用向量法求二面角的常用技巧

唐中奎

摘 要：在高中數學教學中，不管是教學觀念，還是教學方法，都發生了很大的變化，作為高中數學教師，需要積累豐富的教學經驗以及諸多的解題技巧，并且充分認識到教學過程中存在的不足之處，進而采取有效的解決對策，提升教學水平。其中，對二面角進行教學時，教師應該對向量法給予高度重視，讓學生充分掌握常用的解題技巧。主要闡述了采用向量法求二面角的常用技巧。

關鍵詞：向量法;技巧;二面角

由于新課改的不斷推進，在現階段的高中數學教學中，為了有效提高教學效率，數學教師應該從學生的學習情況出發，明確教學中存在的問題，不斷調整教學模式，設計的教學內容要滿足學生的實際需求，尤其要重視一些解題技巧，以此提高學生的解題能力。一直以來，在高中教學中，向量法是重要的教學內容，在高考的考點中，二面角方面的命題也比較常見，通過空間向量的應用，為二面角命題提供了有效的解題方式。下面以向量求解二面角問題為例。

題目：在四棱錐P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面與ABCD面相互垂直，ABCD為直角梯形，∠ADC為直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，詳情見圖1。

（1）證明：BC垂直于面PBD;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值;

（3）在PC中，是否存在點Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在點Q，請給出具體位置，如果不存在，請說明理由。

一、根據現有的垂直關系構建空間坐標系

（1）證明：因為PCD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。具體見圖2所示。

以D為原點，構建D-xyz空間直角坐標系，那么，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，（1，1，0），因此，B⊥BC。

由于PD⊥ABCD，PD也就垂直于BC，因此，BC⊥PBD。

二、向量求解

在求解二面角的過程中，能夠直接轉化成為兩個平面的夾角問題，通過求出兩個平面的法向量，可以找到答案，一般題中會給出一個平面的垂直線段，這就可以看作是法向量。對于另一個平面的法向量進行求解時，需要根據法向量的定義進行求解，也就是說，利用一個法向量，得到另一個法向量。在本題的（2）中，對于PCD法向量，能夠直接利用向量DA進行求解。

（2）解：已知AD⊥PC，0）屬于平面PCD的法向量。

設平面PBC的法向量為n=（x，。

1，1，0），可以得出-x+y=0，2y-z=0，當x=1時，n=（1，1，2）。

設二面角B-PC-D為α，由圖可知，α是銳角，因此，cos

因此，二面角B-PC-D的余弦值為

三、判斷二面角的余弦值正負，可以根據法向量的方向性進行解析

設n1，n2為二面角α-l-β的面的法向量α、β，二面角α-l-β的大小也就是法向量n1，n2的夾角，在本題（2）中，可以得知所求的二面角屬于銳角。不過，在多數情況下，判斷起來并不容易，但是，經過向量的性質，可以有效解決相關的問題。

若PA⊥α于點A，PB⊥β于點B，平面PAB與l相交于點E，那么，∠AEB屬于二面角α-l-β的平面角，∠APB+∠AEB=π。假設n1，n2是二面角的法向量。如圖3。

（1）當法向量n1、n2分別指向二面角的內側和外側時，法向量n1、n2的夾角就是二面角的大小。

（2）當法向量n1、n2的方面均指向二面角的內側、外側時，那么，法向量n1、n2的夾角的補角就是二面角的大小。

判斷方法：在不改變法向量法向量n2的前提下，將平面β移動到點起點，以此為原點，詳情見圖4。此時，可以判斷n2指向二面角的內側，利用相同的方向，能夠確定另一個平面的法向量指向，進而判斷法向量夾角是否屬于二面角。

綜上所述，在高中數學教學中，為了解決二面角方面的問題，作為高中數學教師，要深入理解二面角的內涵，并且根據新課改的要求，不斷地創新教學方法，讓學生掌握二面角的解題技巧。對于向量來說，是一種有效的解題工具，不僅可以為學生提供新的思考方式，還能為教師提供新的教學方法，在很大程度上，可以有效簡化學生的思考過程，進而有效減少學生的運算量，有效滿足了新課程改革的相關需求，也為二面角的求解提供了重要的解題武器。不僅如此，通過向量法，可以解決的題型比較多，本文只是列舉了一個例子而已，對于三角函數以及正余弦定理公式，還有線段定比分點公式等，均能夠以向量為工具，解二面角方面的問題。由此可見，在日常的教學中，教師應該向學生全面滲透向量法的解題技巧，進而培學生的數學興趣，使其能夠充分應用向量法，提升自身的數學成績。

參考文獻：

[1]董培曉.向量法求二面角中法向量方向的控制[J].數學學習與研究，2017（8）：139.

[2]梁昌金.向量法求二面角的一個新途徑[J].高中數學教與學，2015（19）：26-28.

[3]趙雄.淺析向量法求解二面角[J].求知導刊，2014（6）：104.