分段函數可導性的一種新判法

【摘要】函數的可導性問題是高等數學中的一個重點和難點，尤其是分段函數在分段點處的可導性問題。本文以洛必達法則推得一個由導函數判斷分段函數分段點處可導性的新方法。

【關鍵詞】洛必達法則 可導性 導函數極限

高等數學中函數在某點處尤其是分段函數在分段點處的可導性判定是個重點也是難點，教材中多以定義判定，但定義法往往不是最簡便、最實用的方法。考慮到分段點左右兩側導函數一般都很容易得到，且很多情況下已知某點左右兩側導函數，能否借助導函數來討論函數的可導性呢？學習完洛必達法則之后，可導出一種新的判定方法。

預備 洛必達法則的適用條件：

由于連續是可導的必要條件，不連續必不可導，連續不一定可導，下面我們由洛必達法則推得連續函數于某點處可導性的判定方法。

定理：設函數f（x）在x0處連續，且在x0的某去心鄰域內可導。

證明：由導數的定義，考察函數在某點處可導性，需考察極限存在性。

∵函數f（x）在x=x0連續，

由洛必達法則

定理表明：連續函數在某點處的可導性問題可轉化為求該點去心鄰域內導函數的極限問題。

∴f（x）在x=0處可導，且f'（0）=0。

用該定理討論分段函數分段點處的可導性時，常常需要考察分段函數在分段點處兩側鄰域內的導函數極限，左極限存在左可導，右極限存在右可導，左右極限都存在且相等則函數于該點可導。

∴函數f（x）在x=0處是連續的

因此f（x）在x=1處連續

以上由洛必達法則推得的一個借助導函數極限判斷函數可導性的方法還是較為實用的。提醒注意使用條件，不要死搬硬套。先看是否連續，不連續必不可導，若連續，再查兩側鄰域內導函數的極限，極限存在則可導;極限為∞則不可導;極限不存在且非∞定理失效。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系主編? 高等數學（第五版，上冊）高等教育出版社

[2]馬志敏? 高等數學輔導同濟大學（同濟五版） 中山大學出版社