數(shù)學在金融學中的應用

謝顧雋濤 北京匯文中學

引言：數(shù)學，是一門研究數(shù)理關系的古老而基礎的學科，而金融學，是從經濟學中分化出來，精確研究實際問題的學科，二者看似毫無聯(lián)系，但有一點將二者有機結合：金融學需要應用精確的量化數(shù)據(jù)來嚴謹?shù)模羞壿嬓缘姆治鼋鹑谑袌觥１疚膶⑼ㄟ^分析數(shù)學在金融學模型中的應用，向讀者介紹數(shù)學在金融學中應用的必要性與局限性；并附上作者對數(shù)學在金融學中的發(fā)展的一些看法。

一、金融學、數(shù)學基本概念介紹

（一）金融學基本概念

(1)期權：即一種合約，該合約賦予持有者在某特定日期或該日期前購買或售出的權利。歐式期權，即只能在交割日當日行權的期權；

(2)貼現(xiàn)過程：在風險中性測度下，股票的折現(xiàn)的一個過程。公式：現(xiàn)值=未來價值（其中r為無風險連續(xù)復利利率，是未來到現(xiàn)在的時間跨度）；

(3)無套利定價原理的等價推論：同損益同價格，以證券為例，若兩份證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格；

（二）金融數(shù)學中的一些定義及其基本公式

(2)數(shù)學期望：概率密度函數(shù)和函數(shù)值的乘積；

(3)方差：描述一個隨機變量的離散程度的量，其算術平方根為標準差；

二、Black-Scholes-Merton期權定價模型中的數(shù)學應用

Black-Scholes-Merton期權定價模型旨在制定期權合理價格，在金融學中有著舉足輕重的地位。1973年B-S-M首次發(fā)表后便立刻受到交易商的重視，并很快投入到應用之中。經過不少學者的檢驗與研究并不斷發(fā)展，B-S-M模型已經成為包括股票、債券、貨幣在內的新型衍生金融市場以市價價格變動定價的衍生金融工具，使其應用范圍不斷擴大，對金融領域意義非凡，模型作者羅伯特·默頓與斯科爾斯因此獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎[2]。

（一）B-S-M模型介紹

B-S-M期權定價模型（也稱BS期權定價模型）的公式為：其中:

C為期權合理價格，L為期權交割價格，S為所交易金融資產現(xiàn)價 T為期權有效期 r為連續(xù)復利無風險利率，為年度化方差，N(d)為正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)(積分上限中n=1或2)

（二）B-S-M模型證明

B-S-M期權定價公式有許多證明方式，在這里介紹一種基本的方法，用概率論推導。

衡量一個金融產品在未來的價值的方法為折現(xiàn)，即計算出金融產品的現(xiàn)值，產品的價格為該產品在未來的價值的期望值的現(xiàn)值。利用貼現(xiàn)過程的計算公式，可計算出未來的期權價格的現(xiàn)值，即（T-t為期權有效期）。

這樣問題簡化為如何表示C的數(shù)學期望。關于如何表示期權合理價格的數(shù)學期望這一問題略為復雜。由概率論可知，數(shù)學期望是一次試驗中，每次可能結果的概率乘以其結果的總和，可能取值容易得出，如看漲期權的收益，而概率函數(shù)很難求出。在學習概率的時候，我們知道要計算一個事件的概率需要大量重復一個事件，而經濟發(fā)展是不可倒退的。如何解決此問題？可對股票價格的收益率取對數(shù)，即，由對數(shù)運算法則可知為一個時間段（至）的事件，這樣可用歷史數(shù)據(jù)回歸。

以上公式推導的為看漲期權的合理價格公式，根據(jù)期權平價公式（其中P為看跌期權價格，其余同前）還可得出看跌期權公式。

另外，該公式還可以經過修改，使其滿足紅利存在的條件。

（三）B-S-M模型的實際應用

假設一種不支付紅利的股票當前市場價是42元，某投資者購買一份以該股票為標的歐式看漲期權，6個月之后到期，執(zhí)行價格為40元，假設該股票年波動率為20%，6月期國庫券年利率為10%，問該份期權價格應為多少。

由上述條件知：S=42，L=40，T-t=0.5，σ=0.2，r=0.1

經計算得：歐式看跌期權合理價格P=0.81（元）若期權實際價格為0.75元說明該期權被低估，有利可圖。

三、金融中應用數(shù)學的必要性

每一門科學的發(fā)展都離不開數(shù)學這個工具。美國花旗銀行副總裁柯林斯曾宣稱：“從事銀行業(yè)工作但不懂數(shù)學的人，實際上處理的是意義不大的東西。”他曾指出，花旗銀行70%的業(yè)務依賴于數(shù)學，并強調銀行業(yè)離開數(shù)學不可能生存。這是因為金融活動中存在大量的數(shù)據(jù)，如，股票，證券，期權和期貨的交易。數(shù)據(jù)在金融行業(yè)中的大量出現(xiàn)使數(shù)學工具的介入成為可能。

在進行數(shù)學應用時，金融數(shù)學家要對金融衍生品價格，需求量等變量的變化進行分析。這便需要將價格與需求量等數(shù)據(jù)的變化抽象化，以函數(shù)為方式將其復雜變量間的關系用函數(shù)圖像呈現(xiàn)，用導數(shù)來預測價格的漲勢；或是用數(shù)學期望估計一個未來的數(shù)據(jù)，推導方程或公式來研究一類問題。數(shù)學預測帶來的確定性與便捷性更使金融學中的數(shù)學應用成為必要[3]。

以文章中介紹的期權的定價為例。期權，在金融衍生品中有重要的地位，它調配了人們對金錢的需求，分攤了經濟生活中的風險。而期權的定價在此前，大多靠人們習慣，或是一些生活經驗來定價的，有一定準確性，但不夠精確，易受不對稱的信息的影響，買賣雙方有剩余存在。經濟學家們在研究中引入大量數(shù)學方法，建造模型，在一定條件下可以很容易地計算出適宜的行權費，這一定程度上打破了信息不對稱的障壁，讓買賣雙方相互信任，促進期權市場交易。于是資源利用率得以提高。由此可見數(shù)學作為工具應用在金融學中的必要性[4]。

四、金融中應用數(shù)學的局限性

在現(xiàn)實社會中，金融學的研究的對象處于不斷變化的狀態(tài)，數(shù)據(jù)每時每刻隨著市場的變化而變化。而市場的變化取決于許多方面，包括普通的供求關系等影響市場的經濟因素，也包括政府，軍事，宗教，制度等非經濟因素。相比于多變的市場，數(shù)學模型與公式是相對確定的，不隨市場發(fā)生變化。而且經濟學、金融學所研究的市場以及模型都是有許多假設條件的，這些復雜冗長的條件在現(xiàn)實世界中是很難滿足的，比如有效市場假說。文章中介紹的B-S-M期權定價模型就有8條假設，再比如資本資產定價模型的13條假設等等。條件未能達到，數(shù)學模型便失去了表述意義和分析能力：模型計算出的數(shù)據(jù)就不夠嚴謹，不夠精確，對未來判斷也就不夠嚴謹精確。

另外，數(shù)據(jù)的真實性也影響著模型的應用。金融學研究所用的數(shù)據(jù)都來源于現(xiàn)實世界，而在現(xiàn)實社會中，利益競爭無處不在，企業(yè)為了競爭可能不愿公開數(shù)據(jù)，甚至為了迷惑競爭對手篡改偽造數(shù)據(jù)。這意味著，在經過經濟參與者互相的博弈和斗爭后得到的數(shù)據(jù)，其可用性也有待商榷。而用錯誤的數(shù)據(jù)去預測市場，是不會有正確結果的[5]。

五、對金融數(shù)學的未來展望

因金融學與數(shù)學的關系之緊密，在近代誕生了金融數(shù)學這一學科。該學科以數(shù)學為工具研究金融，進行建模、計算等定量分析，找尋金融學規(guī)律并以此來指導實踐。兩學科的結合促進了金融學的發(fā)展。未來科學家們要不斷發(fā)展數(shù)學，并要相信數(shù)學領域的進步，有朝一日能將金融學帶上一個新的高度。

在數(shù)學進步的同時，金融數(shù)學家們研究時也應該重視模型、公式的包容性，拓寬模型、公式的適用范圍，使條件的限制變小，甚至簡化條件。比如文章中的B-S-M期權定價公式，不僅可以計算期權合理價格，還可以應用與其它衍生品價格的計算，同時也為套期保值和風險管理提供新的天地。不過從整體來看，這樣巧妙的公式還是少數(shù)。

所以，金融數(shù)學的研究，不但需要數(shù)學的理論作為基礎，而且需要人們的理性來將數(shù)學巧妙的應用到金融學里來。創(chuàng)新和應用應為金融數(shù)學的主流[6]。

小結：本文對金融數(shù)學基本概念、B-S-M模型、金融中應用數(shù)學的必要性與局限性及金融數(shù)學的未來展望進行了簡要介紹。隨著金融領域的不斷繁榮和發(fā)展，數(shù)學在金融學中會得到越來越廣泛的應用，從事金融學領域的工作者也應不斷提高自己的數(shù)學素養(yǎng)，進而對金融學規(guī)律有著更好的掌握。