關(guān)于貝葉斯公式的課堂教學(xué)體會(huì)

摘 要 貝葉斯公式是解決“由果溯因”問(wèn)題的一種重要方法，它在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握貝葉斯公式，學(xué)以致用，解決實(shí)際問(wèn)題，一直是課堂教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。因此本文通過(guò)實(shí)際生活中的典型問(wèn)題引出貝葉斯公式，然后解釋公式的內(nèi)涵并且通過(guò)追溯公式的來(lái)歷來(lái)激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，最后通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式的應(yīng)用。通過(guò)生動(dòng)有趣的例子貫穿課堂，使同學(xué)們?cè)谳p松愉快的環(huán)境中獲取并熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提高課堂的教學(xué)效果，有效的完成教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞 貝葉斯公式 由果溯因 教學(xué)效果 教學(xué)目標(biāo)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常會(huì)遇到已知結(jié)果尋找原因的問(wèn)題。比如，在行政決策中，某個(gè)人死了，導(dǎo)致這個(gè)人死亡的原因可能是自殺、他殺、意外、疾病等等。那么，在這些原因當(dāng)中哪一個(gè)才是最可能的原因呢？又比如，某一條河水受到了污染，導(dǎo)致河水污染的原因可能是生活污水、工業(yè)廢水的排放，又或者說(shuō)是農(nóng)藥、化肥、降水中污染物的流入，又或者說(shuō)是其他的原因。那么這些原因當(dāng)中哪一個(gè)才是最可能的原因呢？

上述問(wèn)題雖然背景各不相同，但是從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，都是一回事。即在結(jié)果發(fā)生的條件下，去尋找各個(gè)原因概率的大小。即已知結(jié)果尋找原因，這正是貝葉斯公式所要表達(dá)的基本思想。下面通過(guò)具體的例子，引出貝葉斯公式。

1引例：疾病診斷

小明發(fā)燒了，醫(yī)學(xué)常識(shí)告訴我們，導(dǎo)致一個(gè)人發(fā)燒的原因有很多。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)導(dǎo)致小明發(fā)燒的可能原因只有3個(gè)：（1）可能是得了普通感冒;（2）可能是得了肺炎;（3）可能是得了風(fēng)疹。現(xiàn)在醫(yī)生要診斷小明發(fā)燒是由哪種疾病所導(dǎo)致的？

這類問(wèn)題在實(shí)際生活中尤為常見(jiàn)，它是典型的“已知結(jié)果尋找原因”的問(wèn)題。那么，如何去解決呢？

分析：首先引入隨機(jī)事件。設(shè)A=“小明發(fā)燒”這一事件，B1，B2，B3分別表示導(dǎo)致發(fā)燒的三個(gè)可能原因。如果要確定導(dǎo)致A發(fā)生的最可能原因，只需要計(jì)算出A事件發(fā)生的條件下，各個(gè)原因發(fā)生的可能性大小。也就是計(jì)算三個(gè)條件概率P（B1|A），P（B2|A），P（B3|A）。通過(guò)比較這三個(gè)概率，取值最大的所對(duì)應(yīng)的原因就是最可能的原因。

下面以發(fā)燒的條件下他得普通感冒的概率（P（B1|A））的求法為例：

上述推導(dǎo)過(guò)程中運(yùn)用了條件概率公式、乘法公式和全概率公式。從而得到發(fā)燒這一結(jié)果發(fā)生的條件下，它是由普通感冒這一原因引起的概率。

將所得到的式子一般化，假設(shè)導(dǎo)致A這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因有n個(gè)，即為B1，B2，…，Bn，那么該如何計(jì)算A發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率呢（P（Bi|A））？

通過(guò)這種設(shè)問(wèn)的方式，將特殊情況一般化，很自然地引出了貝葉斯公式。

2貝葉斯公式

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，B1，B2，…，Bn，為的一個(gè)劃分，A為E的事件，且，，則：

（1）

在（1）式中，A表示某一結(jié)果的發(fā)生，B1，B2，…，Bn，是一個(gè)完備事件組，它是導(dǎo)致A這一結(jié)果發(fā)生的所有可能的原因。

將貝葉斯公式中分母的和式展開(kāi)來(lái)寫，不難發(fā)現(xiàn)，分子恰好是分母中的第i項(xiàng)。而分母應(yīng)用的是全概率公式，即全部原因的概率之和。那么，現(xiàn)在要求A這一結(jié)果發(fā)生的條件下，它是由第i個(gè)原因?qū)е碌目赡苄源笮?，自然是這一原因占所有原因的比例。

3貝葉斯公式的來(lái)歷

貝葉斯公式的創(chuàng)始人是貝葉斯·托馬斯，是名英國(guó)的牧師，是位業(yè)余的數(shù)學(xué)家。

在他去世的第二年，也就是1763年，有關(guān)貝葉斯公式的著作《機(jī)會(huì)問(wèn)題的解法》才得以發(fā)表，但是當(dāng)時(shí)這一結(jié)果并沒(méi)有受到應(yīng)有的重視，這是因?yàn)樗谥髦酗@示的是：P（B|A）=P（AB）/P（A）。這只是乘法公式的一個(gè)變形。因?yàn)楫?dāng)時(shí)他已經(jīng)去世了，人們并沒(méi)有看出貝葉斯給出這個(gè)公式的初衷。

直到1774年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯再一次總結(jié)了這一結(jié)果。從此，人們才意識(shí)到貝葉斯公式的重要性。

4貝葉斯公式的應(yīng)用

貝葉斯公式的應(yīng)用非常廣泛，在數(shù)據(jù)搜索、人工智能、產(chǎn)品檢驗(yàn)、疾病診斷、安全監(jiān)測(cè)教學(xué)分析等多方面都發(fā)揮著重要的作用。它不僅可以幫助人們尋找導(dǎo)致某一事件發(fā)生的最可能的原因;還可以通過(guò)后驗(yàn)概率來(lái)重新確認(rèn)人們之前不確定的事情，從而對(duì)事情進(jìn)行新的認(rèn)識(shí)。下面通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式在實(shí)際中的應(yīng)用。

例1：設(shè)1，2，3三臺(tái)車床加工同一種零件，加工出來(lái)的零件混放在一起。已知三臺(tái)車床加工的零件分別占全部的45%，35%和20%，三臺(tái)車床的次品率依次為4%，2%和5%?，F(xiàn)在從全部零件中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問(wèn)該零件是由哪臺(tái)車床加工的可能性最大？

分析：發(fā)現(xiàn)一個(gè)零件是次品表示結(jié)果，而導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的原因有三個(gè)：即第一臺(tái)車床加工的零件，第二臺(tái)車床加工的零件，第三臺(tái)車床加工的零件。哪一臺(tái)車床加工的可能性最大呢？這是已知結(jié)果尋找原因，可以利用貝葉斯公式去求解。

解：設(shè)全部加工的零件構(gòu)成樣本空間，A表示：“發(fā)現(xiàn)一件次品”，Bi表示：“所取零件是由第i臺(tái)車床加工的”（i=1，2，3）。由題意可知：

現(xiàn)在要求A發(fā)生的條件下Bi發(fā)生的概率：

由貝葉斯公式可得：

因?yàn)镻（B1|A）已經(jīng)大于0.5了，另外兩個(gè)原因的概率不可能超過(guò)0.5。因此該零件是由第一臺(tái)車床加工的可能性最大。

例2：貝葉斯公式在教學(xué)分析中的應(yīng)用。

假設(shè)某天老師講完一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)后，做了個(gè)課堂檢測(cè)。老師請(qǐng)小明做了一道有4個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題。對(duì)做選擇題，我們做這樣一個(gè)假設(shè)：如果掌握知識(shí)點(diǎn)了，一定能做對(duì);而沒(méi)有掌握知識(shí)點(diǎn)，也可能猜對(duì)。即不考慮掌握知識(shí)點(diǎn)，但粗心算錯(cuò)或?qū)戝e(cuò)答案的可能。

做之前老師估計(jì)小明掌握知識(shí)點(diǎn)的可能性是20%。做完之后，老師一看，小明做對(duì)了。老師挺滿意的，但忍不免擔(dān)憂，小明是否是猜對(duì)的呀？于是老師請(qǐng)小明又做了一道相同知識(shí)點(diǎn)的選擇題。小明又做對(duì)了，這個(gè)時(shí)候老師認(rèn)為他掌握的可能性還是比較大的。那么，應(yīng)該如何解釋老師態(tài)度的逐步轉(zhuǎn)變呢？

解：將“做對(duì)題”這一事件記為A，“掌握知識(shí)點(diǎn)”記為B，“沒(méi)有掌握知識(shí)點(diǎn)”記為。則由題意可知：

。

（1）小明做第一道選擇題時(shí)，，

小明做對(duì)題的條件下，掌握知識(shí)點(diǎn)的概率是0.5。顯然比0.2高，但就概率意義而言，0.5的值也不算大。所以小明做對(duì)題老師是滿意的，但是忍不免擔(dān)心，他是否是猜對(duì)的呀？

（2）對(duì)于小明做第二道選擇題，思路是一樣的。只是這里小明掌握知識(shí)點(diǎn)的概率，就是B的概率要看成0.5了（即P（B）=0.5）。用同樣的方法可得：

小明做對(duì)第二題的條件下掌握知識(shí)點(diǎn)的概率是0.8。這個(gè)概率值相對(duì)比較大了，所以老師認(rèn)為小明應(yīng)該掌握知識(shí)點(diǎn)了。

在這里出現(xiàn)了兩個(gè)B事件的概率。一個(gè)是結(jié)果發(fā)生前的無(wú)條件概率，稱為先驗(yàn)概率;另一個(gè)是結(jié)果發(fā)生之后的條件概率，稱為后驗(yàn)概率。也就是說(shuō)在增加了結(jié)果發(fā)生這個(gè)新信息后，對(duì)原因概率的重新認(rèn)識(shí)。所以貝葉斯公式的作用也可以說(shuō)成是由先驗(yàn)概率得到后驗(yàn)概率，再由后者去修正前者。比如，小明第一次做對(duì)題后，老師就是用后驗(yàn)概率0.5對(duì)先驗(yàn)概率0.2做了修正。第二次做對(duì)題，P（B）=0.5為先驗(yàn)概率，P（B|A）=0.8為后驗(yàn)概率。老師第二次態(tài)度的改觀，就是用后驗(yàn)概率0.8對(duì)先驗(yàn)概率0.5做了修正。

從0.2到0.5，再到0.8，數(shù)據(jù)很直觀地反映了老師態(tài)度的轉(zhuǎn)變過(guò)程。雖然在實(shí)際中，老師并非通過(guò)計(jì)算來(lái)完成這種修正，但道理是相同的。所以拉普拉斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，概率論只不過(guò)是把常識(shí)用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來(lái)。

5結(jié)束語(yǔ)

本文首先通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中尤為常見(jiàn)的例子——疾病診斷，引出貝葉斯公式，將特情況一般化，很自然地得到貝葉斯公式;然后介紹了貝葉斯公式的內(nèi)涵和來(lái)歷，以激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣;最后通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式的作用。通過(guò)這種循序漸進(jìn)的教學(xué)方式，幫助同學(xué)們深入理解和靈活運(yùn)用貝葉斯公式，從而有效地提高教學(xué)質(zhì)量、完成教學(xué)目標(biāo)。

作者簡(jiǎn)介：李益清，（1978—），女，漢族，新疆奇臺(tái)人，研究生學(xué)歷，講師，主要從事能源經(jīng)濟(jì)的研究。

參考文獻(xiàn)

[1] 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[2] 朱翼雋.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)[M].鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)出版社，2015.