使用Matlab對布朗運動的模擬

王富帥 陳正昊 孫琦

摘 要：根據(jù)朗之萬方程，通過對朗之萬方程的數(shù)值推導(dǎo)，得到單個布朗粒子布朗運動下的位移方程，位移方程可以反推至愛因斯坦平均差位移方程。本文利用位移方程寫出數(shù)值模擬下的布朗運動的軌跡。通過Matlab軟件編程，得到了布朗運動隨機軌跡三維圖。

關(guān)鍵詞：布朗運動;朗之萬方程;Matlab模擬仿真

2.2 軟件模擬

為了便于模擬我們不妨令步長Δt=1，無單位，僅僅是作為數(shù)學(xué)處理的單位。ψ（0，）是平均值為0，方差為的正態(tài)分布，若僅僅考慮單個粒子，可以考慮為符合正態(tài)分布一組數(shù)據(jù)中的一個。我們可以使用Matlab軟件中的normrnd函數(shù)來產(chǎn)生一個隨機正態(tài)分布數(shù)組。由于所取得的正態(tài)分布數(shù)為隨機數(shù)，因此使用Matlab軟件得到的軌跡每次都不一樣，這也正好反映了布朗運動的隨機性。

2.3 主程序

以迭代1000次的程序為例：

a=500;n=1.003;T=300;

k=1.380649e-23;r=6*pi*a*n;

D=k*T/r;d=sqrt（2.*D）;

a=normrnd（0，d，[1 1000]）;

b=normrnd（0，d，[1 1000]）;

c=normrnd（0，d，[1 1000]）;

x=[];y=[];z=[];o=0;p=0;q=0;

for i=1：1000

{o=o+a（1，i）;p=p+b（1，i）;q=q+c（1，i）;

x（1，i）=o;y（1，i）=p;z（1，i）=q;}

end

plot3（x，y，z）

3 結(jié)論

通過對朗之萬函數(shù)的數(shù)值化處理，我們得到了具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律的位移函數(shù)，導(dǎo)出了位移關(guān)系式，并且，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到愛因斯坦的平均矢量位移關(guān)系式，并且得出布朗粒子布朗運動的軌跡是一個具有一定統(tǒng)計學(xué)規(guī)律的隨機方程。然后利用Matlab軟件進行編譯，通過已推導(dǎo)出的關(guān)系式，模擬布朗運動的軌跡，將其軌跡畫出。

參考文獻：

[1]Einstein A.Investigations on the Theory of the Brownian Movement[M].New York：Dover Pulieation Inc，1956.

[2]Smoluchowski M von.Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen[J].Annalen der Physik，1906，326（14）：756-780.

[3]Langevin P.Sur la théorie du mouvement brownien[J].CR Acad Sci Paris，1908，146：530-533.