夫瑯禾費縫衍射的計算機模擬*

解 霞 董正超 楊建華

(南通大學理學院 江蘇 南通 226019)

夫瑯禾費縫衍射的計算機模擬*

解 霞 董正超 楊建華

(南通大學理學院 江蘇 南通 226019)

在大學物理的教學中，夫瑯禾費衍射是波動光學的教學重點之一．以夫瑯禾費衍射的光學模型為基礎，根據傅里葉光學理論給出夫瑯禾費衍射光強分布的一般公式，利用MATLAB軟件對單縫、雙縫、多縫以及十字縫和字縫等縫衍射屏的夫瑯禾費衍射進行模擬，并對計算機模擬結果作出分析．縫衍射實驗的計算機模擬結果顯示快速且清晰，衍射條紋分布符合衍射規律，實現了對實際光波衍射的模擬．

夫瑯禾費衍射 傅里葉變換 MATLAB

衍射現象是波動的重要特性之一[1]．波在傳播過程中遇到障礙物，其波面受到一定的限制，就會發生衍射，即波的傳播方向會改變．需要指出的是，只有當障礙物的幾何線度與波長大小可比時，衍射現象才會顯著地表現出來．由于可見光波長較短，光波的衍射現象在日常生活中表現得并不特別明顯[2]．另一方面，光學實驗對光學系統、實驗環境和實驗者都提出了較高的要求，因而光學實驗在實際操作和觀察測量時存在諸多不利因素．計算機仿真模擬是利用計算機技術對實際系統建立模型，在一定的條件下對模型進行實驗的一門技術．在教學中，常以一定的理論模型為依據，利用計算機模擬的方法對實際物理過程和實驗結果作出模擬．因具有良好的可操作性、可重復性，以及易觀察及低成本等優點，計算機仿真模擬在光學理論和實驗教學中被迅速推廣[3，4]．MATLAB作為一套高性能的分析計算軟件，廣泛應用于高校基礎課程和專業課程的教學中[4]．本文利用MATLAB軟件的編程和繪圖功能，對幾種夫瑯禾費縫衍射進行模擬，并結合計算機模擬的結果作出分析．

1 夫瑯禾費衍射光場分布

當光源和光屏距離衍射屏無窮遠(或者相當于無窮遠)時，在衍射屏上的入射波及在各個方向的衍射波都可以看成平面波，光屏上所觀察到的衍射稱為夫瑯禾費衍射．夫瑯禾費衍射實驗的光路如圖1所示．S為單色點光源，置于透鏡L1的焦點處，從L1出射的平面光波垂直入射到衍射屏AB上．在衍射屏后放置另一透鏡L2，在透鏡L2像方焦平面處的光屏上可觀察到夫瑯禾費衍射圖樣．

圖1 夫瑯禾費衍射光路圖

根據惠更斯-菲涅爾原理，光屏上P點處的光振動是衍射屏處波振面上所有子波波源發出的子波傳到P點的光振動的相干疊加，P點的光強度取決于衍射角θ的衍射光在該點相干疊加的結果[1]．

設波長為λ的單位振幅單色相干平面光波垂直照射衍射屏，衍射屏位于x0y0平面，在距離衍射屏z處的xy平面上觀察衍射場．在傅里葉光學中，夫瑯禾費衍射的光場復振幅分布為

(1)

(2)

2 夫瑯禾費縫衍射

觀察夫瑯禾費縫衍射時，若縫寬過寬，遠超過光波長，無法產生明顯的衍射現象；若縫寬過窄，則透過衍射屏的光強太弱．因此，縫寬過寬或者過窄都不利于觀察光波的衍射．另一方面，如果縫的長度過長(或者相當于無限長)，則衍射圖樣在縫的長度方向不發生衍射，衍射圖樣在該方向被壓縮于一條線上，也不利于觀察衍射圖樣的條紋分布．因此，在光學實驗或計算機模擬過程中需要對縫的縫寬和縫的長度加以約束限制．

2.1 單縫衍射

當衍射屏上只有一條狹縫時，夫瑯禾費單縫衍射的模擬如圖2所示．

圖2 單縫衍射

圖2(a)是單縫衍射屏，其縫寬沿x軸方向，縫長沿y軸方向；圖2(b)給出該單縫的夫瑯禾費衍射圖樣，光波在x方向有明顯的衍射．光屏中央有一條較寬的明條紋，兩側對稱地分布著一些強度較小的明條紋，中央明條紋的寬度約是其他明條紋寬度的兩倍，相鄰明紋之間有一條暗紋；圖2(c)是x方向的光強分布曲線，光強最大峰對應中央明條紋，兩側的突起峰對應強度較小的亮條紋，與衍射圖樣一致；因單縫的長度是有限的，該光波透過單縫在y方向也有一定的衍射，圖2(d)給出光屏x-y平面上的光強分布．

2.2 雙縫衍射

當衍射屏上有兩條平行狹縫時，設雙縫的縫長沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費雙縫衍射的模擬如圖3所示．

圖3 雙縫衍射

雙縫衍射圖樣中央處是一條特別亮的明紋，兩側各有一條光強度稍弱的明紋以及強度更弱的明紋；相鄰的明紋之間有一條暗紋．在單縫衍射主極大寬度內有5條明紋，由于單縫衍射的調制，高級次明紋的光強較弱．

2.3 3縫衍射

當衍射屏上有3條平行狹縫時，設3縫的縫長沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費3縫衍射的模擬如圖4所示．

圖4 3縫衍射

3縫衍射圖樣的明條紋寬度比雙縫衍射的明紋寬度窄，相對光強度大；相鄰主極大明紋之間有一個次極大明紋和兩條暗紋．在單縫衍射主極大寬度內有5條比較細亮的明紋，受單縫衍射因素的影響，高級次明紋的光強較弱．

2.4 4縫衍射

當衍射屏上有4條平行狹縫時，設4縫的縫長沿y方向，縫寬沿x方向，夫瑯禾費4縫衍射的模擬如圖5所示．

圖5 4縫衍射

4縫衍射圖樣的明條紋寬度比3縫衍射的明紋寬度更窄，相對光強度更大；相鄰主極大明紋之間有兩個次極大明紋和3條暗紋．與雙縫和3縫衍射圖樣對比，因縫數增多，4縫衍射圖樣的明紋寬度更窄，光強度更大，因此主極大明紋更加細亮，在光屏上可觀察到細亮的光譜線．

3 夫瑯禾費復雜縫衍射

3.1 十字縫

設衍射屏上兩個相互垂直的狹縫交點處為坐標原點，一條狹縫的縫長沿x軸方向，另一條狹縫的縫長沿y軸方向，如圖6(a)所示．夫瑯禾費十字縫衍射的模擬如圖6所示．

圖6 十字縫衍射

圖6(b)所示的衍射圖樣中心處可見一個光強度較大的亮斑，中央亮斑的周圍有很多具有十字對稱性的衍射亮斑，離中心越遠，衍射亮紋的光強度越弱．由于在x和y兩個方向上同時存在衍射，十字縫衍射可以看成是兩套單縫衍射圖樣相干疊加的結果．圖6(c)所示是x方向的衍射光強分布，光強分布關于y軸對稱，與衍射圖樣圖6(b)一致．

圖7 字縫衍射

4 結論

本文的模擬中，光波在縫寬的方向出現較顯著的衍射現象．由于縫長是有限的，光波在縫長方向被約束，因此在縫長所在的方向也有較弱的衍射．這樣的雙向衍射現象非但不會影響對衍射圖樣條紋分布的觀察與分析，還深刻地揭示了光波衍射的條件．

對于平行狹縫的夫瑯禾費衍射，可以發現其共同點：不管是單縫、雙縫還是多縫的夫瑯禾費衍射，衍射圖樣中央都是一條特別亮的明紋，兩側分布著強度稍弱的明紋和強度更小的明紋，相鄰的明紋之間會有一條暗紋．單縫衍射因子決定了單縫衍射主極大寬度內的明條紋相對光強度較大，更容易觀察．

對于雙縫和多縫衍射，它們之間也存在著不同點：雙縫衍射的各級條紋都是主極大明紋；而在3縫衍射中，相鄰主極大明紋之間有一條強度較小的次級大明紋；4縫衍射相鄰主極大之間則有兩條強度較小的明紋．這種現象是由單縫衍射和多縫干涉共同形成．

1 姚啟鈞.光學教程(第五版).北京:高等教育出版社,2011.82～89

2 吳許強,汪光騏,俞本立.日常生活中的夫瑯禾費衍射現象與教學實踐.合肥師范學院學報,2011,29(6):41～42

3 甄艷坤,霍漢平.計算機仿真在光學課程教學中的應用.電氣電子教學學報,2011,33(2):88～90

4 張衛山,尚劍鋒,劉雪林,等.基于MATLAB GUI的波動光學仿真平臺.大學物理實驗,2013(3):85～87

5 呂乃光.傅里葉光學(第二版).北京:機械工業出版社,2006.93～94

*江蘇省高等教育教改研究立項課題，項目編號:2015JSJG236

解霞(1981- )，女，碩士，講師，主要從事大學物理等課程的教學和非線性光學的研究．

董正超(1963- )，男，教授，主要研究方向為凝聚態物理.

2016-12-06)