用特征值和特征向量對一般線性遞推關系的討論

【摘要】本文推導出一種方法，通過此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關系中的通項公式。

【關鍵詞】遞推關系 特征值 特征向量。

正文：? ?用特征值和特征向量對一般線性遞推關系進行討論。

設k階線性循環數列{xn}滿足遞推關系：

[xn=a1xn-1+a2xn-2+…+akxn-k，n=k+1，k+2，…]

其中[ai（i=1，2，…k）]是常數，且[ak]≠0。

方程組

可表示為矩陣形式：

則（1）可寫成：

由（2）式遞推得[an-k+1=A2an-k-1=…=An-ka1]

其中[a1=[xk，xk-1，…x2，x1]T]

于是求通項xn就歸結為求xn-k+1，也就是求[An-k]。

如果A可對角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則An-k=PBn-kP-1，由于

從第一列開始每一列乘以λ加到后一列上，可得到：

若λ是A的一重特征值，顯然有R（λE-A）=k-1，則線性齊次方程（λE-A）X=0的基礎解系中只含有一個解向量。因此當A有k個特征值時λ1，λ2，…，λk這k個特征值對應的特征向量分別是p1，p2，…pk，以這k個特征向量為列構成的方陣記為P，則P是可逆的，并且P-1AP=B。

例1? 設數列{xn}滿足遞推關系：

求通項xn。

解? {xn}是三階循環數列，將方程組

用矩陣表示為：

并有上式遞推得

其中x1=1，x2=x3=5

由[λE-A]=0，即

得A的特征值為：[λ1=1，λ2=-2，λ3=2]

再有特征方程（[λiE-A）X=0（i=1，2，3）]解得對應于A的特征[λ1，][λ2]，[λ3]值的特征向量分別為：

令

即

代入（3）式得? 。

參考文獻：

[1]曹錫皞等編《高等代數》北京師范大學出版社.

[2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關系上的應用.棗莊師專學報.

作者簡介：林冬梅，女， ，畢業于山東師范大學，數學專業.淄博職業學院，副教授，從事數學研究、數學教學工作。