電磁感應(yīng)現(xiàn)象中雙棒模型的建構(gòu)與應(yīng)用

江西

(作者單位：江西省九江市濂溪區(qū)第一中學(xué)江西省九江市第一中學(xué))

建構(gòu)與應(yīng)用模型是物理學(xué)最重要的研究方法之一

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的雙棒問(wèn)題是一類十分典型的問(wèn)題，其綜合性強(qiáng)、能力要求高、難度大。該類問(wèn)題涉及力學(xué)中的受力情況及其作用效果(安培力、合外力、安培力的沖量、安培力做功等)與運(yùn)動(dòng)情況(運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、速度-時(shí)間圖象、相對(duì)位移或雙棒間距變化等)的分析；涉及電磁學(xué)中電路(電路結(jié)構(gòu)、電動(dòng)勢(shì)、電流、電荷量、焦耳熱等)與磁路(磁通量、磁通量變化量、磁通量變化率等)的分析。以下分析4類典型模型及其應(yīng)用。

一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象中雙棒模型建構(gòu)

1.等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型

如圖1所示，足夠長(zhǎng)的水平光滑金屬導(dǎo)軌，分布著方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。已知棒1、2質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計(jì)；棒1以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，棒2無(wú)初速度；除磁場(chǎng)作用外，雙棒沿導(dǎo)軌方向無(wú)其他外力作用。

圖1

(1)運(yùn)動(dòng)分析

由于棒1切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在閉合回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。由右手定則可確定感應(yīng)電流的方向，由左手定則可確定雙棒所受安培力的方向。分析可知，棒1做減速運(yùn)動(dòng)，棒2做加速運(yùn)動(dòng)。全過(guò)程雙棒運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖象如圖2所示。

圖2

(2)電流分析

(3)動(dòng)量分析

說(shuō)明：①若對(duì)棒2建立動(dòng)量定理方程，所得結(jié)果相同。

(4)能量分析

整個(gè)回路中，電流發(fā)熱。全過(guò)程雙棒系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱可由能量守恒定律得到，即

2.等長(zhǎng)雙棒受力模型

如圖3所示，棒1無(wú)初速度、受水平恒定外力F作用；棒2無(wú)初速度，除磁場(chǎng)作用外，沿導(dǎo)軌方向無(wú)其他外力作用。其余條件與等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型所給條件相同。

圖3

該模型分析所使用的思維方法與上述模型相同。以下僅對(duì)運(yùn)動(dòng)情況及電流兩方面進(jìn)行分析。

由受力分析及牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以確定，在開始運(yùn)動(dòng)的一段時(shí)間內(nèi)，棒1做加速度不斷減小的變加速運(yùn)動(dòng)，棒2做加速度不斷增大的變加速運(yùn)動(dòng)。

圖4

圖5

3.非等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型

如圖5所示，足夠長(zhǎng)的水平光滑金屬導(dǎo)軌，分布著方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。若棒1、2質(zhì)量分別為m1、m2，長(zhǎng)度分別為l1、l2，電阻分別為r1、r2，其余部分電阻不計(jì)；棒1以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，棒2無(wú)初速度；除磁場(chǎng)作用外，雙棒沿導(dǎo)軌方向無(wú)其他外力作用。

全過(guò)程雙棒運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖象如圖6所示。

圖6

圖7

4.非等長(zhǎng)雙棒受力模型

如圖7所示，棒1初速度為零、受水平恒定外力F作用；棒2無(wú)初速度，除磁場(chǎng)作用外，沿導(dǎo)軌方向無(wú)其他外力作用；其余條件與非等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型所給條件相同。

全過(guò)程雙棒運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖象如圖8所示。

圖8

二、電磁感應(yīng)現(xiàn)象中雙棒模型應(yīng)用

1.等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型應(yīng)用

【例1】如圖9所示，水平放置的兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在平臺(tái)上，導(dǎo)軌間距為1.0 m，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為2.0 T、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，平臺(tái)離地面的高度為h=3.2 m。初始時(shí)刻，質(zhì)量為2.0 kg的桿ab與導(dǎo)軌垂直且處于靜止，距離導(dǎo)軌邊緣為d=2.0 m，質(zhì)量同為2.0 kg的桿cd與導(dǎo)軌垂直，以初速度v0=15 m/s進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，最終發(fā)現(xiàn)兩桿先后落在地面上，已知兩桿的電阻均為r=1.0 Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，兩桿落地點(diǎn)之間的距離s=4.0 m(整個(gè)過(guò)程中兩桿始終不相碰)。

圖9

(1)求ab桿從磁場(chǎng)邊緣射出時(shí)的速度大小；

(2)當(dāng)ab桿射出時(shí)，求cd桿運(yùn)動(dòng)的距離；

(3)在兩根桿相互作用的過(guò)程中，求回路中產(chǎn)生的電能。

【分析】設(shè)ab、cd桿從磁場(chǎng)邊緣射出時(shí)的速度分別為v1、v2。設(shè)ab桿落地點(diǎn)的水平位移為x，cd桿落地點(diǎn)的水平位移為x+s，則有

由動(dòng)量守恒定律有

mv0=mv1+mv2

解得v2=10 m/s，v1=5.0 m/s

(2)ab桿運(yùn)動(dòng)的距離為d，對(duì)ab桿由動(dòng)量定理有

(3)由能量守恒，電路中產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)損失的機(jī)械能

【點(diǎn)評(píng)】本題以雙桿在導(dǎo)軌上的變速運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)為背景，考查等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用。理解電流回路中，兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)反向連接，學(xué)會(huì)從多種角度分析雙桿問(wèn)題。試題側(cè)重理解能力及推理能力的考查。

2.等長(zhǎng)雙棒受力模型應(yīng)用

【例2】如圖10所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌固定在傾角θ=30°的斜面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，間距為L(zhǎng)，空間分布著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直且向上，將兩根金屬棒a、b垂直放置在導(dǎo)軌上，并將a用輕繩通過(guò)定滑輪和小物塊c連接。已知兩棒的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，電阻均為R，質(zhì)量均為m，小物塊c的質(zhì)量也為m，不考慮其他電阻，不計(jì)一切摩擦，重力加速度大小為g。

圖10

(1)將b鎖定，釋放a，求a的最終速度v；

(2)讓a沿斜面向上、c豎直向下以2v的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)釋放b，求三個(gè)物體最終運(yùn)動(dòng)的速度；

(3)在(2)問(wèn)中，若a、b、c從開始運(yùn)動(dòng)經(jīng)時(shí)間t到達(dá)最終狀態(tài)，求該過(guò)程中a、b產(chǎn)生的總焦耳熱。

【分析】(1)a最終勻速上升，設(shè)其所受安培力為F，分析a受力FT=mgsinθ+F，分析c受力FT=mg。

由法拉第電磁感應(yīng)定律有E=BLv

安培力大小F=BIL

(2)a、b、c最后做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)a的速度為v1，b的速度為v2，此時(shí)a、b所受安培力大小均為F′。

分析b受力F′=mgsinθ；分析a受力F′+mgsinθ=FT；分析c受力FT=mg。

解得v1-v2=v

a、b、c組成的系統(tǒng)，沿運(yùn)動(dòng)方向上合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即4mv=2mv1+mv2

(3)已知a、b、c從開始運(yùn)動(dòng)到最終狀態(tài)所用時(shí)間t，雙棒速度取平均值，對(duì)b由動(dòng)量定理，有

由能量守恒定律，有

【點(diǎn)評(píng)】本題以雙棒在傾斜導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)為背景，考查等長(zhǎng)雙棒受力模型的應(yīng)用。理解電流回路中，兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)反向連接，學(xué)會(huì)選擇不同的研究對(duì)象分析問(wèn)題。試題側(cè)重理解能力及分析綜合能力的考查。

3.非等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型應(yīng)用

【例3】如圖11所示，兩條電阻可以忽略不計(jì)且寬度不等的金屬長(zhǎng)直導(dǎo)軌固定在一個(gè)水平面上，互相平行。圖中左側(cè)導(dǎo)軌寬度為2l，右側(cè)導(dǎo)軌寬度為l。已知兩根長(zhǎng)度分別為2l、l，質(zhì)量分別為2m、m，電阻分別為2r、r的導(dǎo)體棒a、b可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地左右滑動(dòng)。在討論的空間范圍內(nèi)存在著豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。t=0時(shí)刻，右側(cè)的導(dǎo)體棒具有向右的初速度2v0，左側(cè)的導(dǎo)體棒具有向左的初速度v0。左側(cè)、右側(cè)導(dǎo)體棒均在各自導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)。求：

圖11

(1)流過(guò)兩根導(dǎo)體棒的電流以及各自所受的安培力；

(2)從t=0開始至兩根導(dǎo)體棒中有一根先停止運(yùn)動(dòng)，該過(guò)程中流過(guò)導(dǎo)體棒橫截面的電荷量及回路中磁通量的變化量；

(3)經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)雙棒各自的速度大小及全過(guò)程中導(dǎo)體棒a產(chǎn)生的焦耳熱；

(4)在同一坐標(biāo)系中，定性畫出自t=0始到穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)程中雙棒運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖象(不要求分析)。

【分析】(1)t=0時(shí)，雙棒各自產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，兩電動(dòng)勢(shì)同向。由閉合電路歐姆定律有

(3)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，棒a、b的速度分別為va、vb，對(duì)棒a、b分別由動(dòng)量定理，有

達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，回路電流為零。由閉合電路歐姆定律有B(2l)va=Blvb。聯(lián)立解得

雙棒產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少，即

(4)速度-時(shí)間圖象如圖12所示。圖中t1對(duì)應(yīng)棒a速度減為零的時(shí)刻，t2對(duì)應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)刻。t1時(shí)刻棒b的速度為v0可由棒a、b的動(dòng)量定理方程求出。

圖12

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及多個(gè)物理量的分析與計(jì)算，力求從不同的視角考查非等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用。題中在進(jìn)行電流分析時(shí)，雙棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)開始同向加強(qiáng)，最后反向削弱。關(guān)于磁通量的分析，也可以從磁通量的定義出發(fā)，仿照上文所述方法求得。試題重點(diǎn)考查分析綜合能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。

4.非等長(zhǎng)雙棒受力模型應(yīng)用

圖13

(1)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，回路中的電流；

(2)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，回路中總電阻的發(fā)熱功率。

達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，回路中的電流恒定，變化率為零，有

解得2a1=3a2。

對(duì)ef棒、gh棒，分別由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

F-2ILB=2ma1；3ILB-f=ma2

(2)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，回路中總電阻的發(fā)熱功率為

P=I2(R+2R)。