對一道數列求和題的思考與研究

周婷婷

摘 要：數列求和是高考考查的重點內容之一，其中用錯位相減法求和是高頻考點，它要求學生具有嚴謹的數學邏輯思維能力和較強的數學運算能力。然而我們學生最后得到的結果經常出錯，在數列12分的大題里面，大部分學生得分都是在6、7分，很不理想。本文從一道錯位相減法求和的數列大題，進行對該類題型的解法分析和研究，希望對廣大學生有所幫助。

關鍵詞：數列;求和;錯位相減

數列是出現在高中數學教學課程必修五課本的第二章內容，數列是高考的必考內容，其中數列求和是考查的重點和難點。高中階段對數列求和的方法主要有公式法（等差、等比數列求和公式）、分組求和法、倒序相加法、裂項相消法和錯位相減法等。其中錯位相減法最深受學生的“痛恨”，雖然此方法思路簡單，但是計算和化簡的過程繁瑣，要求學生具有很強的運算能力，以及具有清晰的解題邏輯思維能力。錯位相減法求和也是在考查學生的心理能力，考查我們學生能否在有限的時間里面快速的正確的完成。

以下我就圍繞一道利用錯位相減法求和的例題，根據班級學生出現的解題思路以及解法做進一步的分析和總結。

題目：已知數列的通項公式，求數列的前項和.

分析：數列求和錯位相減法使用類型題：已知數列的通項公式;其中數列{}為等差數列，{}為等比數列，求數列的前項和。在教材中的概念課推導等比數列的前n項和的公式就是用錯位相減法進行推導的。

【解法一：】

解：

學生在用錯位相減法解題的時候，①、②式子容易寫出，易錯的地方是出現在兩式相減之后的計算和化簡。在上面的解法一中，①—②所得的式子里面，得出，這涉及到了等比數列的求和，學生如果在這里應用等比數列的前n項和公式，

，那么共有（n-1）項進行求和，其和代入公式應為 ?????????，而我們

學生在這里的運算往往會欠缺項數問題的考慮，易錯成n項，直接計算出錯導致丟分。所以為了避免出現項數的錯誤，我們建議該步等比數列的求和可用另外一個公式：，這個公式用到了數列的首項和末項，而該等比數列的首項和末項在此

式子中容易得出，即：

其次，在①—②所得的式子里面，因為是錯位進行相減，所以最后一項的相減應為：，所以最后一項的符號應為負，而我們學生也會易錯寫成加號。

錯位相減法求和是需要學生有很強的計算能力，然而如果按照解法一的方法做題，很多學生還是會很難接受，原因出現在了分式運算，這對于原本計算能力欠缺的學生真的是難上加難。所以我們可以進一步思考研究，發現如果我們進行錯位相減之前，能夠把原先的通項公式進行適當的變形處理，結合學生的學習認知能力，處理成明顯的等差數列乘以等比數列的標準形式，即，這樣我們學生比較容易接受，因此出現了以下的解法二。

【解法二】

解：

①?-②得：

我們再進一步的分析研究解法二發現，在①—②所得的式子

在解法二上，我們是直接對用了等比數列求和的公式運算。在這一步中如果在等式每邊進行乘以2的運算，這樣可以得到等式：?，之后我們發現，也就是，我們可以拆寫成??，而1我們可以寫生，進而在后面看似復雜的計算化簡中，我們進而得出以下解法三。

【解法三】

解：

①-②得：

這道數列求和題中，三種解法本質是一樣的，但是不同的解法體現不同的計算思維的方法，也體現出轉化的數學思想。所以我結合上述的三種寫法，在用錯位相減法進行數列求和時，給出以下幾點做題建議：

1、熟知轉化的數學思想，并能靈活應用。做題時需仔細審題，觀察題目適合哪種數列求和的方法，若求和類型不明顯，則觀察分析是否能夠轉變成我們熟悉的通解通法，這就是做題的突破口。同時也要求我們必須掌握利用錯位相減法求和適用的數列題型，即所求數列的通項公式為“等差×等比”的形式。當所求數列的通項公式比較復雜時，我們可以先對通項公式進行適當的化簡變形，變成明顯的“等差×等比”的標準形式。例如;2017年天津卷（2）的高考數列題，由第一問可求得，第二問求數列的前n項和，在第二問中，我們可以做以下的化簡：

這樣靈活的處理化簡，轉化成熟悉的錯位相減法求和的類型題，學生易懂，計算也會不易出錯，解題效率和正確率都會有所提高。

計算時要仔細，不貪快。我們做題的時候，在平時計算的易錯點要特別小

心，不丟冤枉分。比如在兩個式子進行相減時，錯位進行相減后的最后一項的符號是負的，為了避免此處出錯，我們建議可以在第二個式子乘以公比之后錯開來寫，實則是“錯位”二字的體現，這樣兩個式子相減之后，上面式子和下面式子對應項相見會一目了然。如：

使用恰當的等比數列求和公式，會在計算上給我們降低錯誤率。在兩個式子進行相減后，往往會得到一個等比數列的求和，如果我們使用等比數列求和的公式，公式中的指的是所求數列和的項數，而有些題目的項數并不明顯看出，學生做題時容易都當成額求項和導致錯誤。所以為了避免出現項數錯誤，我建議可以選擇用公式：，該公式中的是該數列求和中的首項，指的是該數列求和的末項。比如：

在上面的式子圈出來的求和部分中，是一個等比數列求和，如果我們使用公式進行求和，注意項數是第三項一直加到第項，共有項項進行求和，結果為，然而我們學生容易在項數上出錯。如若我們使用公式求和，不需考慮項數問題，直接代入結果為，公式中的和可以直接從式子中看出。

4、在兩個式子相見之后的計算中，我們也可以先觀察是否有些項可以通過拆分，或者進行添項、減項，進而得到恰好構成n項的等比數列求和。如果可以，則會使我們的接下去的解題計算更加簡便，也更加方便我們運用等比數列求和公式，同時還會避免了上述第三點意見中的使用恰當的等比數列求和公式的選擇。

參考文獻：

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