新中考背景下初中數學“好題”例析
——福建省教育科學“十三五”規劃2018年度常規課題，《新中考背景下初中數學考試命題導向研究》成果之一

潘振南

對初中數學教師來說，深入研究命題導向，是教師反思自身教學行為、改進教學方法的重要環節之一。因為大家都知道，初中數學學習是以“題”為載體的，處在教育一線的數學教師要善于圍繞教學的主線和每節課的核心內容，精選“好題”、改編“好題”；要善于從數學知識的相互聯系及學生的認知規律出發，用好題、巧解題、多變式，要充分發揮教師的主導作用，突出以問題設計為數學教學設計的重點，讓學生少做題、輕松學、有興趣，最終培養學生學會數學思考。教師要研究“數學好題”，可從不同的課型、課后作業及各級各類考試等設計中不斷積累和總結經驗。

一、初中數學“好題”的理論標準

《義務教育數學課程標準》(2011年版)明確指出：數學課程評價的根本目的是為了促進學生學習，改善教師教學。命題應發揮數學課程評價的多種功能。數學考試命題的出發點和歸宿應該是促進學生的發展，試題要給學生的生命舒展、個性發展留下空間，從內容到形式都要朝著有利于學生發展的方向變革，這樣的試題才具有效度、信度。就新中考背景下評價一道初中數學題是否為“好題”的理論標準，筆者認為可以歸納以下幾個要點。

1.科學性原則：試題內容符合科學性，沒有出現科學性的錯誤，沒有涉及到學術上的爭議；

2.規范性原則：試題編制符合規范性，題型使用得當，敘述表達規范，版面格式規范；

3.公平性原則：試題素材、背景材料等的使用公平(比如城市與農村學生均能接受的情景、素材)；

4.導向性原則：試題導向明確，能體現近幾年中考數學命題改革的變化趨勢；

5.思想性原則：試題能體現數學思想方法的考查，體現數學的教育價值觀和數學的文化性的考查；

6.創新性原則：試題在背景、形式、內容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性，能診斷考生的數學創新意識與創新能力。

二、初中數學“好題”的特征例析

初中數學教學本身就有不同情境，在不同情境中用不同的題，其教育教學的價值、效益就不同。同一道題，在不同情境中的教育教學價值、效益也不一樣。因此，筆者認為所謂的“數學好題”，撇開具體的題型，就是試圖找到一種大家都能接受的相對合理的“數學好題”的一些基本要素?，F例析數學“好題”所具備的一些特征。

1.關注課標教材，重視基礎考查

一道好試題不一定就是一道難度很高、很完美的題目。例如，每年的各地市質檢卷及中考卷等綜合卷都會突出對基礎知識、基本技能、基本思想及基本活動經驗的考查，選擇題、填空題、解答題這三種題型的前半部分一般情況下都是基礎題中的容易題，絕大多數學生都能得分，這些試題注重通性、通法，淡化特殊技巧，較好地體現了基礎性、公平性及普及性，這里就不一一舉例了。

2.關注核心素養，滲透思想方法

高中數學的核心素養與初中《新課程標準》的核心素養對比，如下表所示：

《初中數學課程標準(2011年版)》中提出的10 個核心概念指向學習主體(學生)的特征，是學生在義務教育階段的數學課程中最應得到培養的數學素養。從初中數學學習內容的特點與要求出發，結合近幾年中考數學命題的變化趨勢，我們應當將數感融入運算能力，將符號意識融入模型思想，進而將空間概念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、模型思想、應用意識、創新意識作為初中階段“好題”編制的關注點。

(1)空間觀念

例1：下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是( )。

評析：本題考查簡單幾何體三視圖，屬于基礎性知識的考查，由課本習題改編而來，但不是單純地讓學生識別一個幾何體的某一種視圖，而是綜合考查學生的空間觀念。

(2)幾何直觀

評析：本題沒有給出數軸，其目的是希望學生能夠自覺地畫出數軸，考查學生對“見數思形”的敏感性。利用數軸求不等式組的解集，有利于學生通過直觀性探索解決問題。

(3)運算能力

評析：本題屬于分式的混合運算，同時考查了分式的意義。運算能力要求為第二級水平，這是一種常見的題型，也是本省這兩年中考都考到的題型。本題考查學生運算能力的水平，主要表現在兩個方面：一是在根據定義、公式、法則等進行數學運算過程中呈現出來的正確、合理、靈活和熟練程度；二是對運算的理解和尋求合理簡潔的運算途經解決問題的水平。

(4)推理能力

例4：在不透明的袋子中裝有一個幾何體模型，兩位學生摸該模型并描述它的特征。

甲同學：它有4 個面是三角形；乙同學：它有8 條棱。

該模型的形狀對應的立體圖形可能是( )。

A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱錐 D.四棱錐

評析：數學的每個分支都充滿了推理，所以考查學生推理能力的載體是全方位的。而考查空間觀念，也可以用排除法，比如本題：三棱柱只有兩個三角形的面，所以排除A；四棱柱沒有三角形的面，所以排除B；三棱錐有四個三角形的面，但是只有6 條棱，所以排除C；剩下D 選項，且四棱錐符合條件，故選D。

例5：已知二次函數y=ax2+bx+c 中，其函數y 與自變量x 之間的部分對應值如下表所示：

點A(x1，y1)、B(x2，y2)在函數的圖像上，則當1＜x1＜2，3＜x2＜4 時，y1與y2的大小關系正確的是( ) 。

A.y1＞y2B.y1＜y2C.y1≥y2D.y1≤y2

評析：本題的背景材料是初中數學中的重要內容——二次函數。先由表格中的數據可以推出該二次函數開口向上，且對稱軸為直線x=2，再由函數的單調性可以得到答案。本題選擇值的設置很嚴謹，等號取不取的問題必須重視。

(5)模型意識

例6：如下右圖，在△ABC 中，AC=BC=25，AB=30，D 是AB 上的一點(不與A、B 重合)，DE⊥BC，垂足是點E，設BD=x，四邊形ACED 的周長為y，則下列圖像能大致反映y 與x 之間的函數關系的是( )。

評析：本題綜合考查函數的圖像、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是利用相似構造方程表示出DE 和BE，再利用周長公式構建函數關系式。本題如果改為一道解答題(如：求出y 與x 之間的函數關系并畫出圖像)效果可能會更好，因為選擇值的設置，由自變量的取值范圍可以直接舍去A、B、C 三個答案。

(6)應用意識

例7：建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運用到的數學原理是( )。

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.經過一點有無數條直線

D.以上均不正確

例8：如下圖，小明到小穎家有四條路，小明想盡快到小穎家，他應該走第______條路，其中的數學道理是____________。

評析：例7、例8 這兩題從生活現象入手，揭示看似簡單且習以為常的行為背后有著深刻的數學原理，考查學生利用已學的數學知識解決實際問題。類似的，在初等數學中，大量的數學知識都具有現實背景，如三角形的穩定性等，都提供了從數學的角度解釋生活現象的鮮活的命題素材。

(7)創新意識

例9：定義：如果一個數的平方等于-1，記為i2=-1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi(a，b 為實數)的數叫做復數，其中a 叫這個復數的實部，b 叫做這個復數的虛部。它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似。

例如計算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；

(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；

根據以上信息，完成下列問題：

①填空：i3=________，i4=________；

②計算：(1+i)×(3-4i)；

③計算：i+i2+i3+…+i2017。

評析：本題向初中學生提出了一個新的概念——復數，約定了一種新的運算，通過創設全新的問題情景，要求學生通過觀察分析、閱讀理解，并與已知認知結構中的知識進行同化，從而創造性地解決問題，對學生獨立思考、加工提取信息及知識遷移和創新的能力要求較高。

3.關注數學文化，體現德育導向

例10：《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9 枚(每枚黃金重量相同)，乙袋中裝有白銀11 枚(每枚黃金重量相同)，稱重兩袋相等，兩袋互相交換1 枚后，甲袋比乙袋輕了13 兩(袋子重量忽略不計)，問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y 兩，根據題意得( )。

評析：本題選自我國古代數學的經典著作《九章算術》，以此弘揚中華數學文化，增強民族自豪感，體現了數學課程育人功能的德育導向。

4.關注數學理解，考查運用能力

評析：本題背景來源于教材中反比例函數及相似三角形的性質，深入挖掘“反比例函數”的定義，考查學生對參數的準確理解，還要結合相似的相關知識來解題，突出引導學生經歷概念形成過程和理解概念本質的重要性。

5.關注操作實踐，助推思維發展

例12：如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，以點B 為圓心，BC 的長為半徑畫弧，交線段AB 于點D，以點A 為圓心，AD 長為半徑畫弧，交線段AC 于點E，連結CD。

(1)若∠A=28°，求∠ACD 的度數；

(2)設BC=a，AC=b；

①線段AD 的長是方程x2+2ax-b2=0 的一個根嗎？說明理由。

評析：本題在設計上以學生熟悉的作圖入手，通過實踐活動，發現所需要的條件，從而進一步解題。當然本題設計的亮點還在于與勾股定理、一元二次方程等知識點的綜合考查。

三、初中數學“好題”的一題多變

數學教育家波利亞認為：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數學內容和過量的題目，不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解題過程中，提高他們的才智與推理能力?！被谏鲜隼砟?，我們認為可以從一道“好題”出發，借題發揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養學生學會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題，培養學生的創新意識和創新能力。

例如：華東師大版初中數學教材九年級上冊第2 頁，問題1：

如圖1，用總長為20m 的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃，怎樣圍才能使花圃的面積最大？

圖1

改編一：如圖2 是一個矩形花圃，除墻一面外，原來的三邊改成中間再增加兩條與AB 平行且相等的邊；當然還可增加四條邊等。

圖2

改編二：(2015年·泉州中考24 題)：某校在基地參加社會實踐活動中，帶隊教師考問學生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長)，另外三邊用總長69 米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3 米的出入口，如圖所示，如何設計才能使園地的面積最大？下面是兩位學生爭議的情境：

請根據上面的信息，解決問題：

(1)設AB=x米(x＞0)，試用含x 的代數式表示BC 的長；

(2)請你判斷誰的說法正確，為什么？

改編三：(2018年·福建中考23 題)：如圖，在足夠大的空地上有一段長為a 米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100 米木欄。

(1)若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450 平方米，求所利用舊墻AD 的長；

(2)求矩形菜園ABCD 面積的最大值。

總之，正如波利亞所說：“好的題目和蘑菇一樣，它們都成串生長?！痹诔踔袛祵W教學中，不僅要求教師要具有一雙善于發現好題的眼睛，并且面對好題，還要有絕不放過的精神。在平面幾何中，三角形的題目可以改編成四邊形，平行四邊形可以改編成菱形或矩形或正方形等，再結合圖形的變換，可讓“好題”好上加好。