一種低秩聯合稀疏模型下的雜波抑制方法

黃 臣，劉宏清，羅 臻，周 翊

(1.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065；2．重慶郵電大學 重慶市移動通信重點實驗室，重慶 400065)

穿墻雷達(Through-the-Wall Radar, TWR)系統已被用于感知建筑結構布局以及檢測、分類和追蹤室內目標等場景，由于其對密閉建筑物內場景的探測能力，在城市反恐、災后救援以及現代戰爭中得到了廣泛關注[1-6]。為了獲得更好的室內目標探測結果，高質量的雷達成像結果是后續探測任務的必要前提。然而，來自墻體回波的影響導致對室內的成像任務具有極大的挑戰性。在穿墻雷達探測任務中，由于建筑物外墻較室內目標更靠近雷達天線，導致回波中墻體回波的能量遠大于室內目標的回波，即墻體回波對目標回波造成掩蔽效應，極大地影響了最終成像效果。為了克服這一問題，在進行雷達成像以前，需要將雷達回波中的墻體回波部分消除，從而得到高質量的目標成像結果。

傳統墻體回波抑制方法是背景消除(Background Subtraction，BS)[1]，但是在實際穿墻雷達應用中，額外空白場景的雷達回波數據往往難以獲得。作為替代結合子空間理論，通過對所有天線位置的回波測量矩陣進行奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，濾除墻體回波所占據的奇異值和其對應的奇異向量構成的子空間，將剩下的分量重新組成回波矩陣進行成像[7-9]。為了克服基于奇異值分解的雜波抑制方法需要采集全部雷達回波數據的缺點，文獻[10、11]提出采用離散長橢圓序列(Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS)調制雷達回波信號，使目標回波具有稀疏特性的雜波抑制方法。近年來將低秩方法用于雷達探測回波中的雜波抑制的研究得到發展，文獻[12]在對步進頻率穿墻雷達的研究中，指出墻體回波是位于低秩子空間中, 并且當回波信號使用適當的基表示時，目標信號是稀疏的。因此，基于壓縮感知理論，稀疏方法用于場景重建得到了廣泛研究[12-15]。

筆者提出了一種在低秩聯合稀疏優化模型下的雜波抑制方法，并驗證了提出方法在各種情況下的雜波抑制效果，包括改變墻體的厚度、材質和結構。最后提供不同墻體參數對雜波抑制效果影響的結論。和現有雜波抑制算法相比，基于低秩聯合稀疏的方法能實現更好的雜波抑制效果和提供更清晰的目標成像。

1 穿墻雷達信號模型

圖1 穿墻雷達電磁波傳播路徑示意圖

假設一個中心頻率為fc的單頻雙天線收發分置穿墻雷達系統，其中N個雷達天線被平行于墻面放置在建筑物外。在整個探測過程中，被接收機測量和存儲在第n個天線的雷達回波信號為

gn(t)=gn,w(t)+gn,ta(t)+sn(t) ，

(1)

其中,gn,w(t)為墻體回波部分，gn,ta(t)為目標回波，sn(t)為背景噪聲。

將整個探測場景離散化為包含Q個像素的矩形網格，圖1給出了電磁波在第q個像素點和第n組天線間的傳播路徑。圖中lq,air1, t,lq, wall, t和lq, air2, t表示電磁波在發射天線和第q個像素點之間經過的自由空間和墻體的距離。同樣地，lq, air1, r,lq, wall, r和lq, air2, r則是在接收天線和第q個像素點之間的各介質傳播距離。

在圖1中，Tx表示發射機，Rx表示接收機，像素q和天線n之間的傳播時間τn,q可以計算為

(2)

(3)

其中,σq為第q個像素點的反射率，通過式(2)，σq可以被計算為σq=gn(τn,q)。使用延時求和(Delay-And-Sum, DAS)波束成形成像算法，第q個像素點的復幅值I(q)可以由式(4)得到，即

(4)

在式(4)中，復幅值I(q)中具有較大能量的墻體回波掩蓋了所需要的目標回波部分。因此，在進行成像步驟之前，需要對墻體回波部分進行消除。

2 聯合低秩稀疏模型

在本節中，從雷達回波中分離墻體回波和目標回波的任務被轉化為低秩保持和稀疏約束的優化模型。之后筆者設計出一種交替方向乘子法[16](Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)用于求解該優化模型。最后，分離出的目標回波分量被用于雷達成像任務。

2.1 低秩聯合稀疏模型

將N個天線位置處接收的回波統一用矩陣表示，G∈RN×T，其中T為回波g1:n(t)的采樣數。由于穿墻雷達的天線均平行于建筑物墻體平行放置，即各天線接收到的墻體回波是近似相同的，所以墻體回波矩陣Gw的每一列都相等或近似相等。而在整個探測區域中，所感興趣的目標只占據很小的面積，即目標回波矩陣Gta的大部分元素都為零。式(1)可以用矩陣形式重寫為

G=Gw+Gta+S，

(5)

其中,墻體回波矩陣Gw是一個低秩矩陣，目標回波矩陣Gta具有稀疏特性。

為了去除墻體回波的影響并分離出目標回波進行成像，需要對墻體回波矩陣Gw和目標回波矩陣Gta進行估計。由此，回波分離任務可以轉化為下述優化問題

(6)

其中,ξ是一個非負參數，用于平衡稀疏約束和低秩項，η為正則化參數，‖·‖*和‖·‖1分別表示核范數和l1范數，‖·‖F為矩陣的二范數。

文獻[17]中提出一種TFOCS方法用于求解式(6)，然而該方法在處理存在噪聲的情況時，不具有穩健性。為克服這一缺點，文獻[12]提出一種迭代算法，首先使用奇異值的軟閾值估計低秩矩陣，然后軟閾值迭代用于稀疏重構。不過該方法涉及奇異值，分解運算較為復雜，且對參數設置敏感。為克服上述缺點，一種交替方向乘子法在下文給出。

2.2 ADMM方法用于雜波抑制

為更好地求解式(6)，引入一個輔助指示矩陣A∈{0,1}N×T，其中元素A(n,t)=1代表所對應的回波矩陣元素為目標的回波，反之，A(n,t)=0則為背景噪聲。同樣地，為避免復雜的奇異值分解運算，文獻[18]給出了當rank(Gw)=R≤min(N,T)時，雙線性因子分解(Bilinear Factorization, BF)可以用于代替核范數最小化(Nuclear Norm Minimization, NNM)

(7)

U∈RN×R,V∈RR×T，R為矩陣Gw的秩。結合式(7)，優化問題(6)可以重新寫為

(8)

其中，1代表全一矩陣，⊙為Hadamard內積算子。

優化式(8)是一個由多個凸函數組成的可分離的優化問題，交替方向乘子法可被用于求解該問題，其增廣拉格朗日方程可以寫為

(9)

在式(9)中，λ為拉格朗日乘子，β為懲罰因子。由交替方向乘子法知，原優化問題可以分離為關于U,V和Gw的迭代求解子問題：

(10)

對于式(10)，U、V和Gw的閉式解可以通過固定其余變量，使其對應導數為零而計算得出。由此，式(9)中的各變量的迭代形式為

(11)

在式(9)和式(11)中，指示矩陣A在第k步迭代中的更新為

(12)

3 數值仿真結果

在本章中，數值實驗結果展示了筆者所提出的雜波抑制算法在各種情況下的性能，以及墻體的厚度、材質和結構對雜波抑制算法的影響。實驗所使用的穿墻雷達數據集來自于電磁仿真軟件gprMax[19]。

3.1 墻體參數的影響

圖2 實驗設置示意圖

在本實驗中，將驗證墻體的厚度、材質和結構對于筆者提出的雜波抑制算法的影響。在圖2所示的實驗模型中，收發天線在0.07 m處，被水平放置101個位置，建筑物外墻墻面距離收發天線3 cm。一個半徑為3.5 cm金屬圓柱體被放置在建筑物內用于表示目標。整個場景中距離向從0.07 m位置到2 m位置，方位向0 m位置到3 m位置區域被用于成像。

在整個探測過程中，雷達收發天線在各位置上，依次發射和接收電磁波信號。在文中，穿墻雷達系統所發射的雷達信號為中心頻率fc=1GHz的雷克子波(Ricker)信號。在雜波抑制的算法中，各參數設置為η=5,ξ=0.1,R=3,β=1。

為客觀評估所提出的雜波抑制算法性能，采用目標雜波比(Target-to-Clutter Ratio, TCR)作為評價標準，通過比較雷達成像結果中的目標所占區域的能量和其余區域的能量的大小。比值越大，目標在成像中越明顯，即越容易檢測。

(13)

其中，Rt和Rc分別為穿墻雷達成像結果中的目標范圍和其他區域，Nt為目標范圍所占據的像素數，Nc同理為其他區域的像素數。

首先，研究了墻體材質對雜波抑制算法的影響，通過改變仿真軟件中不同墻體材質的相對介電常數εw，實現對不同墻體材質的研究。在該實驗中，將墻體結構設置為單一材質均勻分布的結構，墻體厚度為10 cm。筆者共測試了5種材質的墻體，包括兩種不同的木質墻，一種細砂礫澆筑的以及另外兩種含水量不同的混凝土墻體。實驗結果在表1中給出。所有的實驗結果都是來自10次獨立重復實驗結果的平均值。

表1 不同材質墻體下的探測結果

表2 不同厚度墻體下的探測結果

在表1中，最終成像結果的目標雜波比并沒有伴隨材質的變化而出現顯著變化，目標雜波比的輕微下降可以解釋為墻體材質的相對介電常數εw的上升導致的雷達回波能量的衰落程度的加劇。墻體厚度對雜波抑制算法的影響的實驗結果在表2中給出。在該實驗中，將墻體設置為由相對介電常數εw=6的單質混凝土墻體。

表3 不同結構墻體下的探測結果

隨著墻體厚度的增加，成像結果的目標雜波比有顯著的下降趨勢，這是由于墻體越厚，雷達發射的電磁波穿透建筑物墻體所損失的能量也就越多。最后，由于在以往穿墻雷達研究中，墻體設置往往為單質墻體，缺乏對復雜結構的墻體的研究。而在實際生活中，單質均勻墻體并不常見，更多的建筑則是采用鑲嵌鋼筋的混凝土墻體作為外墻，以及空心磚堆砌的內墻。此外在單質墻體表面貼合另一種材質(如瓷磚、大理石等)的結構也很常見。因此在這部分的實驗中，實驗了4種不同結構的墻體，其中3層結構是指單質墻體的兩側都貼合了另一種材質的結構。實驗結果在表3中給出。

以上實驗結果表明筆者所提出的雜波抑制算法在不同墻體情況下，都能夠有效緩解穿墻雷達探測中建筑物墻體帶來的負面影響，并且無需事先根據墻體的不同構造調整雜波抑制算法的參數。同時，相對于墻體的材質和結構對雷達探測的影響，墻體的厚度更是決定性因素。

3.2 穿墻雷達成像結果

在這部分實驗中，將筆者提出的雜波抑制算法和現有的算法進行了對比。實驗分為單目標場景和雙目標場景。場景尺寸設置和上文實驗相同，墻體是厚度為30 cm的鋼筋混凝土墻。單目標場景中，目標為一個半徑為3.5 cm的金屬圓柱體，放置于(1.3, 1.1)處。圖3給出了實驗結果，其中圖3(a)為筆者提出的雜波抑制算法處理后的成像結果，圖3(b)為文獻[12]提出的軟閾值迭代算法處理后的結果，圖3(c)為文獻[9]提出的奇異值分解方法處理后的結果。

圖3 單目標場景實驗結果

由圖3可以看出，筆者提出的雜波抑制算法相較于現有算法，在雷達成像中能得到更高的目標雜波比。對比算法中，軟閾值迭代算法雖然能得到相近的成像結果，但是該算法存在較高的算法復雜度和依賴參數設置等缺點。基于奇異值分解的雜波抑制方法，并不能有效抑制全部的墻體回波，導致成像中出現許多虛影，這可能是由于本實驗采用的復雜墻體結構導致奇異值分解方法失效。此外，筆者提出的雜波抑制算法計算復雜度為O(ktotal(3(R3+R2+R2(N+T))+4RNT+NT))，其中，sSVT為算法收斂試的迭代次數，R為矩陣Gw的秩；文獻[12]中的軟閾值迭代方法的計算復雜度為O(kSVT(NT2+2N2T))，其中,kSVT為迭代次數；文獻[9]的計算復雜度為O(2NT2)。由于R≤min(N,T)，且實驗中取值往往遠小于{N,T}。因此該方法具有更低的運算復雜度。在雙目標實驗中，將兩個半徑為2cm的金屬圓柱體目標分別放置在(1.7, 1.0)和(1.2, 1.2)處，實驗結果在圖4中給出。

圖4 雙目標場景實驗結果

圖5 不同信噪比下的提出算法的抑制效果

由圖4的實驗結果知，筆者提出的雜波抑制算法處理后得到的雷達成像結果更具有更高的目標雜波比。對比算法中，軟閾值迭代算法處理后的成像中，右側目標有明顯的拖尾現象。基于奇異值分解的方法處理后，兩個目標中間出現了能量近似的虛影，兩個目標也出現失焦現象。值得注意的是，在所有算法的成像結果中，目標間都存在不同程度的虛影，這是由于兩個目標距離接近時，目標間相互作用的結果。

最后，測試了筆者提出的雜波抑制算法在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和存在一定比例數據丟失的情況下的性能，實驗中，接收到的雷達回波信號的信噪比從24 dB逐步下降至-12 dB，數據丟失情況包括無丟失、20%丟失和40%丟失的情況。實驗結果在圖5中給出。實驗結果表明，筆者提出的雜波抑制算法在低信噪比(0 dB)和高比例(40%)數據丟失情況下，所得到的雷達成像結果依然能保持12 dB以上的目標雜波比值。

4 結束語

筆者提出了一種用于穿墻雷達的雜波抑制方法。這種方法中，由于墻體回波具有的低秩特性和目標回波的稀疏特性，雜波抑制問題轉化為一個低秩聯合稀疏優化模型。之后，交替方向乘子方法被用于求解該優化模型，分離出墻體回波后，延時求和波束成形算法用于雷達成像。實驗結果表明，筆者提出的雜波抑制方法在各種場景下都能有效解決墻體回波造成的目標掩蓋問題。