中國股指波動率的PSOUGM-GARCH類預測模型

耿立艷 張占福 梁毅剛

[摘 ? ?要] 為提高GARCH類模型的波動率預測能力，將粒子群優化算法（PSO）與無偏灰色預測（UGM（1，1））模型引入到GARCH類模型中，構建PSOUGM-GARCH類模型。UGM（1，1）模型用于修正GARCH類模型的隨機誤差項，增強當期隨機誤差對條件方差的影響。同時利用PSO算法優化UGM（1，1）模型中的灰參數。通過對滬深300指數和深證綜指的實證研究，比較分析了PSOUGM-GARCH類模型的樣本外預測能力。結果表明，與UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型比較，PSOUGM-GARCH類模型都能更準確地預測滬深300指數和深證綜指的收益波動率，其中，PSOUGM-GARCH模型的樣本外預測能力最優，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型的預測能力最低。

[關鍵詞] 股指波動率預測;GARCH類模型;無偏灰色預測模型;粒子群優化算法

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 19. 048

[中圖分類號] TP273;F830 ? ?[文獻標識碼] ?A ? ? ?[文章編號] ?1673 - 0194（2019）19- 0109- 05

0 ? ? ?引 ? ?言

波動率是金融經濟學的主要研究內容之一，也是金融資產風險的重要衡量指標。選擇科學的方法估計和預測波動率，在資產投資組合選擇、資產風險的測度與管理中有重要的理論及現實意義。為此，國內外學者不斷嘗試建立各種波動率模型對金融資產波動率進行分析和預測。大量研究表明，由ARCH模型[1]發展起來的GARCH類模型表現較好，其中，GARCH[2]模型、EARCH模型[3]和GJR-GARCH模型[4]是應用最為廣泛的GARCH類模型。針對金融數據中隱含著隨機性和非線性因素，Tseng將灰色預測（GM（1，1））模型[5]引入到GARCH模型中，利用GM（1，1）模型修正GARCH模型的隨機誤差項[6]。以此為基礎，Tseng、Wang將GM（1，1）模型與EGACH模型和GJR-GARCH模型相結合，分別提出了GM-EGARCH模型和GM-GJR-GARCH模型[7，8]。這些研究表明，GM（1，1）模型的引入有效提高了GARCH類模型的短期預測精度。但GM（1，1）模型由于自身理論上的局限性，在實際應用中往往預測誤差較大。吉培榮提出了一種改進灰色預測模型，稱為無偏灰色預測（UGM（1，1））模型。經研究發現，UGM（1，1）模型本身不存在傳統GM（1，1）模型的固有偏差，而且其預測精度也優于傳統GM（1，1）模型[9]。

為進一步提高GARCH類模型（GARCH、EGARCH和GJR-GARCH）的預測精度，本文利用UGM（1，1）模型連續修正GARCH類模型的隨機誤差項。但UGM（1，1）模型對其灰參數的求解算法存在缺陷，導致該模型在預測波動性較大的數據時產生較大預測誤差，進而在一定程度上影響GARCH類模型的預測能力。為此，本文采用得到廣泛應用的群智能優化算法——粒子群優化（PSO）算法選擇UGM（1，1）模型的灰參數。運用本文所建模型預測滬深300指數和深證綜指的收益波動率，以比較各模型的有效性。

1 ? ? ?GARCH類模型

1.1 ? GARCH模型

Bollerslev 提出的GARCH模型是ARCH模型的拓展形式，假設當期條件方差與過去的條件方差和隨機誤差有關。GARCH（p，q）模型形式如下：

εt=σtvt（1）

σt2=ω+■αiε■■+■βjσ■■（2）

其中，參數ω、αi和βj分別表示條件方差的不確定性、擾動項對波動率的短期和長期影響。各參數滿足ω>0，αi，βj≥0，以確保條件方差的非負性。GARCH模型以較為簡潔的形式描述了金融資產波動的聚集性和“厚尾”現象，但無法解釋波動的非對稱性。

1.2 ? EGARCH模型

Nelson提出的EGARCH模型能夠解釋金融資產波動的非對稱性，將條件方差定義為對數形式，無需對各參數施加非負約束。條件方差方程表示為：

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（3）

其中，參數γi反映了波動的非對稱性，γi=0表示不存在非對稱性，γi<0表示負擾動對波動率的影響較大;γi<0表示正擾動對波動率的影響較大。

1.3 ? GJR-GARCH模型

Glosten等提出的GJR-GARCH模型同樣能夠反映金融資產波動的非對稱性，其條件方差方程可表示為：

σt2=ω+■（αiε■■+γiS■■ε■■）+■βj σ■■（4）

其中，當εt-1<0時，S■■=1;當εt-1>0時，S■■=0。γi=0表示不存在非對稱性，γ≠0表示存在非對稱效應。

2 ? ? ?PSO-UGM（1，1）模型

2.1 ? UGM（1，1）模型

UGM（1，1）模型是一種改進型GM（1，1）模型，該模型不僅消除了傳統GM（1，1）模型的固有偏差，適用范圍得到擴展;而且無須進行累減還原，提高了建模效率。

（1）設初始時間序列為x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，x（0）（t）∈R+，t=1，2，…，n。對x（0）（t）進行一次累加生成，得到新序列x（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中，

x（1）（t）=■x（1）（l），t=1，2，…，n（5）

（2）建立微分方程dx（1）/dt+ax（0）=b，其中，a和b為灰參數，利用最小二乘法求解灰參數：

[a，b]=（CTC）-1CTY（6）

其中，C=-0.5[x（1）（1）+x（1）（2）] ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …-0.5[x（1）（n-1）+x（1）（n）] ? ?1，Y=[x（0）（2）…x（0）（n）]。

（3）計算UGM（1，1）模型參數：

A=ln■，B=■（7）

（4）建立UGM（1，1）模型：

■（0）（1）=x（0）（1）■（0）（t）=B·eA（t-1），t=2，3，…，n（8）

2.2 ? PSO優化 UGM（1，1）模型參數

由UGM（1，1）模型的推導過程可知，灰參數a和b是UGM（1，1）模型中的關鍵參數，其估計值直接影響到 UGM（1，1）模型的預測能力。UGM（1，1）模型采用最小二乘法（OLS）求解a和b的值。OLS屬于線性回歸方法，應用的前提條件是隨機誤差序列須服從正態分布，否則，得到的參數估計值是有偏的。而實際的隨機誤差序列存在高度的隨機性和非線性，具有明顯的非正態分布，致使解出的參數估計值存在較大誤差，進而影響到UGM（1，1）模型的預測準確性。

粒子群優化（PSO）算法是一種模仿生物種群社會行為的啟發式算法[10]，由于具備良好的魯棒性和簡易的計算過程，在各種優化問題中得到廣泛應用。為提高UGM（1，1）模型對隨機誤差預測的準確性，本文利用PSO算法優化灰參數a和b。優化過程中，每個粒子在（a，b）構成的二維空間中搜索全局最優解，以UGM（1，1）的預測誤差作為適應度函數，計算每個粒子的適應度值，通過適應度值來尋找粒子的全局最優位置。具體優化步驟設計如下：

Step1 數據預處理。對初始數據序列ε（0）={ε（0）（1），ε（0）（2），…，ε（0）（n）}，進行非負處理，得到非負序列：u（0）={u（0）（1），u（0）（2），…，u（0）（n）}，其中，

u（0）（t）=u（0）（t）+min（ε（0）（t）），t=1，2，…，n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

Step2 粒子群初始化。初始化粒子群，包括種群的粒子數，最大、最小慣性權重值，兩個學習因子值和最大迭代次數k。隨機產生一組（a，b）作為粒子的初始位置和速度，設置速度和位置的上限Vmax sd和Smax sd。

Step3 定義適應度函數。參數優化的目標是提高UGM（1，1）模型的預測精度，將適應度函數定義為均方誤差：

F=■■（■t（0）（t）-ut（0）（t））2（13）

其中，■t（0）和ut（0）分別表示預測值和實際值，t表示樣本個數。

Step4 粒子進化。由適應度函數計算每個粒子的適應度值，搜索每個粒子的最優位置pbest和整個種群的全局最優位置gbest。根據式（14）更新慣性權重w。

w=wmax-■（14）

其中，wmax、wmin分別為慣性權重的最大值和最小值，kmax為最大進化代數。

Step5 判斷終止條件。若k=kmax，則停止搜索，此時的全局最優位置為最優參數a*和b*;否則進化代數k=k+1，并轉Step3。

Step6 建立UGM（1，1）模型。將最優參數a*和b*代入式（4）計算出A和B的值，構建UGM（1，1）模型并進行預測，將得到的預測值轉化為初始數據的預測值■（0）（t）：

■（0）（t）=B·eA（t-1）-min（ε（0）（t）），t=2，…，n（15）

3 ? ? ?PSOUGM-GARCH類模型

根據GARCH類模型，條件方差實質上取決于過去的隨機誤差項，但該假設與實際情況不甚符合。金融市場是一個復雜的系統，受到各種確定性和不確定性因素的影響，因而GARCH類模型的隨機誤差項εt是一個包含了已知信息和未知信息的灰序列。該序列除受到過去資產價格波動的影響，還受到經濟、政治、環境等復雜因素的影響。這些復雜因素時刻影響εt的變動，所以當期的隨機誤差對條件方差也會產生一定影響。本文利用PSO-UGM（1，1）模型的灰信息處理優勢連續修正GARCH類模型中的隨機誤差項，加強當期隨機誤差對條件方差的影響。具體來說，運用UGM（1，1）模型預測隨機誤差項，再將隨機誤差項的預測值加入GARCH類模型的方差方程中，以改善GARCH類模型的預測能力。修正后GARCH類模型的方差方程可表示為：

σt2=ω+■αi（ε■■+■t2）+■βj σ■■（9）

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（10）

σt2=ω+■[αi（ε■■+■t）+γiS■■（ε■■+■t）]+■βj σ■■（11）

其中，■t表示由PSOUGM（1，1）模型獲得的隨機誤差的預測值。

4 ? ? ?實證研究

4.1 ? 數據選取

選取我國股票市場的滬深300指數（HS300）和深證成指（SZCI）每日交易數據為研究對象，時間跨度從2009年1月5日到2014年7月10日，共1 338個交易日的觀測值，每組觀測值包含開盤價、最高價、最低價、收盤價，數據來源于新浪財經網站。股指收益采用連續復合對數收益率rt=（lnPt-lnPt-1）×100，其中，Pt和Pt-1分別為第t日和第t-1日的收盤價格。兩股指收益序列的描述性統計見表1。在樣本期內，HS300和SZCI收益序列的均值接近于零，明顯小于相應的標準誤差，由此可將收益序列的條件均值設為零。兩收益序列的J-B統計量在1%和5%水平下均顯著拒絕了正態性的零假設，而且偏度均小于零、峰度均大于3，說明HS300和SZCI收益序列波動幅度較為劇烈，具有明顯的“尖峰厚尾”且向左偏的非正態分布。LB（20）統計量顯示，HS300收益序列為白噪聲序列，不具有顯著的自相關性;SZCI收益序列具有顯著的自相關性。LB2（20）和LM（20）統計量均在1%和5%水平下顯著拒絕了零假設，表明HS300和SZCI收益序列存在顯著的ARCH效應，可建立GARCH類模型。

4.2 ? 網絡學習與預測

將全部數據樣本劃分為兩部分：前1 000個樣本用于建立模型;后337個樣本用于檢驗模型的樣本外預測能力。PSO算法自身參數進行如下設置：群體規模m=30，學習因子c1=c2=2，最大、最小慣性權重wmax=0.9，wmin=0.1，最大進化代數k=50。為減少隨機性影響，PSO算法連續優化10次，選擇其中最優的a*和b*構建UGM（1，1）模型。UGM（1，1）模型預測GARCH類模型的隨機誤差項時，采用向前一步滾動預測法，對于HS300，選取前12期的隨機誤差預測下一期的隨機誤差;對于SZCI，選取前11期的隨機誤差預測下一期的隨機誤差。將隨機誤差預測值加入GARCH類模型中，再利用建好的GARCH類模型預測波動率。為便于比較本文方法的有效性，基于相同數據樣本，同時利用UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型進行樣本外波動率預測，將預測結果與本文方法的預測結果進行比較。

4.3 ? 結果分析

真實波動率是無法預知的。評價各模型時，需事先估計事后波動率值（通過觀測數據得到真實波動率的近似值）。一般采用股指日收益的平方估計事后波動率，但這種傳統的波動率估計方法僅利用了股指的日內收盤價信息，在實際應用中將會產生明顯的偏差[11]。基于極差的波動率通過充分利用大量日內價格信息，能夠有效反映股指收益的波動狀況，在理論上已被證明比基于日收益的傳統波動率度量方法更有優勢[12]，本文以極差波動率作為事后波動率的估計值，定義如下：

Rt=■（ln（Pt，high）-ln（Pt，low））×100（16）

其中，k為極差無條件方差與收益無條件方差之間的修正系數，Pt，high和Pt，low分別為第t日內的最高交易價格和最低交易價格。

選取均方根誤差 （RMSE）、平均絕對誤差（MAE）、西爾統計量（THEIL）、對數損失函數（LL）和指數損失函數（LINEX）共五個指標對各模型的樣本外預測能力進行評價。各評價指標分別定義如下：

RMSE=N-1■（■t-Rt）2■（17）

MAE=N-1■|■t-Rt|（18）

THEIL=■（19）

LL=N-1■[ln（■t）-ln（Rt）]2（20）

LINEX=N-1■{exp[χ（■t-Rt）]-χ（■t-Rt）-1}（21）

其中，N為預測樣本個數，■t為波動率預測值的均方根，Rt為以極差度量的事后波動率。以上評價指標度量預測誤差的大小，其值越小，表明預測精度越高。

表2為各類模型的樣本外波動率預測能力評價結果。首先，PSOUGM-GARCH類模型對HS300和SZCI的RMSE、MAE、LL和LINEX值都分別小于其他類模型的對應值，說明PSOUGM-GARCH類模型的樣本外預測能力優于其他類模型。除SZCI的LINEX值外，PSOUGM-GARCH模型對HS300和SZCI的五個評價指標值均小于PSOUGM-EGARCH和UGM-GJR-GARCH模型的對應值;而且PSOUGM-GJR-GARCH模型對HS300和SZCI的五個評價指標值均小于PSOUGM-EGARCH模型的對應值。因此，在所考察的評價指標下，PSOUGM-GARCH模型的樣本外波動率預測能力最好，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型最差。其次，對于HS300，除GM-EGARCH的MAE值和GM-GJR-GARCH的LL值外，UGM-GARCH類模型的五個評價指標值均小于GM-GARCH類和GARCH類模型的對應值;對于SZCI，UGM-GARCH類模型的五個評價指標值均小于GM-GARCH類和GARCH類模型的對應值，表明整體上UGM-GARCH類模型在波動率預測方面的表現優于GM-GARCH類模型和GARCH類模型。最后，根據五個評價指標值，GM-GARCH類模型對HS300和SZCI收益波動率的樣本外預測能力優于GARCH類模型。

圖1為PSOUGM-GARCH類模型的樣本外波動率預測值比較。PSOUGM-GARCH類模型都較好地預測出所選時間段HS300和SZCI收益波動率的變動特征。在波動率變動幅度較小階段，PSOUGM-GARCH模型的預測效果較好，而在波動率變動幅度較大階段，PSOUGM-GJR-GARCH模型的預測效果則更佳。

5 ? ? ?結 ? ?論

本文將PSO算法、UGM（1，1）模型與GARCH類模型相結合，提出了PSOUGM-GARCH類模型，利用PSO算法優化后的UGM（1，1）模型修正GARCH類模型的隨機誤差項。以滬深300指數和深證綜指為研究對象，驗證了PSOUGM-GARCH類模型的有效性。實證結果表明，就滬深300指數和深證綜指而言，PSOUGM-GARCH類模型較UGM-GARCH類模型、GM-GARCH類模型和GARCH類模型具有更好的樣本外波動率預測能力，三種PSOUGM-GARCH類模型中，預測能力表現最好的是PSOUGM-GARCH模型，其次是PSOUGM-GJR-GARCH模型，最后是UGM-EGARCH模型。此外，UGM-GARCH類模型的樣本外預測能力優于GM-GARCH類模型和GARCH類模型，而GM-GARCH類模型的樣本外預測能力又優于GARCH類模型。

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