問題導引文化點綴

金明 吳洪生

摘要：本文以蘇教版必修4第一章第3節“三角函數周期性”一課為例，闡述了如何創設問題情境，不斷用問題引領學生主動探索知識的未知領域，引導學生從生活實際問題逐步抽象出函數周期性的定義的教學過程，并對情境創設的過程作了總結性思考。

關鍵詞：問題引導;三角函數周期性

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-031-3

在數學教學中，教師適當地引入情境能給本節課增添很多色彩，通過“問題引入，串講聯系，文化點綴”的方式，可以促進數學教與學方式的轉變，有利于培養學生模型思想和理性思維。

一、教材依據與教材分析

三角函數周期性是蘇教版必修4第一章第3節的內容，本節課是為學習三角函數的圖像和性質提供了問題背景，教學時，教師應充分運用這些問題背景以突出“建立刻畫周期性現象的數學模型”這一主題。

教學中，教師可以引導學生通過對三角函數誘導公式的具體分析，幫助學生認識周期及周期函數，對于一般的周期函數，則不必作過多的討論。

二、設計背景

在數學文化中，包含了許多數學與非數學學科的實際例子，成為聯系數學與其它非數學科聯系的紐帶，也架設了數學與非數學領域的橋梁。在教材中，這種例子比比皆是，如數學與宗教、數學與政治、數學與詩歌等這些內容的滲透，拉近了數學與學生的距離，使數學更加平易近人，體現了數學的生活化特點。

三、設計思路

三角函數周期性的學習是為學習三角函數的圖像和性質提供了問題背景，教學時，教師應充分運用這些問題背景以突出“建立刻畫周期性現象的數學模型”這一主題。

周期函數的定義是教學中的一個難點。在教學中，教師可以從“周而復始的重復出現”出發，通過實際模型，一步步使語言精確化，通過“每隔一定時間出現”“函數值就重復出現”等逐步抽象出函數周期性的定義。

四、教學目標

知識與能力：

1.了解周期函數的概念。

2.會判斷簡單函數的周期性，并會求簡單三角函數的周期。

過程與方法：

1.通過組織學生從生活實際問題逐步抽象出函數周期性的定義，不斷增強學生分析問題、解決問題的能力。

2.通過本節的學習，歸納正弦函數、余弦函數的最小正周期，使學生進一步體會觀察、比較、歸納、分析等一般科學方法的運用。

情感態度與價值觀：

1.通過生活實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型，增強學生的數學應用意識。

2.在教學過程中，通過學生的相互交流，來加深對三角函數周期性的理解，增強學生數學交流能力，培養學生傾聽、接受別人意見的優良品質。

3.通過學習，使學生了解數學是人類文化的重要組成部分，了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。

4.讓學生體會數學來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數形結合思想;讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗創造的激情，享受成功的喜悅，感受數學的魅力。

五、教學重點

1.周期函數的定義。

2.求一些簡單的三角函數的周期。

六、教學難點

周期函數概念的理解。

七、教學準備

多媒體課件、投影儀、教學案

八、教學過程

1.創設情境，引入新課

即興朗誦詩一首：

賦得古原草送別

離離原上草，一歲一枯榮;

野火燒不盡，春風吹又生。

多媒體播放歌曲一首（節選）：春去春會來/花謝花會再開/黑夜又白晝

[設計意圖：讓同學們通過古詩和歌曲感受一下直觀下的周期性。簡單了解周期函數就是描述現實世界“周而復始”與“因果關系”的一種數學模型。]

師：同學們還能說出類似的例子嗎？

生：今天是星期一，7天之后還是星期一。

師：14天之后呢？

生：還是星期一。

師：還有嗎？

生：每年都有春、夏、秋、冬，地理課上的地球的自轉，公轉……

師：這些現象有什么共同特點呢？

生：都給我們重復、循環的感覺

[設計意圖：通過生活實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，激發學生的求知欲，體現數學抽象的核心素養。]

2.學生活動

提出問題：請同學們根據已有知識說明正弦函數有類似現象。

sin（x+2π）=sinx

每當α增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同。

正弦函數的這種性質稱為周期性。

[設計意圖：通過三角函數線這一模型，將自然現象數學化，經過問題的巧妙設置和師生的共同討論，找到周期函數的數學特征，引導學生歸納出周期函數的定義。]

3.嘗試定義，鞏固深化

（1）對于函數f（x），如果存在一個，

使得定義域內的，都滿足，

那么函數f（x）就叫做周期函數，叫做這個函數的周期。

設計問題：

1.若f（x+3）=f（x），則f（x）周期是多少？

2.若f（x）周期為-2，請你寫出一個等式。

3.判斷下列說法是否正確，并簡述理由：

（1）x=7π6時，sin（x+2π3）=sinx，則2π3一定是函數y=sinx的周期;

（2）x=π3時，sin（x+2π3）≠sin，則2π3一定不是y=sinx的周期。

[設計意圖：通過幾個不同層次問題的研討，鞏固概念。由特殊到一般，引入反例加深印象。體現邏輯推理的核心素養。]

在此教師需在追問：

追問1：函數f（x）=sinx（x≤0）是否為周期函數？

追問2：y=sinx的周期唯一嗎？為什么？

師：T是f（x）的周期，那么kT也一定是f（x）的周期（k為非零整數）？

生：是的。

師：可以證明嗎？

生討論后給出證明。

思考：1.y=sinx的周期當中存在最小值嗎？

2.y=sinx的周期當中存在最大值嗎？

3.在y=sinx所有正數周期中有最小值嗎？

[設計意圖：由追問的問題，由淺入深，深化概念，并引出最小正周期的概念。這一塊內容必須要緊湊、細實。]

（2）最小正周期的定義

對于一個函數f（x），如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫f（x）的最小正周期。

說明：今后如果不加特別說明，一般都指函數的最小正周期。

提出問題：y=3是否是周期函數？

追問：1.周期為多少？

2.有最小正周期嗎？

生在此一一作答，如回答不上來可以分組討論。

[設計意圖：讓學生認知不是所有的周期函數都有最小值。]

提出問題：1.y=cosx是否是周期函數？若是周期函數，周期是多少？若不是周期函數，請說明理由。

2.y=tanx是否是周期函數？若是周期函數，周期是多少？若不是周期函數，請說明理由。

[設計意圖：通過類比研究，讓學生認知所學的三個三角函數都是周期函數，并且都有最小正周期。]

追問：y=sin2x是否是周期函數？若是周期函數，周期是多少？若不是周期函數，請說明理由。

提問部分學生，可能答不出來，此時需要小組合作探究。

[設計意圖：師生共同探討，體現師生合作，生生合作，讓課堂充滿活力，讓同學們知道團結的力量，體驗成功的喜悅。]

學生活動：自編一道三角函數題，請同座位思考是否為周期函數？若是周期函數，周期是多少？若不是周期函數，請說明理由。

教師展示活動成果，并一一點評。

師：你們能得出什么結論？

生：1.一般的，函數y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，A≠0，ω>0）的周期2πω

師：發現源于觀察，創造源于探索。

沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現——艾薩克·牛頓

猜想：2.若函數y=f（x）的周期為T，則函數y=Af（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，A≠0，ω≠0）的周期T|ω|

[設計意圖：再次體會由一般到特殊，類比的思想方法。]

合作探究：求下列函數的周期：

1.y=|sinx|

2.y=cos|x|

思考：y=|Asin（ωx+φ）|的周期？

學生集體討論給出答案并加以證明。

[設計意圖：在本題的解答過程中，我們用到了處理問題的常用一種手段，整體換元，將比較復雜、陌生的問題轉化成我們熟悉的問題加以解決，同時通過題組的形式，也便于學生歸納出一般的結論。問題設計由特殊到一般，由淺入深，層層遞進，展現學生的思維能力，激發學生學習興趣，調動學生積極性。]

4.知識遷移，學以致用

例 若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數關系如圖所示。

（1）求該函數的周期;

（2）求t=10s時鐘擺的高度。

師組織學生圍繞以下問題展開討論：

問題1：周期函數具有什么特征？

問題2：能否根據周期性找到t=10s時鐘擺的高度？

（師生共同討論，完成解答）

[設計意圖：例1的設置可以直觀的反映出周期函數圖象的特點，進一步的幫助同學理解周期函數的定義，并為正弦函數圖象的學習打下良好的基礎。]

5.回顧反思

本節課由實例引入，通過師生的合作探究，幫助學生更好的理解周期函數及周期的概念，并要求學生能夠結合概念會求一些簡單的三角函數的周期。

反思：課堂的各個教學環節不是一成不變的，應根據課堂上學生的實際情況，靈活組織，提高課堂駕馭能力;充分調動學生的學習主動性，使不同層次的學生都有收獲。

6.課堂檢測

略

7.課后作業

請同學們根據三角函數周期性，寫一首詩，交給老師。

[設計思路：如果不在某種程度上成為一個詩人，就永遠不會成為一個完美的數學研究者。——維爾斯特拉斯]

教師提供一首詩：

三角函數

東升西落照蒼穹，

影短影長角不同。

晝夜循環潮起伏，

冬春更替草枯榮。

[設計意圖：把文化深入課堂，首尾呼應]

8.板書設計（略）

九、感悟與思考

問題情境的創設必須是學生熟悉的情境，這樣才可以調動學生的積極性，讓學生參與進來，體現學生的主體地位，讓學生主動探索知識的未知領域，從而轉變了學生的學習方式。教師應該不斷地用問題引領學生來激活學生，有了問題，學生的思維才有方向，才有互相交流的機會。基于以上認識，本課著力于問題的設置，層層推進，達到期待的效果。但是問題引領和情境創設必須遵循層次性原則，圍繞教學主題，層層遞進，才能讓學生持續性地不斷提高。否則就會適得其反，神散形也散。

教育最終的指向是全面發展的人。數學具有高度的抽象性，嚴密的邏輯性，但這不應該是數學課堂粗糙無味的理由，其實，數學是一種語言，是一種思維，也是一種工具，更是一種文化，這種文化也正好架設了數學與非數學學科之間的橋梁。學習數學時對文化的滲透，更能引領學生對數學的向往。當你教到直線與圓的位置關系時，脫口而出的是“大漠孤煙直，長河落日圓”;當你進行點、線、面、體教學時，可以吟誦一下“兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。”這樣做，數學課堂上散發出的“文化味”必將引人入勝，別有韻味，意味深長。當然，用文化點綴課堂的也要遵循“主題”原則，也要圍繞主題展開，不能喧賓奪主，所選的詩句、話題等要與學生的生活貼近、融洽。否則就會分散學生的注意力，詞不達意，文不對題，反而使效果適得其反。

形式服從主題，內容圍繞核心素養，無論是問題導引還是文化點綴，都必須服從于學情，服務于學生，以學生的發展為本。

（作者單位：江蘇省清浦中學，江蘇 淮安223001）