從一道中考題說起
——談初中數學數形結合思想展現的魅力

江蘇省南京師范大學蘇州實驗中學 張 璇

在當前的初中數學教學中，學生不僅證明和求解的過程書寫混亂，如由“因為”根本推導不出“所以”后面的結論等，而且平面圖形的性質無法利用“數”與“形”相結合的思想與方法分析，如二次函數圖像的性質等.這就導致大部分初中生將解題思路禁錮于某一個方面，或“代數”方面，或“幾何”方面，而不能將二者有效結合起來，從而久久不能將問題有效或高效地解決.數形結合思想便是為了解決這一問題而誕生的新思想、新方法，給初中數學的學習帶來了新的希望.

一、提出問題——一道經典的數學中考題

2019年江西數學中考第12題：在平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別為（4，0）、（4，4）、（0，4），點P在x軸上，點D在直線AB上，DA=1，CP⊥DP于點P，則點P的坐標為_______.

本題是典型的動點問題，作為填空題的壓軸題，文字不多，但對分類討論思想、數形結合思想的運用都進行了考查，體現了邏輯推理、直觀想象的核心素養.由“CP⊥DP”這個條件產生的兩種不同情況，預示著后期要采用分類討論思想.在第二種情況中，如果按照傳統做法過程比較復雜，主要會用到“勾股定理”“一元二次方程”等重要知識點.但是，如果能將直角看成兩條互相垂直的直線形成的角，即兩直線互相垂直，就可以將“幾何”問題轉化成“代數”問題，這是非常明顯的“數形結合”，不僅能幫助學生較快地解出這道題，而且在獨辟蹊徑之余讓學生感受到了數形結合思想的魅力所在.

二、對比分析——感悟數形結合思想的魅力

承上所述，下面對第二種情況的分析過程進行對比，通過對比和分析讓學生感悟數形結合思想給學生的學習帶來了便利，甚至是“捷徑”.

（一）利用常規解題思路進行分析

首先，這樣的點D應有兩個，一是（4，1），二是（4，-1）.

當點D的坐標是（4，1）時，如圖1所示，此時可以設點P的坐標為（m，0），那么OP=m，且AP=4-m.易得到△OCP△APD，因此可列比例式，即OC·AD=AP·OP.將OP=m、AP=4-m代入其中，得到4×1=（4-m）·m，解得m1=m2=2，所以點P的坐標為（2，0）.

當點D的坐標是（4，-1）時，如圖2所示，此時可以設點P的坐標為（m，0），那么很容易得到CD2、PC2、PD2的表達式，即CD2=（0-4）2+［4-（-1）］2=41，PC2=（0-m）2+（4-0）2=m2+16，PD2=（4-m）2+（-1-0）2=m2-8m+17.由勾股定理可知CD2=PC2+PD2，繼而得到m2+16+m2-8m+17=41，解得m1=.所以，點P的坐標為或

圖1

圖2

（二）利用兩直線的位置關系分析

在幾何領域中，兩條直線的位置關系有平行和相交兩種，其中平行的特例是互相重合，相交的特例是互相垂直.將這一問題放在代數領域中，那么兩條直線可以看成兩個不同的一次函數的圖像.設這兩條直線的解析式分別為y=k1x+b1和y=k2x+b2，當k1=k2、b1≠b2時，兩條直線互相平行，假如b1=b2，就可以得到兩直線互相重合；當k1·k2=-1時，兩條直線互相垂直.由此可見，討論直角的問題不能局限于幾何角度，也可以將之拓展至代數角度，即把兩條直線看成兩個一次函數的圖像，然后根據k1·k2=-1得到兩條直線互相垂直.所以，對于該題的第（2）問，也可以按照這個思路具體分析，如下所示：

首先，設點P的坐標為（n，0），線段CP所在直線的解析式為yCP=k1x+b1，線段DP所在直線的解析式為yDP=k2x+b2，然后分別將點C（0，4）、P（n，0）、D（4，-1）代入到這兩條直線的解析式中，得到.由于CP⊥DP于點P，所以k1·k2=-1，即，解得，最后得到點P的另外兩個可能的坐標為

（三）基于兩法對比感悟數形結合思想的魅力

通過對比這兩種不同的分析方法，不難發現它們都利用到了數形結合思想.第一種方法是將問題分成了兩類，然后在分類討論思想的基礎上使用數形結合思想.這種方法比較常規，但是分析的思路比較清晰，因為每分析一類情況就相當于做一個題目，兩類情況分析過程彼此獨立.但是，計算量比較大，而且容易忽略其中的一種情況.第二種方法并沒有進行分類，而是將幾何中的直線或線段看成一次函數的圖像，然后根據k1·k2=-1得到方程并解出，最后得到點P的另外兩個可能的坐標.這種方法靈活性、綜合性都比第一種方法更高，特別是完全從代數的角度考慮幾何問題，這和第一種方法由幾何分析列出代數算式明顯不同，也更考驗解題人的綜合水平.

三、精培巧滲——讓學生利用數形結合思想解疑

數形結合思想可以讓學生于“窮途末路”處“柳暗花明”，在茅塞頓開之余感受數學的魅力.甚至在掌握這種思想方法后，會因一次次“豁然開朗”而漸漸喜歡上做數學題和慢慢對自己學好數學建立越來越強的自信.所以，作為核心素養理念下的一線初中數學教師，有必要也有義務從以下幾個方面培養學生的數形結合思想：

（一）在講好概念上下功夫

掌握概念是學生學習的重要任務，并且學生需經歷形成、理解、應用三個過程.所以，教師在教學數學概念時，要尋找恰當時機向學生滲透數形結合思想.

例如，教師在講“勾股定理”內容時，就是通過一個直角三角形的三邊作出的正方形的面積關系，得到這個直角三角形三邊的關系，而這種關系就是勾股定理的內容.勾股定理可以用一個表達式概括，而其推導過程就是建立在幾何層面上，將“數”與“形”進行了有效結合，向學生滲透了數形結合思想.

再如，教師在講到“二次函數的圖像”時，就是利用數與圖形相結合的方式為學生展現了二次函數的開口及開口方向、對稱軸、頂點，從而讓學生對二次函數的三要素有更清晰的了解.特別是利用圖形分析二次函數的增減性時，往往是在一幅二次函數圖像上分別取幾個不同的點，然后通過比較相對應的y值及其在坐標平面上的高低、正負，便得到了二次函數的增減性.這樣一來，原本非常抽象的內容在利用數形結合思想之后，問題和分析過程變得更直觀、更簡單.

（二）在問題解決時潛移默化

常見的可用數形結合思想解決的數學問題主要有兩大類，一類是代數問題用幾何的方法解決，另一類是幾何問題用代數的方法解決，其中解直角三角形、函數等問題比較多見.

例如，有這樣一道中考數學題——一次函數y=kx+k的圖像過點（1，4），且分別與x軸、y軸交于點A、B.點P（a，0）在x軸的正半軸上運動，點Q（0，b）在y軸的正半軸上運動，且PQ=AB.

（1）求k的值，并在直角坐標系中畫出該一次函數的圖像；

（2）求a與b滿足的等量關系式；

（3）若PQ⊥AB，求a、b的值.

本題對學生掌握分類討論思想、數形結合思想的情況進行了考查，重點在于學生應用知識推理出正確的結果.通過圖像或畫圖解決一些函數問題，是當前中考中炙手可熱的命題類型.將函數圖像特征、代數數量關系等結合起來，能有效幫助學生解決問題、檢驗問題解決的結果.

四、結語

總之，面對很多學生無法在“代數”與“幾何”間靈活轉換，從而不能很好地利用數形結合思想解決問題的不足，一線初中數學教師一方面要正視，另一方面要積極在日常教學中滲透數形結合思想，讓學生領略它的魅力.