板塊模型特征與解題策略

湖北

(作者單位：湖北省武漢市華中科技大學附屬中學)

模型傳經典 解題有策略

板塊模型是力學問題中的一個經典模型，它能將物體的受力分析、運動過程分析、力與運動的關系、功與能的關系及相關的運動圖象等力學主干知識串在一起，衍生出經典的力學問題，備受高考關注。解決這類問題的關鍵是對板、塊進行動態分析和終態推斷，從力與運動、功與能的觀點和運用圖象的手段來揭示其本質、特征、過程。

一、模型特征

此模型一般是物塊(可視為質點)疊放在板狀的物體上。往往由于板或物塊具有初速度或在外力作用下運動，板與塊在它們相互間摩擦力的作用下發生相對滑動，從而引出求它們相對滑動的距離、時間、最終速度、摩擦生熱等一系列問題。

二、解題策略

1.受力分析與臨界狀態分析

采用隔離法或整體法，或將隔離法與整體法交叉使用，正確分析研究對象的受力及運動特征是解決問題的前提。對板塊模型的受力分析，關鍵是對摩擦力的分析。板塊間的摩擦力可能是動摩擦力，也可能是靜摩擦力，要結合物體的運動狀態來判斷其受到摩擦力的方向。在經過臨界狀態(板與塊等速)時，物體受到的摩擦力(大小及方向)還有可能發生突變，力的變化會導致物體的運動狀態發生改變。牛頓運動定律與勻變速運動規律是板塊問題中力與運動分析的基礎。

【例1】如圖1所示，在水平面上有一質量為m=10 kg的足夠長的木板B，其上疊放一質量相同的物塊A，A與B、B與地面之間的動摩擦因數分別為μ1=0.3和μ2=0.1。所有接觸面之間的最大靜摩擦力均等于滑動摩擦力。現給木塊施加一隨時間t增大的水平作用力F=kt(k=5 N/s)，g取10 m/s2。下列反映A、B運動的加速度圖象、速度圖象及A、B間摩擦力f1、B與地面間摩擦力f2隨時間變化的圖象中正確的是

( )

圖1

A

B

C

D

【解析】A、B間的最大靜摩擦力fm1=μ1mg=30 N，B與地面間最大靜摩擦力fm2=2μ2mg=20 N。設A、B一起運動的最大加速度為am，對B由牛頓第二定律有fm1-fm2=mam，可得am=1 m/s2；這時對A、B整體有F-fm2=2mam，又F=kt，可得F=40 N，t=8 s。

(1)當0≤F≤20 N(0≤t≤4 s)時，A、B兩物塊均靜止，f1=f2=F=kt；

【答案】AD

【點評】本題中A、B剛好相對地面滑動與A、B剛好相對滑動是兩個臨界狀態，求出這兩個臨界狀態對應的外力F(或對應的時間t)，再將題給條件與臨界條件進行分類討論，是此題求解的關鍵。求解中靈活地采用了整體法與隔離法。對圖象問題進行定性與定量分析，結合函數關系式是一種有效的分析方法。

2.功與能分析

能量決定因素力位移與距離功能關系重力勢能重力豎直分位移ΔEp=-WG動能合外力物體(質點)對地位移ΔEk=∑W機械能除重力外的其他力物體(質點)對地位移ΔE機=∑W其他產生內能板塊間的滑動摩擦力板塊間相對移動的距離Q=fx相對

【例2】如圖2所示為某生產流水線工作原理示意圖。足夠長的工作平臺上有一小孔A，一定長度的操作板(厚度可忽略不計)靜止于小孔的左側，某時刻開始，零件(可視為質點)無初速度地放在操作板的中點，同時操作板在電動機帶動下向右做勻加速直線運動，直至運動到A孔的右側(忽略小孔對操作板運動的影響)，最終零件運動到A孔時速度恰好為零，并由A孔下落進入下一道工序。已知零件與操作板間的動摩擦因數μ1=0.05，零件與工作臺間的動摩擦因數μ2=0.025，不計操作板與工作臺間的摩擦，g取10 m/s2。求：

圖2

(1)操作板做勻加速直線運動的加速度大小；

(2)若操作板長L=2 m，質量M=3 kg，零件的質量m=0.5 kg，則操作板從A孔左側完全運動到右側的過程中，電動機至少做多少功？

【解析】(1)如圖3所示，設零件向右運動距離x1時與操作板分離，此過程經歷時間為t1，此后零件在工作臺上做勻減速運動直到A孔處速度減為零，設零件質量為m。

圖3

零件與板分離后

零件在時間t1內與操作板因摩擦產生的內能

根據能量守恒定律，電動機做功至少為

W=ΔEk1+ΔEk2+Q1≈12.33 J

【點評】畫出物體運動的過程示意圖，從圖中容易找出兩物體運動位移大小的幾何關系。力與運動的分析、功與能的分析是力學問題求解的兩大分析思路。物體與傳送帶因滑動摩擦而產生的熱Q=fx相對，這里x相對是物體與傳送帶相對運動的距離(或路程)，不一定等于相對位移的大小。

3.圖形分析

一方面是畫出物體運動過程示意圖，根據物理現象的發生、發展，按時間和空間的先后順序把物理過程繪圖展開呈現，形成直觀的、便于分析的物理圖景。畫出板、塊運動過程示意，從圖形中容易找出板、塊運動位移間的幾何關系，這是解題的隱含條件；另一方面是畫出物體相關的運動圖象，如v-t圖、a-F圖等，利用圖象的物理意義進行求解。圖象是將定性分析與定量研究相結合的一種手段，也是提高解題效率的一種有效方式。

圖4

【解析】貨箱剛放上平板車后，開始一段時間向右做勻加速運動，由μmg=ma，得a=μg=2 m/s2，方向水平向右；設經過時間t1和車達到相同速度，由at1=v0-a1t1得t1=1 s，此時相同速度為v1=a1t1=2 m/s，方向向右；

圖5

由于貨箱的最大加速度a=μg=2 m/s2

故貨箱到車尾的距離d=l-Δx+s1-s2=1 m。

【點評】動摩擦力的方向與物體間相對運動方向相反。在剎車減速運動過程中，車上貨箱受動摩擦力的作用，開始做勻加速運動，在達到車速前，貨箱相對車向后滑動；當與車速相等后，由于車的加速度大于貨箱的加速度，即車速比貨箱減速得快些，則在以后運動過程中貨箱相對車向前滑動，直到兩者均停止運動。本題分析的關鍵是要抓住貨箱受到摩擦力的特點來進行，對物理過程的分析可以在時間與空間兩個維度上進行展開，可以畫出運動過程示意圖，也可以結合速度圖象進行分析。

【例4】(原創)如圖6所示，質量m=1 kg的小物塊A(可視為質點)放在長L=4.5 m的木板B的右端。開始時A、B兩疊加體靜止于水平地面上。現用一水平向右的力F作用在木板B上，通過傳感器測出A、B兩物體的加速度與外力F的變化關系如圖7所示。已知A、B兩物體與地面之間的動摩擦因數相等，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10 m/s2。求：

圖6

圖7

(1)A、B間的動摩擦因數μ1；

(2)乙圖中的F0的值；

(3)若開始時對B施加水平向右的恒力F=29 N，同時給A水平向左的初速度v0=4 m/s，則在t=3 s時A與B的左端相距多遠？

【解析】(1)由圖乙知當A、B間相對滑動時A的加速度

a1=4 m/s2

對A由牛頓第二定律有μ1mg=ma1

可得μ1=0.4

(2)設A、B與水平地面間的動摩擦因數均為μ2，B的質量為M。當A與B間相對滑動時對B由牛頓第二定律有F-μ1mg-μ2(m+M)g=Ma2

可得M=4 kg，μ2=0.1

則F0=μ2(m+M)g=5 N

(3)給A水平向左的初速度v0=4 m/s且F=29 N時，A運動的加速度大小為a1=4 m/s2，方向水平向右；

由于x1+x2=L，即此時A運動到B的左端，當B繼續運動時，A從B的左端掉下來停止。

在t=3 s時A與B左端的距離

【點評】本題通過板塊模型結合a-F圖象，考查運用牛頓運動定律與勻變速直線運動規律及分析解決實際問題的能力。建立物理圖象的函數關系式、分析物理圖象的意義是問題求解的關鍵。