微機電系統(tǒng)麥克風靈敏度不確定性分析

劉 雷，賈仁需

(西安電子科技大學微電子學院陜西西安710071)

微機電系統(tǒng)是在微電子技術基礎上融合硅微加工和精密機械加工等多種微加工技術，并應用現(xiàn)代信息技術構造的微型系統(tǒng)。微機電系統(tǒng)技術已經廣泛應用于麥克風、開關、陀螺儀、加速度計、諧振器和可調天線等領域[1]。靈敏度是標準聲學輸入時微機電系統(tǒng)電容麥克風輸出端機械或電氣響應，是衡量麥克風性能的重要指標。影響微機電系統(tǒng)器件不確定性因素包括微機械結構性能退化和制造工藝造成器件表面形狀不規(guī)則、殘余應力與化學殘留等[2-4]。傳統(tǒng)微機電系統(tǒng)器件不確定性分析主要采用基于有限元模型的蒙特卡羅方法[5-6]。此方法的優(yōu)點是數學模型簡單、模擬精度高，缺點是過多的采樣數需要耗費大量的計算資源。為提高蒙特卡羅仿真效率，計算模型采用集總參數模型[7]和降階模型[8]，采樣方法包括拉丁超立方采樣[9-10]等。其他微機電系統(tǒng)器件不確定分析方法包括混沌多項式展開[11]、不確定性量化[12]和多項式擬合[13]等。人工神經網絡計算速度快，相比于微機電系統(tǒng)器件的集總參數模型和降階模型，仿真精度又具有明顯優(yōu)勢。人工神經網絡模型已經廣泛應用于仿真微機電系統(tǒng)開關閉合電壓[14-16]和S參數[17-18]、微機電系統(tǒng)諧振器諧振頻率[19]和寄生模態(tài)[20]等。

現(xiàn)有的微機電系統(tǒng)器件不確定性分析方法存在仿真精度與效率無法兼得的缺點，仿真精度提高往往需要大量計算資源。為提高微機電系統(tǒng)麥克風不確定性分析方法的仿真精度和降低計算耗時，筆者建立基于人工神經網絡的微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度模型。通過隨機采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬，研究振膜幾何、材料參數的偏差對多晶硅圓形固支振膜微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度不確定性影響。模型采用反向傳播神經網絡(Back Propagation Neural Network，BPNN)，輸入包括麥克風振膜幾何、材料參數，輸出為機械靈敏度。

圖1 微機電系統(tǒng)電容麥克風結構示意圖

1 微機電系統(tǒng)電容麥克風設計

微機電系統(tǒng)電容麥克風由振膜、空氣間隙、支撐區(qū)、固定背板和背板上的聲孔等組成。筆者設計多晶硅圓形固支振膜麥克風，結構如圖1所示。麥克風工作時，振膜與背板間施加直流偏置電壓。在外部聲波壓力信號作用下振膜發(fā)生振動，造成振膜與背板之間電容變化，通過檢測電路將其轉化為電壓信號輸出。

圖1中圓形振膜半徑R，厚度h，空氣縫隙高度g，背腔高度d，振膜彈性模量E，泊松比ν，幾何及材料參數取值范圍如表1所示。

表1 微機電系統(tǒng)電容麥克風振膜幾何及材料參數取值范圍

2 基于人工神經網絡拉丁超立方蒙特卡羅模擬

2.1 人工神經網絡模型

圖2 微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度人工神經網絡模型結構

在Matlab軟件環(huán)境中訓練反向傳播神經網絡作為微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度模型，模型輸入為振膜半徑、厚度和彈性模量，輸出為靈敏度。采用單隱層5個神經元模型，網絡結構簡單、訓練效率高，仿真精度測試結果滿足設計要求。網絡結構如圖2所示。

振膜幾何、材料參數取值范圍如表1所示。為保證設計的人工神經網絡模型仿真精度，通過Ansys軟件共得到1 275組靈敏度數據，其中80%數據用于模型訓練，20%數據用于模型驗證及仿真測試。神經網絡模型訓練目標設為均方差小于1%，當模型仿真結果與訓練數據之間均方差大于1%時，調整網絡結構重新訓練，直至神經網絡仿真精度測試滿足設計要求。與有限元方法計算結果相比，模型測試均方差為0.12%，完全滿足設計要求。神經網絡模型建立流程如圖3所示。

2.2 拉丁超立方蒙特卡羅模擬

微機電系統(tǒng)電容麥克風工作過程涉及聲學、力學、機械學和電子學等多學科，微尺寸三維結構及多物理場耦合導致靈敏度精確表達式無法得到，因此通過表達式求解靈敏度概率密度非常困難。蒙特卡羅模擬適用于計算過程復雜、難以得到研究對象精確表達式或者不存在解析解的情況，采用蒙特卡羅模擬分析微機電系統(tǒng)器件不確定性是當前研究熱點。蒙特卡羅模擬根據輸入參數的隨機分布生成采樣樣本空間，通過海量計算模擬輸出變量的概率密度。當采樣規(guī)模足夠大時，傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬具有很高精度；但是其缺點也非常明顯，過于龐大的計算量導致模擬效率非常低下。

拉丁超立方蒙特卡羅模擬包括拉丁超立方采樣和蒙特卡羅模擬兩部分，是隨機采樣蒙特卡羅模擬的改進方法。拉丁超立方采樣根據輸入變量的概率密度函數進行分層采樣，每個固定概率區(qū)間內只隨機抽取一個采樣點，有效解決隨機采樣中樣本坍塌問題。與傳統(tǒng)隨機采樣蒙特卡羅模擬相比，采用拉丁超立方采樣的蒙特卡羅模擬輸入空間覆蓋率大，計算效率高，具有很好的魯棒性。

圖3 基于人工神經網絡的的拉丁超立方蒙特卡羅模擬程序流程圖

基于人工神經網路的拉丁超立方蒙特卡羅模擬程序流程如圖3所示。模型包括兩個子程序：人工神經網絡模型建立及拉丁超立方蒙特卡羅模擬。蒙特卡羅模擬程序首先設置麥克風振膜半徑、厚度和彈性模量概率密度參數，包括設計均值、偏差及分布類型；其次設置采樣數，然后對輸入變量空間進行拉丁超立方采樣。采樣點輸入人工神經網絡模型計算靈敏度，得到最終概率密度。如果蒙特卡羅模擬輸出不收斂，則增大采樣次數直至仿真收斂。

3 模擬結果及討論

3.1 微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度合格率

表2 微機電系統(tǒng)電容麥克風振膜參數設計值及偏差

筆者研究微機電系統(tǒng)電容麥克風，由制造工藝造成麥克風振膜參數偏差符合均勻分布，振膜設計值及偏差如表2所示。

設置采樣數為100次，對振膜厚度、半徑組成的二維空間進行隨機采樣和拉丁超立方采樣，仿真結果歸一化后采樣點分布對比如圖4(a)所示。采樣數設為1 000次，對厚度一維變量進行隨機采樣和拉丁超立方采樣，仿真結果歸一化后概率密度對比如圖4(b)所示。

(a) 厚度、半徑二維空間拉丁超立方采樣點分布 (b) 厚度隨機采樣與拉丁超立方采樣概率密度對比圖4 隨機采樣和拉丁超立方采樣點分布和概率密度對比

圖4(a)中當采用隨機采樣時，采樣點在某些區(qū)域過于集中，整個變量空間存在未采樣區(qū)域，具有明顯樣本坍塌現(xiàn)象。相比于隨機采樣，拉丁超立方采樣點在整個輸入空間內分布更為均勻。圖4(b)中隨機采樣的黑柱高度參差不齊，概率密度均勻性很差；拉丁超立方采樣的灰色柱高度幾乎完全一致，說明拉丁超立方采樣在一維輸入空間內分層均勻采樣，具有良好的樣本空間均勻性。

當振膜參數取設計值時，麥克風靈敏度為0.937 nm/Pa。文中設置靈敏度合格的偏差為±10%，即靈敏度在[0.84,1.03]范圍內認為性能滿足設計要求。圖5所示隨機采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真麥克風靈敏度合格率隨采樣數變化曲線。

圖5 蒙特卡羅模擬仿真靈敏度合格率隨采樣數變化曲線

如圖5所示，隨著采樣率增加，蒙特卡羅模擬合格率逐漸收斂。當采樣數為105時，兩種采樣方法蒙特卡羅模擬合格率均收斂到92.9%。當采樣數大于9 000次時，隨機采樣模擬開始逐漸收斂于92.9%，計算耗時大約為2 min。當采樣數為1 000時，拉丁超立方采樣模擬收斂于92.9%，計算耗時僅為10 s。相比隨機采樣，拉丁超立方采樣收斂需要采樣點數僅為11%，計算耗時也大幅下降?？傊?，拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真麥克風靈敏度合格率計算速度快、精度高，是微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度不確定性分析的優(yōu)良方法。

3.2 微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度概率密度

設置采樣數為104，采用隨機采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬麥克風靈敏度概率密度，計算結果對比如圖6所示。由圖6(a)可以看出，兩種采樣方法蒙特卡羅模擬結果相近。因此，基于人工神經網絡的拉丁超立方蒙特卡羅模擬分析微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度概率密度方法有效。采用正態(tài)分布擬合靈敏度仿真結果，均值μ=0.934，標準差δ=0.242。

(a) 隨機采樣與拉丁超立方采樣仿真靈敏度分布 (b) 正態(tài)分布擬合靈敏度分布仿真結果圖6 隨機采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真靈敏度概率密度

改變振膜半徑、厚度和彈性模量設計參數，利用拉丁超立方蒙特卡羅模擬仿真麥克風靈敏度分布箱線圖如圖7所示。由圖可知，振膜幾何、材料設計參數對麥克風靈敏度分布影響明顯。圖7(a)中隨著振膜半徑增大，靈敏度分布均值和標準差增大；圖7(b)中隨著振膜厚度增大，靈敏度分布均值和標準差減??；圖7(c)中隨著彈性模量增大，靈敏度分布均值減小，標準差幾乎不變。由圖示的變化趨勢可以看出，振膜半徑對靈敏度概率密度影響最為明顯，厚度影響次之，彈性模量只影響分布均值，對標準差幾乎沒有影響。

圖7 麥克風靈敏度概率密度隨振膜幾何、材料設計參數變化趨勢

利用正態(tài)分布擬合圖7所示靈敏度分布模擬結果，所得均值及標準差如表3所示。提高微機電系統(tǒng)麥克風靈敏度最為有效的方法是增大振膜半徑，但是隨著半徑增大，由半徑偏差造成靈敏度分布的標準差隨之顯著增大。如果制造工藝沒有明顯改善，則僅僅通過增大振膜半徑設計值提高靈敏度會造成器件靈敏度合格率大幅下降。彈性模量只影響靈敏度分布均值，不影響標準差，所以降低彈性模量可以在保證合格率前提下有效提高麥克風靈敏度。但是彈性模量對靈敏度影響最小，僅適用于微調，大幅調整靈敏度仍需要改變振膜幾何尺寸。

4 結束語

筆者研究多晶硅圓形固支振膜微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度不確定性?，F(xiàn)有的研究方法均存在仿真精度與效率無法兼得缺點，為提高仿真效率，筆者提出基于人工神經網絡拉丁超立方蒙特卡羅模擬研究靈敏度不確定性。模型采用反向傳播神經網絡，輸入參數包括振膜半徑、厚度和彈性模量，輸出的為靈敏度。通過Ansys軟件仿真1 275組靈敏度數據訓練神經網絡。

采用蒙特卡羅模擬仿真靈敏度合格率，隨機采樣數大于9 000時仿真逐漸收斂于92.9%，計算耗時大約為2 min。相同仿真精度拉丁超立方采樣僅需要1 000個采樣點，計算耗時小于10 s，計算效率明顯提高。當采樣數為104時，二者仿真靈敏度概率密度差別也很小。因此，拉丁超立方蒙特卡羅模擬是分析微機電系統(tǒng)電容麥克風靈敏度不確定性的精確、高效方法。

表3 靈敏度分布均值和標準差隨振膜參數設計值變化

筆者還研究振膜設計參數對麥克風靈敏度概率密度的影響。通過正態(tài)分布擬合蒙特卡羅模擬結果，得到靈敏度分布均值與標準差。計算結果表明，振膜半徑對靈敏度分布影響最為明顯，厚度影響次之，彈性模量只影響分布均值，不影響標準差。增大振膜半徑，提高麥克風靈敏度的同時會降低靈敏度合格率。降低振膜彈性模量，在保證合格率前提下可以提高麥克風靈敏度，但是靈敏度提高幅度有限，僅適用于微調。