斷有限元(DG)求解橢圓方程和拋物方程幾乎同時得到了快速發展.1997年，Bassi和Rebay[2]提出了一種求解可壓縮Navier-Stokes方程的穩定的高階收斂的DG格式.接著Cockburn和Shu提出了局部間斷有限元(LDG)方法[3], 與此同時，Baumann和Oden[4]引入了一類新的DG方法.Arnold等人建立了基于九種不同數值通量的DG方法的統一框架[5].

連續有限元求解兩點邊值橢圓問題時，已經有一些超收斂結果.Douglas和 Dupont 證明了對于經典的P階連續有限元，在網格節點處有2P階的超收斂[6].Bakker[7-8]分別驗證了在 Gauss點處數值解導數有P+1階超收斂和數值解在 Labatto點具有P階超收斂.陳傳淼[9]對連續有限元求解兩點邊值橢圓問題的超收斂結果進行了詳細完整的綜述.

對于間斷有限元求解橢圓問題，已經得到一些超收斂結果.Castillo[10]證明了一致且守恒的DG方法，數值通量在節點處是準確成立的，且在Gauss點處導數的超收斂階為P+1.李璨[11]研究了DG方法求解一維橢圓問題的超收斂現象.后來Larson[12]又證明了，在一致網格下，使用IP-DG方法和NIPG-DG方法在節點處的數值通量均是準確的.Celiker和Cockburn[13]研究了一類DG方法求解一維對流擴散問題的超收斂性質，證明了在網格節點處守恒的數值通量和導數的通量都有超收斂性質，并且對于相應的橢圓型方程，數值通量是準確的.

本文基于局部間斷有限元(LDG)方法求解兩點邊值問題.數值上驗證了對于md-LDG方法，P+1階的右Radau 點與左Radau 點分別是數值解U 和導數Q的P+2階超收斂點.對于一致且守恒的間斷有限元法，在數值解導數處，P階Gauss點是P+1階的超收斂.

1 間斷有限元方法

考慮Dirichlet邊界條件的一維橢圓兩點邊值問題

(1)

令q=u'，則方程(1)可以寫成等價的一階方程組

(2)

網格剖分為Ij=[xj-1/2,xj+1/2],j=1,2,...,N.

其中x1/2=0,xN+1/2=1.離散區間的中點為xj=(xj-1/2,xj+1/2)/2，單元長度hj=|Ij|，最大步長

用試驗函數v和w分別去乘(2)的前兩個方程，并在每個單元Ij上分部積分得到

(3)

下面定義DG方法的弱形式.為此先定義間斷有限元空間Vh為

Vh={v:v∈PP(Ij),j=1,2,3,...,N},

其中PP(Ij)表示Ij上次數不超過P次的多項式集合.則弱形式為求U,Q∈Vh， 使得對任意v,w∈Vh，在每個單元Ij上滿足

(4)

表1和表2列舉了一些經典DG方法的數值通量取法，表2中的罰參數α在邊界取為

α(0)=α(1)=p/h.

表1 內部節點的數值通量

表2 邊界處導數的數值通量

2 數值實驗

本節主要是用數值實驗驗證間斷有限元求解兩點邊值橢圓問題的超收斂性.為簡單起見，在所有的數值實驗中，在模型(1)中取f=(2π)2cos(2πx).其中u0=u1=1，準確解u(x)=cos(2πx).

本節中所有超收斂結果對均勻和非均勻網格均成立.非均勻網格按下列方式產生.hi,j代表第i層網格第j個單元長度.ni為第i層網格單元個數.第1層網格單元數n1=4.h1,1=0.4,h1,2=0.1,h1,3=0.1,h1,4=0.4.

從第2層網格開始，按照如下規則產生：

其中ni=2ni-1.非均勻網格的第1到第5層網格單元分布圖見圖2.1.所有表格中的第1列p代表逼近多項式的階數.第2列表示網格的單元數，N=3,4,...,7代表有

2N個單元數.相關范數定義為

圖2-圖9展式了數值解U和導數Q的誤差曲線圖.圖2，4，6，8中每個單元里的*代表右Radau多項式的零點，圖.3，5，7，9中每個單元里的*代表左Radau多項式的零點.從圖2-9可以顯然的看到右Radau多項式的零點非?？拷黆的誤差曲線的零點，而左Radau多項式的零點非?？縌的誤差曲線的零點.從而數值上證實了右Radau點是u的超收斂點，而左Radau點是q的超收斂點.

為了進一步證實md-LDG在Radau點的超收斂性質，表3和表4分別列舉了在均勻網格和非均勻網格下數值解U和導數Q的L2和L誤差收斂階.從表3-4和圖10-13中可以看到在右Radau點和左Radau點都有P+2階的超收斂，相應的L2誤差只有P+1階的豐滿階.

對于一致且守恒的間斷有限元具有類似的超收斂結果，本文只列舉了LDG II 方法相應的超收斂數值結果.圖14-15分別畫出了LDG II 方法在p=1和p=2時數值解導數Q的誤差曲線圖.圖14-15中的*代表每個單元的Gauss點.從圖14-15中可以觀察到每個單元的Gauss點非?？拷黁的誤差曲線的零點.與表1和表2相似，表5-6列舉LDG II方法類似的數值計算結果，但其中||u-U||和||q-Q||表示為每個單元上的Gauss點誤差的L范數.從表5-6中可以看到在Gauss點的L范數對U和Q都是p+1階，而相應的L2范數對U是p+1階，對Q是p階，故對于LDG II方法每個單元Gauss點處，不是數值解U的超收斂點而是數值解導數Q的超收斂點.

表3 均勻網格下的md-LDG的收斂階

表4 非均勻網格下的md-LDG的收斂階

表5 均勻網格下的LDG II的收斂階

表6 非均勻網格下的LDG II的收斂階

圖1 非均勻網格

圖2 md-LDG均勻網格下U的誤差曲線，p=1

圖3 md-LDG均勻網格下Q的誤差曲線，p=1

圖4 md-LDG均勻網格下U的誤差曲線，p=2

圖5 md-LDG均勻網格下Q的誤差曲線，p=2

圖6 md-LDG均勻網格下U的誤差曲線，p=3

圖7 md-LDG均勻網格下Q的誤差曲線，p=3

圖8 md-LDG均勻網格下在右Radau點的U的誤差收斂曲線，

圖9 md-LDG非均勻網格下在右Radau點的U的誤差收斂曲線，

圖10 md-LDG均勻網格下在左Radau點的Q的誤差收斂曲線

圖11 md-LDG非均勻網格下在左Radau點的Q的誤差收斂曲線

圖12 LDG II均勻網格下Q的誤差曲線， p=1

圖13 LDG II均勻網格下Q的誤差曲線，p=2

圖14 LDG II均勻網格下在Gauss點的Q的誤差收斂曲線

圖15 LDG II 非均勻網格下在Gauss點的Q的誤差收斂曲線

3 結語

本文從數值上研究了間斷有限元方法求解一維橢圓問題的超收斂性質.對于md-LDG方法，P+1階的右Radau 點與左Radau 點分別是數值解U 和導數Q的P+2階超收斂點.對于其他一致且守恒的間斷有限元法，對于數值解導數Q，P階Gauss點是P+1階的超收斂.從數值實驗的結果來看，md-LDG方法相比其他的一致且守恒的間斷有限元方法具有更多的超收斂性質.不同的DG方法不僅可能具有不同的超收斂階，而且可能具有不同類型的超收斂點.高維問題的間斷有限元的超收斂性質將是下一步研究的方向，另一方面，我們將研究奇異攝動微分方程的超收斂性質.