構建模型，讓邊角關系深度呈現*
——2019年南通中考第17題的解法探究與思考

江蘇省海門市東洲國際學校 張浩杰

縱觀南通中考近三年的填空題，都有一道涉及反比例函數圖像與幾何圖形完美結合的中檔題，意在挖掘邊和角之間的一種內在聯系，重在考查學生從形的角度突破，從數的角度解決的基本技能、基本路徑，旨在教師的教學過程中，深層次理解圖形的“邊角關系”.

一、原題呈現

（2019年南通中考）如圖1，過點C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點A，∠ABC=90°，AB=CB，曲線y=（x＞0）過點B，將點A沿y軸的正方向平移a個單位長度恰好落在該曲線上，則a的值為______.

圖1

圖2

二、方法思考

從已知條件中可以發現△ABC是等腰直角三角形，可知特殊角、邊的關系、邊角關系及延伸而出的其他相關性質.結合問題，解決的關鍵點在于求出k的值，可以從數或形的角度攻克.

1.構造“K”型（全等三角形）

（1）如圖2，以點C為直角頂點構造等腰直角三角形ACD，分別過點C作x軸的平行線，過A、D兩點作y軸的平行線，交于N、M兩點，可以發現由已知可求得直線AC∶y=2x-2、點A（1，0），則CM=AN=4，DM=CN=2，則點D（7，2）.由CB⊥AD，得B是AD的中點，則點B（4，1），則拋物線為，可求得a=4.

（2）如圖3，過點B作BD⊥AC，垂足為點D，則D為AC的中點，則點D（2，2）.同（1）構造“K”型，則AN=DM=2，DN=BM=1，則點B（4，1），則拋物線為y=，可求得a=4.

圖3

圖4

2.構造一線三等角模型

如圖5，分別過點C、B作x軸的垂線，垂足分別為點P、M，分別以PC、BM為直角邊在PC左側、BM右側作等腰直角△PCD、△BMN.則.又AD=2，CD=，則BM=MN=1，AN=4，則點B（4，1），則拋物線為，可求得a=4.

圖5

圖6

3.構造兩角和為45°模型

如圖6，構造矩形ANMD.由∠CAB=45°，得∠NAC+∠BAD=45°.可求得tan∠NAC=.若能求出tan∠BAD，則同樣可求出點B的坐標.如何求tan∠BAD？可以通過以下探究過程實現.

如圖7，矩形ABCD中，∠EAF=45°，且滿足△AEF是等腰直角三角形，則，可求得.根據以上方法在圖6中可求得，則點B（4，1），則拋物線為y=，可求得a=4.

三、解后再思

1.45°角的聯想

（1）抓住45°角，構造“K”型或一線三等角，利用“邊角”關系，形成全等三角形或相似三角形，為形向數轉化打下基礎.在“K”型構造上，需找直角，可利用現有的，如方法1（3）；可以借助已知點作為直角頂點，如方法1（1）；也可利用圖形的性質去構造，如方法1（2）.對于一線三等角而言，主要還是相似模型的構建，真正讓邊角關系無處不在.

（2）從一個角為45°轉化為兩角和為45°，通過構造矩形，可推導出“45°+”的正切公式，其本質涉及高中知識：兩角和的正切公式tan（α+β）=對于學有余力的學生，可以引導他們進一步探究推導其他一些性質：如當α=β時；如α+β=45°，且知其中一角的正切值，則可求另一角的正切值（三者可知二求一）.利用這些探究，可將較為復雜的邊角之間的比例關系輕松破解.

圖7

圖8

2.三角形邊角關系之間的變化，形成變式

路徑（1），直角三角形中銳角的度數發生變化，如：把“∠ABC=90°，AB=CB”改為“直角△ABC中，∠CAB=30°或60°”，其他不變，以上解決問題的方法同樣適用，變化的是構造“K”型中，由全等三角形轉為相似三角形.

路徑（2），三角形形狀的改變，“∠ABC=90°，AB=CB”改為“等邊△ABC”，改編如下：

如圖8，過點C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點A，△ABC是等邊三角形，曲線y=（x＞0）過點B，將點A沿y軸的正方向平移a個單位長度恰好落在該曲線上，則a的值為______.

路徑（3），邊之間的數量關系發生變化，如：“∠ABC=90°，AB=CB”改為“Rt△ABC，且”，即：

如圖1，過點C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點A，△ABC是直角三角形，且，曲線y=（x＞0）過點B，將點A沿y軸的正方向平移a個單位長度恰好落在該曲線上，則a的值為______.

3.解題教學走向深度

我們知道，學習數學的過程與數學解題緊密相關，學生數學能力的提升在于解題的質量而非數量，解題質量的提升路在何方？教會學生有想法，教會學生有對比，教會學生有反思，則是重中之重.本題的研究看似用好45°角，其本質可以延伸于角的存在性問題的思考策略，舉一反三，從而達到殊途同歸的目的.解決本題的思路有多種，從基本思路到思路優化再到高位思考，在這樣的過程中讓學生體驗到方法的融會貫通，達到觸類旁通的功效，尤其是推導“45°+”正切公式的歷程，激發學生對于高中知識探究的欲望，能夠有效提升學生的數學能力，因此解題教學的著力點要落在學法指導上.當然，解題教學的發展點要落在問題演變上，從一題走向一類，從而讓學生從變化中發現不變的結構，進一步訓練學生的有效提煉，真正實現學生從學解題達到會解題，使解題教學走向深度教學.