數形結合，以線段圖理解兩數的和、差及倍數關系

溫彩娥

(廣東省云浮市新興縣實驗小學 廣東 新興 527400)

小學數學五年級上冊的《實際問題與方程》例4是學習用簡易方程解決含有兩個未知數的實際問題。教學用書把畫線段圖分析比較數量關系，找準等量關系定為本節課的重點，把兩個未知數究竟“設哪一個為χ，另一個又怎樣表示”定為本節課的難點。在此之前，學生從未接觸過這種類型的題目，雖然學生早就學過和、差、倍以及線段圖的知識，但例4的知識點過于密集，很考驗學生的綜合運用能力。比如倍的知識雖然在前幾頁的例2有一定的鋪墊訓練，但這節課從整數倍過渡到小數倍，學生的觀念一下子轉變不過來，這是其一。其二有倍數關系的兩個數利用和/差計算的時候，必須找準“一倍數”，但學生在“誰是誰的幾倍”這句話里，往往只注意幾倍數的份數，忽略了“一倍數”也占一份，這個數量關系沒弄清楚，等量關系也不好找。其三學生雖然在三年級就學了線段圖，但利用率不高，還沒養成畫線段圖解題的習慣。

如何把新授內容與已學內容建立聯系，讓學生能根據和、差、倍的關系列方程解答呢？縱觀之前的知識脈絡，這種類型的題目與學生以前學過的不少內容有關，比如在小學低年級就有根據兩數求出它們的和、差及倍數關系的實際應用問題。現在是從兩數的和、差及倍數關系中選取兩項作為已知條件，反過來求兩數分別是多少。可見，所謂的“和差”、“和倍”、“差倍”問題，實際上是求兩數和、差、倍問題的逆向變換。

俞正強老師說，當一個小學生的思維發生困難的時候，一定是在學習準備上出問題了，而不是智力有問題。他說教學設計要把握八個字“因材施教、循序漸進”。 因材施教指兩方面，(1)用什么材料來教學生；(2)用什么問題來問學生。循序漸進講究的“序”就是知識結構跟認知方式要吻合。為了幫助學生更好地理解該類問題的數量關系，我將在學習新課前采取數形結合的方式，把線段圖作為準備性學習材料讓學生充分經歷探究的過程，學會借助線段圖分析比較兩數的和、差及倍數關系。

課前就板書課題，讓學生把知識庫里“和”、“差”、“倍”的相關知識提取出來：你知道什么是和？什么是差？什么是倍嗎？接著用三幅線段圖和3個核心問題落實本節課的教學目標。為什么用三幅線段圖呢？第一幅是整數計算，后面兩幅是小數計算，目的有二：一讓學生體會借助線段圖看數量關系很直觀，充分感受到線段圖的實用性很強；二讓學生跳出整數倍的范疇，因為學生最早接觸的份數概念與倍數概念都是整份整份的，但今天要把不夠一份的零點幾份用來計算。因此一上課就讓學生接觸，盡早培養數感。

我先用第一幅引出線段圖的概念，然后提出第一個核心問題：一看這幅線段圖，你知道甲、乙的和、差、倍分別是多少嗎？三幅線段圖都讓學生說一說，熟悉里面的數量關系。接著把線段圖換成有倍數關系的一句話，繼續找甲、乙和、差的份數，讓學生明白：原來只要給出有倍數關系的兩個數，就可以從這句話里找到它們和、差的份數。

再回到剛才的三幅線段圖，讓學生對比找共同點，他們會發現甲都是一份，乙是不止一份的。原來線段圖不是亂畫的，它是有講究的，一般把一倍數畫在上面，幾倍數畫在下面。那么到底甲是幾？乙又是多少呢？都不知道，含有兩個未知數。這時提出第二個核心問題：如果給甲或乙一個數量，你覺得給誰會更好算？比如甲為一份是10個的話，那么第一幅里乙就是30個，第二幅里乙是25個，第三幅里乙是33個。反過來，如果乙是10個，也能很快算出甲來嗎？這個環節是讓學生更深切地體會到：先找一倍數，再算幾倍數效率更高。

接著增加難度，把已知數量給甲乙的和或差，讓學生說說從圖上得到什么信息？能不能算出甲、乙來？這是本節課的一個難點，如果沒有線段圖，不少學生會忽略一倍數要占一份。比如第一幅線段圖，用文字表達是：甲、乙的和是12米，乙的長度是甲的3倍，求甲、乙分別是多少？有的學生會用12除以3得到甲，再用12減4得到乙。那就錯了，因為他們看不到和是4份這個隱含條件，要突破這個難點，必須要有工具，就是線段圖，把圖畫出來，數量關系就一目了然了。

接下來制造一個連環錯的判斷題：甲乙之和是20，甲是乙的4倍，甲是5，乙是15。這里不僅一倍數幾倍數搞反了，甲乙之和的份數也是錯的。理解能力強的孩子可以根據題目找到相關的信息，但理解能力弱的孩子，他就蒙了：為什么要加1？為什么又減1？1從何來？當學生分析匯報時，說出甲是4份，乙為1份，和包括5份，應該用20除以5求出一倍數。這時老師提出第3個核心問題：怎么找一倍數？讓學生把目光聚焦在有倍數關系的這句話上。

我根據俞老師說的“因材施教、循序漸進”來設計，以線段圖為準備性學習材料，圍繞三個核心問題開展教學活動，把大量的時間放在學生的學習準備上，例4作為練習題出現的，希望這樣的知識結構與學生的認知方式吻合，能幫助學生更好地掌握含有兩個未知數的實際問題，感受到運用數學知識解決實際問題的自豪感。