二次函數最值在解決數學實際問題中的重要應用

馬洪云

摘 要：二次函數主要研究數量的變化規律，是解決函數問題中非常重要的一個數學模型，利熟練的掌握和應用二次函數不僅能夠讓同學們在考試中取得優異的成績，同時也能用來解決實際生活中的問題，這個是當前教育發展的重心。新課程標準指出，函數是一個具有普遍意義的數學模型，與實際生活有著十分密切的聯系，希望教師在教學的過程中能夠引導同學們對問題進行全面地分析，并利用二次函數的最值來解決相關問題。

關鍵詞：二次函數;應用;最值;一般步驟;典型例題

二次函數的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點，總會是拋物線的最高點或者最低點，而在這兩個點處就會取得函數的最大值或者最小值，所以利用二次函數來求解函數的最大值和最小值的實際問題，就可以運用抽象的二次函數模型，利用最值的求解方法來解決問題。

一、利用最值解決二次函數問題的一般步驟。

遇到此類問題時，同學們應該首先想到二次函數的相關性質，并且根據題目中，或者是實際問題給出的已知條件來寫出二次函數的解析式，從而結合著實際的意義來確定自變量的大小范圍，利用自變量的大小求解二次函數的最大值或者最小值，即可求出最終答案。

二、常見的可以利用二次函數的最值來求解的問題。

1.有明確自變量范圍的二次函數最值。

在求解相關的二次函數時，根據題目條件，給出的最只并不一定是整個函數的最大值或最小值，因為如果自變量有一定的范圍，最大值和最小值不一定會是二次函數圖像的頂點。

所以，在進行相關題目的解答時，一定要先判斷函數圖像的頂點，是否在自變量的范圍內，如果在就有最小值或最大值，如果不在就要根據函數的增減性進行解答。如果題目中給出的已知條件的圖像，只是拋物線中的一段，那么就會有可能是既有最大值，又有最小值，要結合的實際情況進行分析。

例題1：

已知現有鐵柵欄32米，要想在圍墻邊上設計一個長方形的車棚，可以用一邊利用圍墻，剩余3個邊用鐵柵欄來圍制完成，而且還要在平行于強的那一側留下一個寬為2米的門。試問要想讓車棚的面積最大，該如何設計車棚的長度和寬度。

分析：

在解答這個問題的時候，我們首先應該對于這個車棚的長和寬進行未知數的設定，假設長方形的長為χ，則長方形的寬就可以用（32-χ+2）/2來表示，然后再利用長方形的面積公式，就能夠求解出最后的答案。

解：

假設長方形車棚的長為χ，則垂直于圍墻的長方形車棚的寬的長度為（34-χ）/2，設長方形的面積為y，則存在公式y=χ?（34-χ）/2，即y=-1/2χ2+17χ通過對此二次函數進行分析，可知函數圖像開口向下，函數存在最大值，而當函數存在最大值的時候求解出來的χ的值為17，所以（34-χ）/2為8.5。即要想讓車棚的面積最大，長和寬分別應該為17米和8.5米。

2.利用二次函數求利潤的最值問題。

利潤是我們日常生活中比較常見的一種問題，在利用二次函數求解利潤問題時，我們可以根據已知條件，把利潤表示成價格的二次函數，即價格是自變量，利潤是因變量，然后再通過列舉二次函數解析式的方法求解問題，在解決這種問題時，應該注意自變量的取值范圍，要讓實際問題有實際意義。

例題2：

假設某商店要購進一批文具盒，進貨價是8元，商店決定，每個文具盒的售出價格為10元，這樣一來每天就可以銷售200件文具盒，如果提高售價，進貨量就會減少，利潤也會隨之變化，已知這個文具盒每漲價0.5元，銷售量就會減少10件，問售價定在多少的時候，才能讓每天的獲得利潤最多，并求出最大利潤是多少。

分析：

在解決這道題目時，題目中已經給出了一個等量條件。題目中存在的已知條件的等量關系表現在價格上漲或下調了之后，賣出的商品的數量也會有所變化，而變化之后的總售價仍能取得最大的利潤，而最大的利潤需要減掉文具盒的成本價格。

解：

假設售價定為χ元時，才能使每天獲得的利潤最大為y元，則存在

y=（χ-8）[200-（χ-10）/0.5?10]

=（χ-8）（400-20χ）=-20χ2+560χ-3200

對此函數解析式求解最值，此函數存在最大值，且當χ=-560/（2×（-20））=14時，有最大值y=720。即應將售價定為14元時，才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤為720元。

三、總結

二次函數是數學學習中非常重要的一部分，在整個中學階段乃至高等數學教育中，都會有很重要的應用，作為學生，必須要掌握的一類重要的數學題型，尤其是求解最值問題時，更需要同學們有扎實的基礎，并且熟練地掌握二次函數的性質和概念。利用二次函數解決實際問題，選擇正確的方法，把握題目中的數量關系，利用數形結合數形結合的思想，給函數關系賦予更加實際的意義，從而解決生活中的實際問題。

參考文獻：

[1]張峰.關于二次函數最值問題的教學研究.科學大眾（科學教育）.2017年：20

[2]于會杰.一元二次方程與二次函數思想的教學研究.西北大學.2016年