一元二次方程的多種應用探析

江蘇省連云港市海州實驗中學 丁 波

數學新課程標準指出，為適應人才培養的需要，數學課程應注重發展學生的應用與創新意識.方程的應用體現了方程模型用于解決實際問題的過程，激發了學生的應用與創新意識，加強了數學與現實生活的聯系.本文以用一元二次方程解應用題為例，做一探討.列一元二次方程解應用題的一般步驟包括：（1）審清題意，明確已知量、未知量及問題中的數量關系；（2）設未知數，包括直接設未知數與間接設未知數；（3）列方程，根據能反映應用題全部含義的等量關系，用代數式表示等量關系中的量，然后列出方程；（4）解方程；（5）檢驗并作答.在現實生活中，一元二次方程有諸多應用，主要表現在以下幾個方面：

一、一元二次方程在增長率問題中的應用

解決有關平均增長率（或降低率）問題時，一般選擇公式a（1+x）2=b［或a（1-x）2=b］，其中a是增長（或降低）前的量，x是平均增長率（或降低率），2是增長（或降低）的次數，b是增長（或降低）后的量.

例1為做好響應國家“精準扶貧”號召，連云港2017年擬投入1280萬元資金用于異地安置，且投入資金按照規劃逐年遞增，2019年在2017年的基礎上遞增投入資金1600萬元.

（1）從2017年至2019年，連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為多少？

（2）在2019年具體實施異地安置過程中，連云港規劃投入資金大于或等于500萬元用于獎勵優先搬遷租房的家庭，規劃前800戶（包含第800戶）一戶一天獎勵10元，800戶以后一戶一天獎勵5元，按照租房400天進行計算，求2019年連云港享受到優先搬遷租房獎勵的至少有多少戶.

解析：（1）設連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為x.

依據題設，得1280（1+x）2=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5（舍去）.

答：從2017年到2019年，連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為50%.

（2）設2019年連云港享受到優先搬遷租房獎勵的有a戶.

依據題設，得800×10×400+（a-800）×5×400≥5000000，解得a≥1700.

答：2019年連云港享受到優先搬遷租房獎勵的至少有1700戶.

評注：本題增長后的量不是1600萬元，而是（1280+1600）萬元；一元二次方程的解通常有兩個，這兩個不一定都符合題意，要舍去不符合題意的解，這就是方程的解與實際問題的解之間的差異.

二、一元二次方程在“每每問題”中的應用

“每每問題”指“每降低多少單價，就增加多少銷量”或者“每增加多少單價，就減少多少銷量”.其解題的關鍵在于找到單價變化量與銷量變化量之間的變化規律，然后根據“總利潤=每單位利潤×銷售量”列一元二次方程.

例22019年6月18日是重慶直轄22年的紀念日.22年來，巴渝大地發生了翻天覆地的變化，一大波網紅景點成為城市新地標的同時，也見證著城市面貌的改變，并讓一大批重慶特產走出重慶，享譽世界.在網紅景點洪崖洞，某重慶特產專賣店銷售特產合川桃片，其進價為每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低1元，則平均每天的銷量可增加20千克.

（1）若該專賣店合川桃片3月31日的銷量為280千克，則該天每千克的售價為多少元？

（2）若該專賣店想4月1日的獲利比（1）中3月31日的獲利多320元，則每千克合川桃片應為多少元？

解析：（1）設該天每千克的售價為x元.

根據題意，得100+20（30-x）=280，解得x=21.

答：該天每千克的售價為21元.

（2）設每千克合川桃片應為y元.

根據題意，得（y-15）［100+20（30-y）］=（21-15）×280+320，解得y=25.

答：每千克合川桃片應為25元.

評注：對于“每每問題”，在列方程時，要根據“總利潤=每單位利潤×銷售量”，還要用到以下數量關系：每單位利潤=售價-進價，銷售量=原銷售量+增加的銷售量.

三、一元二次方程在圖形面積問題中的應用

一元二次方程在圖形面積問題中的應用，包括修路問題、做鏡框問題、做紙盒問題、雞舍問題等，通常都要利用矩形面積計算公式“長×寬=矩形面積”建立一元二次方程，在確定長或寬時，要根據題意在原來的基礎上或加或減，形成一個代數式.

例3某書店積極響應政府“改革創新，奮發有為”的號召，舉辦“讀書節“系列活動.活動中故事類圖書的標價是典籍類圖書標價的1.5倍，若顧客用540元購買圖書，能單獨購買故事類圖書的數量恰好比單獨購買典籍類圖書的數量少10本.

圖1

圖2

（1）求活動中典籍類圖書的標價.

（2）該店經理為鼓勵廣大讀者購書，免費為購買故事類的讀者贈送圖1所示的精致矩形包書紙.在圖1所示的包書紙示意圖中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度.已知該包書紙的面積為875cm2（含陰影部分），且正好可以包好圖2中的《中國故事》這本書，該書的長為21cm，寬為15cm，厚為1cm，求出該包書紙包這本書時折疊進去的寬度.

解析：（1）設典籍類圖書的標價為x元.

答：典籍類圖書的標價為18元.

（2）設折疊進去的寬度為ycm.

由題意得（2y+15×2+1）（2y+21）=875，化簡得y2+26y-56=0，則y=2或y=-28（不合題意，舍去）.

答：折疊進去的寬度為2cm.

評注：本題中矩形的長是三部分的和，矩形的寬是兩部分的和，這都需要根據題意認真分析，所以審清題意是正確解答問題的前提條件，審題時我們需要抽出其中的數量關系，用數學符號加以表示，而舍去其他無關的內容.

四、一元二次方程在動態幾何問題中的應用

一元二次方程在動態幾何問題中的應用，是由動點引起的圖形面積變化問題，這里起主要作用的變化量一般為運動時間，然后用含運動時間的代數式去描述變化過程中其他的量，如線段的長等，方程一般根據圖形面積去建立.

例4如圖3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點B出發沿線段BC、CD以2cm/s的速度向終點D運動；同時，點Q從點C出發沿線段CD、DA以1cm/s的速度向終點A運動（P、Q兩點中，只要有一點到達終點，則另一點立即停止運動）.

圖3

（1）運動停止后，哪一點先到終點？另一點離終點還有多遠？

（2）在運動過程中，△APQ的面積能否等于22cm2？若能，需運動多長時間？若不能，請說明理由.

解析：（1）點P從開始到運動停止用的時間為：（12+6）÷2=9（s），點Q從開始到運動停止用的時間為：（6+12）÷1=18（s）.由9＜18，只要有一點到達終點，則另一點立即停止運動，得點P先到終點，此時點Q離終點的距離是：（6+12）-1×9=9（cm）.

答：點P先到終點，此時點Q離終點的距離是9cm.

（2）在運動過程中，△APQ的面積能等于22cm2，分兩種情況討論.

點P從點B運動到點C的過程中，設點P運動的時間為as.由△APQ 的面積等于22cm2，得，此方程無解.

點P從點C到點D的過程中，設點P運動的時間為（b+6）s.由△APQ的面積等于22cm2，得，解得b1=1，b2=14（舍去），即需運動6+1=7（s），△APQ的面積才能等于22cm2.

評注：本題中的動點因為在不同的線段上運動，所以形成的圖形也在變化，因此本題分兩種情況進行討論；在求圖形面積時，遇到不規則圖形時，要將其轉化為規則圖形面積的和或差來解決.

五、一元二次方程在握手、比賽問題中的應用

握手問題與比賽問題道理是一樣的，在單循環比賽中有公式在雙循環比賽中有公式x（x-1）=n，其中x是參賽的隊數，n是比賽的場數.解答時先要判斷是單循環還是雙循環，再套用公式.

例5為進一步弘揚“愛國、進步、民主、科學”的五四精神，倡導“我運動、我健康、我快樂”的生活方式，某縣團委準備組織一次共青團員青年足球賽，參賽的每2個隊之間都要比賽1場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排9天，每天安排5場比賽，則該縣團委應邀請多少個足球隊參賽？

解析：該縣團委應邀請x個足球隊參賽.

每支球隊都需要與其他球隊賽（x-1）場，但2隊之間只有1場比賽，根據題意，得，整理得x2-x-90=0.

解得x1=-9（不合題意，舍去），x2=10.

答：該縣團委應邀請10個足球隊參賽.

評注：參賽的每2個隊之間都要比賽1場，所以此題是單循環比賽，所以套用公式，如果每2個隊之間要比賽2場，那么就是雙循環比賽.

當然，一元二次方程的應用遠不止這些，還有諸如數字問題、其他學科問題等，因為它是一類最基本類型的方程，所以它在解決生產和生活問題、數學自身問題、其他學科問題中都有廣泛的應用.它是反映現實生活數量關系的有效模型，只有在刷題—思考—刷題—思考的反復進行中，才能不斷提升應用一元二次方程解決實際問題的能力.