用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

郭嬌嬌

摘 要：讓學(xué)生深刻體會統(tǒng)計思想是重要的教學(xué)任務(wù)，在“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”教學(xué)中，統(tǒng)計思想的滲透也是教學(xué)的主要任務(wù)。本節(jié)課以扶貧工作為背景，以某貧困村小王書記的匯報工作為主線，使學(xué)生借助頻率分布直方圖，自主探究和合作交流，從形的角度估計樣本的數(shù)字特征，從而估計總體的數(shù)字特征。

關(guān)鍵詞：數(shù)字特征平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修三的第二章“統(tǒng)計”中，有“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”內(nèi)容，主要為了讓學(xué)生體會用樣本估計總體的思想。在本節(jié)第一課時，傳統(tǒng)的課堂只是讓學(xué)生掌握用樣本的頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的算法，機械生硬，沒有很好地從學(xué)生的認知角度出發(fā)。

抽象的數(shù)學(xué)理論與實際生活相結(jié)合，是新課程理念的必然要求;數(shù)學(xué)知識與時事政治的結(jié)合，是數(shù)學(xué)研究的實際意義所在。于是，在國家扶貧攻堅的大背景下，筆者從扶貧的角度，以小王書記對本村村民收入水平的分析入手，用部分村民的收入水平估計本村村民的收入水平，將國家政策和數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在了一起。[1]

以下是本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)思路展示。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

黨中央把貧困人口脫貧作為全面建成小康社會的底線任務(wù)和標志性指標。甘肅省某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了響應(yīng)國家的號召，準備把脫貧攻堅作為一號工程。于是，鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo)準備考察本鎮(zhèn)的居民收入情況，決定幫扶各村村民的45%。小王是該鎮(zhèn)某村的村支書，需要向鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo)匯報本村的村民收入狀況。這是他通過科學(xué)取樣得到的本村20位村民的年收入（單位：萬元）樣本：[2]

0.3 ? 0.7 ? 0.8 ? 1.2 ? 2.8 ? 1.8 ? 1.9 ? 1.3 ? 1.6 ? 1.3

1.3 ? 1.8 ? 1.7 ? 1.6 ? 1.9 ? 1.3 ? 1.4 ? 2.2 ? 2.3 ? 1.6

思考并回答問題：

1.樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)是多少？

此問主要目的在于將身邊的時事政治問題引入課堂，通過計算樣本數(shù)據(jù)的三個數(shù)字特征，為隨后進行的，由樣本的頻率分布直方圖估計數(shù)字特征埋下伏筆。

2.如果小王要匯報本村村民收入情況，從以下三個角度分析，該怎樣匯報？本村村民收入的平均水平，大部分村民收入的集中水平，位于中間水平的村民收入。

問題設(shè)計的目的在于，由樣本數(shù)據(jù)得出數(shù)字特征，來估計本村村民收入的數(shù)字特征，引出本節(jié)課題，讓學(xué)生初步體會樣本估計總體的思想。也為下面用樣本的頻率分布直方圖估計這三個數(shù)字特征的必要性埋下伏筆。

3.這三個數(shù)值主要刻畫了數(shù)據(jù)的哪些特征？

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)反映了中間數(shù)據(jù)的情況，眾數(shù)反映了數(shù)據(jù)的集中水平。為用樣本的三個數(shù)字特征估計總體的三個數(shù)字特征的優(yōu)缺點埋下伏筆。

二、獲得新知

小王考慮，用具體的樣本數(shù)據(jù)可以估計本村的居民收入情況，能否用樣本的頻率分布直方圖來估計呢？圖如下：

1.匯報本村村民的收入情況，需要考慮村民收入的哪些指標？

可以考察村民收入水平的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)本問主要為了創(chuàng)設(shè)用樣本的頻率分布直方圖估計三個數(shù)字特征的情境，同時也讓學(xué)生意識到，除了可以用樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征來估計本村村民的收入情況，還可以通過頻率分布直方圖估計。

2.如何從樣本的頻率分布直方圖中估計眾數(shù)？

因為眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，而頻率分布直方圖中最高矩形代表處于這個區(qū)間的數(shù)據(jù)最多，因而估計眾數(shù)即為最高矩形的底邊中點的橫坐標。可以引導(dǎo)學(xué)生從眾數(shù)的定義出發(fā)，尋找眾數(shù)的估計值。[3]

3.在直方圖中，中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積有什么關(guān)系？如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)？

中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積相等。中位數(shù)的估計是本課的一個難點，學(xué)生在探討中會遇到不同的問題，如：在直方圖中為什么中位數(shù)左右兩邊小矩形的面積相等;中位數(shù)又該落在哪個區(qū)間，它是否一定落在最高小矩形框內(nèi)等。在探究過程中通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中位數(shù)的概念及直方圖的特征來尋找估計中位數(shù)的方法。

4.給定一組數(shù)據(jù)：1，2，2，2，5，8，4，4，4，4.如何來求其加權(quán)平均數(shù)？你能用頻率分布直方圖中估計平均數(shù)嗎？

若直接讓學(xué)生尋求平均數(shù)的估計方法較難，若先讓學(xué)生求解某組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，從而可以很容易地猜想可用每個矩形底邊中點的橫坐標乘以矩形面積來估計平均數(shù)。

5.小王很高興地用大家估計出的這三個數(shù)字特征來匯報了本村村民的收入情況。他在匯報時說：我們村的人均收入就是1.525萬元，年收入1.75萬元的人是最多的，中間一部分村民收入1.5625萬元。小王這樣匯報有問題嗎？為什么？

這樣設(shè)計的目的是使學(xué)生明白用樣本數(shù)據(jù)得到的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)只是總體數(shù)據(jù)的一個估計值，不是準確值，突出統(tǒng)計的思想方法。

6.小王用原始數(shù)據(jù)計算眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的時候，算出的是數(shù)字特征值是準確值還是估計值？用樣本的頻率分布直方圖呢？為什么不一樣？

原始數(shù)據(jù)得出的為準確值，用頻率分布直方圖得出的為估計值，因為頻率分布直方圖損失了一些樣本信息。這樣設(shè)計的意圖還可以讓學(xué)生了解到，獲取數(shù)字特征可以從原始數(shù)據(jù)直接提取，也可以通過頻率分布直方圖獲得，通過對比這兩種方法，使學(xué)生明白從直方圖中估計的數(shù)字特征雖然存在一定的誤差，但直觀、快速，也可以起到?jīng)Q策的作用。

7.如果換一個新的樣本，數(shù)字特征會發(fā)生變化嗎？為什么？如果所抽取的樣本容量變大，樣本的數(shù)字特征與總體的數(shù)字特征會有什么關(guān)系？

因為樣本數(shù)據(jù)變了，所以估計出的數(shù)字特征業(yè)會發(fā)生變化，若樣本容量增大，使得樣本數(shù)據(jù)與總體數(shù)據(jù)相差越小，因而兩者的數(shù)字特征值越接近。這樣設(shè)計可以讓學(xué)生進一步體會用樣本估計總體時，樣本選取所起到的作用。

筆者還預(yù)備用EXCEL軟件隨機取20個數(shù)，代表新樣本，用此軟件建立頻率分布直方圖，讓學(xué)生估計，與之前樣本的數(shù)字特征估計比較，這樣處理可以直觀地將結(jié)果表示出來。

8.小王匯報完畢后，準備回村落實扶貧政策。小王在路上就一直在想，要幫扶本村45%的貧困村民，那收入標準定為多少合適？

回歸到原始問題的解決，讓學(xué)生分析頻率分布直方圖，將學(xué)生所學(xué)知識內(nèi)化為解決實際問題，不斷深入，為合理制定決策提供依據(jù)。

9.得知鎮(zhèn)里有扶貧政策，三位村民第一時間找到小王，各自反應(yīng)自己的收入狀況。老劉說，我一年中每月掙2000元的時候比較多，其他時候都不行;老趙說，我雖一年都在忙碌，也就在一年中間的那兩三個月掙了點，每個月大約三四千;老張說，我這平均每月才勉強能掙1000元。如果你是小王書記，怎樣確定誰為幫扶對象？

這是一個開放性問題，對學(xué)生的發(fā)言給予充分的肯定，讓學(xué)生在發(fā)表自己意見的同時，深化對三種數(shù)字特征優(yōu)點和缺點的認識和理解。

體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。

三、練習(xí)

例：下面是某市居民月用水量的抽樣頻率分布直方圖，估計該市居民月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).

本例題主要是用來解決課本上的生活用水問題。通過教材實例讓學(xué)生感受統(tǒng)計在實際問題中的應(yīng)用價值，強化學(xué)生在直方圖中估計數(shù)字特征的具體方法。

四、總結(jié)歸納：這節(jié)課我們學(xué)到了什么？

通過師生共同總結(jié)，使學(xué)生更系統(tǒng)完整地認識統(tǒng)計的基本思想和方法，豐富和完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，使知識與技能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻：

[1]王先芳.對于螺旋式上升的再認識—“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)通報，2015，32：24-26.

[2]劉子麗幸世強.核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐——“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”課堂實錄[J].教育科學(xué)論壇，2017，10：43-47.

[3]汪繼波.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征——基于“導(dǎo)學(xué)評析教學(xué)模式”的教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013，1：7-10.