基于APOS理論下的核心概念及其教學策略

李嬋

【摘 要】本文應用 APOS 理論，從操作、過程、對象、圖式四個階段分別就導數概念教學進行闡述，并結合教學實踐，指出了各個階段容易出現的問題。

【關鍵詞】導數APOS理論 概念教學

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08B-0112-03

數學概念是學習數學的基石，更是數學思想與方法的載體，在高中數學教學中具有重要的地位。而作為高中微積分章節的核心概念，導數概念是學生初次接觸的并且較為抽象的概念，有不少學生很難區別變化率與導數之間的關系，對導數的幾何意義認識不透徹。然而以建構主義理論為基礎的 APOS 理論更加注重學生的主體地位，更加注重知識探究的形成過程，因此，如何基于 APOS 理論下探究高中數學核心概念教學策略，讓學生真正理解導數概念的實質具有重要的意義。

一、APOS 理論下導數概念教學策略

為了讓學生自己建構導數的概念，理解導數概念的實質，在教學過程中需要分為以下四個階段來完成。

（一）操作階段

為了讓學生初步感受概念的科學性，對概念有一個初步的理解，教師應以學生現有的認知水平為出發，將學生已有生活經驗和知識結合起來，適當創設問題情境，很自然地實現相關知識的遷移。在這一階段中，教師的主要作用是創設問題情境，注意問題是否符合學生的認知水平。值得說明的是，教師不能因該階段簡單而忽視該階段的學習，而應有耐心地引導學生實現知識的遷移，讓學生自己去感受概念的合理性。

例如，在導數概念問題情境創設中，筆者以學生日常生活中所見到的吹氣球現象為出發點，要求學生描述氣球內空氣容量增加與氣球半徑大小之間的關系，體會隨著體積的增大，半徑增加越來越慢，揭示出氣球膨脹的本質變化。然后，以汽車的速度為例，引導學生將教學重點由平均速度向瞬時速度轉變，從 ?t 大于 0 和 ?t 小于 0 兩個方面入手，選取一些具體數值體會無限逼近的思想，認識當 t 不斷趨近 0 時，平均速度將趨近于一個固定值，讓學生感受導數概念產生的合理性。最后，從學生已有的認知—— 割線入手，探究一條曲線上，任取一個固定點，在其固定點周圍隨機取一些移動點，讓移動點不斷趨向這一固定點，觀察割線的變化趨勢，并引導學生寫出割線斜率的一般式，即 。

（二）過程階段

操作階段只是一個外部刺激，而概念的形成還要依靠學生自己去建構。在過程階段，教師應設置一些問題來探究，引導學生對操縱階段的對象再次進行分析和反思，總結其共同特征和屬性，在大腦中形成一個完整的認識。然后，組織成為數學語言，將相關概念所描述的內容精煉地表達出來。在這一階段中，教師的主要作用是不斷提出問題，進行啟發，并引導學生對新舊知識進行比較。

例如，通過前面操作階段的學習，學生已經對平均膨脹率、平均速度有了深刻的認識，深刻理解了瞬時速度的實質，發現趨近后確定的值就是瞬時速度，并引出瞬時速度這一抽象的數學符號。然后，按照由特殊到一般的原則，總結以上問題的特征和屬性，理解某一時刻的瞬時速度如何表示和求解，進而轉化為函數的瞬時變化率該如何表示，最終將導數概念與其函數的瞬時變化率結合起來，從而認識導數概念的實質。

同時，在理解導數的幾何意義時，繼續觀察曲線上某一點割線的變化趨勢，通過對割線斜率數學表達式的抽象，觀察總結出當 ?t→0 時，其割線的斜率就會趨近在切線的斜率上，進而將切線的斜率與導數的概念結合起來，初步形成導數的幾何意義就是該點切線的斜率。

（三）對象階段

上述所獲得的概念是通過對過程的總結而獲得的，但這樣所獲得概念抽象性較強，必須實現由過程向對象的轉化，必須將所獲得概念作為一個整體去理解。為了實現概念由之前的動態步驟轉變為靜態的結構存儲，需要教師組織學生反復對上述前兩個階段進行思考，對其概念再次進行補充說明和細節上的辨析，多方面地理解概念。值得一提的是，雖然經過了細致的引導和具體的實例，但還是有相當數量的學生難以接受這個概念，此時，教師可以組織學生通過一些具體的習題練習、對象建立示范等方式以達到深刻理解概念的目的。

例如，經過過程階段，學生已經獲得了相關的概念，但對平均膨脹率、平均速度的理解仍然較為抽象，平均膨脹率、平均速度到底是誰與誰的比值，進而通過類比得出函數中平均變化率就是函數值的增量與自變量增量的比值，即 ，顯然，若 ?x 是 x1 的增量，那么 f（x2）=f（x1+?x），并且要求學生從函數圖象上理解平均變化率的意義。

同時，再次組織學生思考瞬時速度、瞬時變化率的求解步驟和求解過程，認清 ?x 是如何趨近于 0 的，?x 能否直接等于 0，?y 是否可以等于 0，以前所學問題中哪些地方可以發現導數，并且要使函數在 x0 處有導數，就必須使這個函數在 x0 處有意義，并運用所學知識書寫出 x0 處的導數形式，即 。

此外，經過上述階段的學習，學生已近知道了導數的幾何意義就是切線的斜率，但此時僅是單純的記憶，并沒有在學生大腦中留下深刻的印象，此時，教師應引導學生思考此時的切線是否是以前學生已經學習的切線，兩者之間有什么關系，割線的變化趨勢反映到具體數學式子上該是什么，并通過設置問題、數形結合、思考割線的變化趨勢等方式理解此處切線的實質，深刻體會微積分中以直代曲、應用簡單的對象刻畫復雜對象的重要思想，進而理解導數的幾何意義。

（四）圖式階段

雖然經過上述過程的探究已經揭示了其對象的本質屬性，但在聯系其他概念和法則時往往會出現一些錯誤，因此，教師還應排除干擾，不斷幫助學生完善自己的知識框架，建立學生自己的綜合性知識框架。在具體實踐中，一方面需要建立概念縱向框架，主要包括概念的外延和內涵;另一方面，需要建立概念橫向框架，主要包括該概念與其他概念之間的區別與聯系。并且，隨著學習的不斷深入，不斷完善自己已經建立的知識圖式。

例如，為了使概念形成的綜合圖式更加穩定，教師應設置一些具體事例，要求學生探究出函數在某一段上的平均變化率。如圖 1 是甲乙企業在規定的排污達標日期之前的治污效果連續檢測結果圖，試從圖中兩條曲線去分析哪個企業的治理污染的效率較高，并說明你的理由。并且要求學生以平均變化率的實質與其幾何意義是什么、平均變化率的概念是怎么獲得的、你還能列舉那些以 平均變化率為主題的生活現象等問題進行反思，要求學生以小組交流的方式讓學生踴躍發言，通過以上這些實際問題和問題反思從而有效鞏固平均變化率的概念，幫助學生形成心理圖式。

同時，在導數概念教學中，此階段可以通過設置一些例題，有效練習計算瞬時變化率，還可以運用導數定義的變式解決實際問題，建立基本的心理圖式，從而理解導數概念的本質。例如，。

此外，對于導數的幾何意義，教師應結合圖形深入分析某些時刻瞬時變化率，還可以就容易混淆和出錯的題目進行本質上的區別，有效比較概念的橫向和縱向框架，使對導數的幾何意義的理解實現思維上升華，從而形成完整的心理圖式。例如，為了讓學生辨析在某一點處的切線方程和過一點處的切線方程，筆者設置了如下題目，并要求學生思考曲線的切線是怎么來的，割線的斜率和切線的斜率之間存在什么樣的關系。

已知曲線 f（x）=x2+1，試求在點 P（1，2）處的切線方程。

二、APOS 理論下高中導數概念教學應注意的事項

經過了操作、過程、對象、圖式四個階段之后，學生會對高中導數概念建立一個層層遞進認識的過程，但 APOS 理論下的高中導數概念教學不是一蹴而就的，需要教師在具體教學實踐中不斷加以完善。基于 APOS 理論下開展高中導數概念教學應注意幾個方面的問題：

1.從操作到過程階段中，一些學生表面上看似理解了概念的本質與屬性，但在面對一些變式題目時，仍然停留在模仿階段，并沒有進行積極的思考，對無限逼近的數學思想、瞬時變化率還沒有達到真正掌握的程度，從具體問題到抽象的數學概念之間沒有形成很好的轉變，因此，教師應充分了解學生現有的認知水平，注重由實際問題背景引出導數概念。

2.從過程到對象階段中，學生過多地關注導數概念數學表達式的右半部分，而忽視了導數概念數學表達式的左半部分，以至于對于 ?無法正確解答，可見學生對于對象的建立還有欠缺，因此，教師應做好概念的整體把握，實現知識與思維真正的升華。

3.從對象到圖式階段中，學生在剛學知識后能夠有效解決相關問題，但隨著時間的推移，原有已理解的問題卻不能高效應對。究其緣由是學生沒有形成綜合圖式，或者是只是處于初級圖式階段，因此，教師應深刻關注和思考學生的綜合圖式，通過一些相關練習題目或專題講座等形式促使學生形成比較穩定的綜合圖式。

4.概念的學習過程是思維不斷升華，不斷提高的一個過程，而導數概念的建立需要經過反復甚至來回跳躍才能形成圖式，有時還會存在不能確定屬于某一階段的情況。因此，教師應采用反復建構、螺旋上升的方式進行概念教學，這在一定程度上也很好體現了 APOS 理論對概念的建構思想與理論。

綜上所述，基于 APOS 理論下的高中數學核心概念教學讓課堂由原來教師的教變為學生主動的建構，有效引導學生加強對概念圖示的建構，符合高中學生的心理發展特點與認知水平。我們相信，隨著 APOS 理論下高中數學核心概念教學的不斷完善，一定能夠幫助學生更好地理解所學知識，一定能夠培養出學生良好的數學思維。

【參考文獻】

[1]陳國華.APOS理論下初中數學核心概念及其教學策略探究——以“函數”概念為例[J].數學教學通訊，2017（20）

[2]濮安山，丁嘉雯.基于APOS理論的高中數學概念教學案例設計——以“任意角”的概念教學為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（03）

[3]徐長俊.基于APOS理論談談中職數學概念的教學策略[J].科教文匯（上旬刊），2012（1）

[4]湯 強，羅義銘.從APOS理論分析“任意角的三角函數”的教學難點[J].中國數學教育，2016（10）

（責編 盧建龍）