概率問題解決能力微探

羅靜　徐文峰

摘 ? 要：文章以數學教學專業碩士的一道期末考試題作為研究材料，對學生概率問題解決能力做一個初步的分析，得出學生習慣用弱方法解決概率問題且忽略強方法的運用是錯誤率高的原因之一。文章從波利亞解題四個步驟分析，指出錯誤集中在“理解題目”和“執行方案”兩步，從而推斷出沒有很好執行第四步“回顧”是學生未能糾正錯誤最主要的原因。

關鍵詞：考試題;問題解決策略;回顧

作者簡介：羅靜，廣東省韶關市韶關學院數學與統計學院講師，博士研究生，研究方向為數學基礎教育、高等數學教育（廣東 ?韶關 ?512005）;徐文鋒，廣東省廣州市華南師范大學數學科學學院講師，研究方向為半群理論及高等數學課程與教學。（廣東 ?廣州 ?510000）

基金項目：本文系廣東韶關學院第十八批教育教學改革研究項目“數學核心素養導向的‘高等數學教學探討與實踐”（課題編號：SYJY20171844）與廣東韶關學院2015年度科研項目“韶關學院高等數學教學的現狀與調查研究”（課題編號：S201501021）;廣東韶關學院2016年度科研項目“雙循環半群上同余研究”（課題編號：SY2016KJ21）的研究成果。

中圖分類號：G652 ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1671-0568（2019）23-0024-03

《普通高中數學課程標準（2017年版）》在基本理念中提出“把握數學本質，啟發思考，改進教學”，這是對教師教學提出的新要求。現有的研究大多根據學生或教師的角度，用問題解決的專用問卷分析學習和教學情況，這些專用問卷都是針對大范圍的能力水平測試，沒有面向教學中具體模塊，如概率問題解決能力的小范圍測試問卷，因此，合理應用常規的測驗對問題解決能力進行評估是很重要的。本文以2017級數學教學專業碩士的一道期末考試題的答題情況作為研究材料，從問題解決策略的角度對學生答題情況進行分析研究，并從波利亞解題四個步驟分析學生錯誤的原因，為小范圍的概率問題解決存在的問題的初步評估和分析提供參考。

一、 試題與答題情況分析

參加本次考試的學生共57人，最終得到57份答卷。

試題為：一個酒鬼的鑰匙串上有k條看起來相同但實際上不同的鑰匙，其中只有一條可以打開他家的大門。午夜回家，他一條鑰匙接一條鑰匙地嘗試開自家的大門。

（1）如果每一次他都隨機地選擇沒有試過的一條鑰匙，那么在試到第n次（1

（2）如果每一次他都從k條鑰匙中隨機選擇一條，那么在試到第n次（1

解題情況如表1（P25）所示。從綜合情況看，共17個（其中完全正確有9人）學生能正確選擇分步乘法原理解決問題，可見學生對這個方法是最熟悉的。結果表明，沒有學生用古典概型來解決問題，正確使用分類乘法的9位學生中，也沒有在解答過程中對“事件”進行界定，只是直接給出算式和答案。

解題失敗的類型集中在錯誤一與錯誤二：首先，關注“第n次打開門的概率”這個條件的有21人，其中15人答案為，6人答案為。他們忽略了題目中的其他條件，屬于未理解題意;其次，有8位學生雖正確選擇了分步乘法原理，但是答案為，其原因是分步中的每一步概率均錯寫為開門的概率，屬于理解題意并已得到解題方案，但是在執行方案時出現了錯誤。

第（2）問的答題情況和第（1）問基本相同。第（1）問中屬于錯誤一和錯誤二的所有29個學生均用同一錯誤方法;在正確的結果中，第（1）問用解法一的學生用同樣的方法解決了第（2）問。從以上分析可見，學生把兩問看成密切相關的整體，毫不猶豫地延用解題模式解決第二個問題。

答題情況并不理想。只有18位學生得到正確答案，且其中9位在解題過程中存在一些問題，其余39位學生均出現明顯的錯誤。從答題者對概率知識掌握情況分析，他們對“基本事件”和“古典概型”均未達到理解的層次。對問題的基本事件進行準確的界定，是解決概率問題的第一步，也是必不可少的關鍵步驟，確定基本事件及其發生的概率是理解問題本質屬性最有效的方法。從答題情況來看，缺乏對基本事件清晰的界定，是本題正確率低的重要原因之一。 基本事件的相關定義和古典概型均是教育部2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《實驗版》）中新加入的內容，計數原理一直是高中數學的教學內容，在《實驗版》中調整為必修2-3的內容。由本次解題情況，可見新增加概率的知識雖然是必修課的內容，但是此次答題的學生未真正理解和掌握。對比兩問的答題結果，解題思維慣性也是犯錯的一個重要原因，沒有深入思考兩個問題的本質區別，失去了糾正錯誤的機會。

二、概率問題解決研究視角

1. 從解題策略分析。解決問題的策略一般有兩種類型：強方法和弱方法，還有學者提出知識類型法作為第三種解題策略。

弱方法是當解決者并不知道怎么直接解決問題時所求助的一種通用的問題解決策略，這種一般性的啟發式稱作差異遞減法，其中最著名的就是“爬山法”和“手段—目標分析”。應用分步乘法原理解決第（1）問就是“爬山法”模式。“手段—目標分析”這種啟發式和“爬山法”的不同在于問題解決者能把一個問題分解為若干個子問題，典型的例子有解決河內塔問題的目標遞歸策略，不完全歸納法也是這一問題解決策略的應用。用弱方法解決問題是重新組合規劃已有的技能，并有可能進一步概括出解決此類問題的強方法，有研究者認為這對學習者而言是新的學習結果，是真正的問題解決。而弱方法最大的缺點是很難判斷問題是否得到正確地解決，其效率比較低且經常會無功而返。從本題答題情況來看，38個用分步乘法的學生中的29人錯誤理解題目信息而解題失敗。這恰恰驗證了雖然弱方法可以解決很多非良構問題，但如果弱方法涉及的是來自記憶或情境中的不正確信息就會直接導致錯誤。因此“講授這些方法是否應該成為教育的首要目標則是值得懷疑的”。