談初中數學建模能力的培養

山東省萊蕪市雪野鎮中心中學 張光發

在初中數學課程標準中，學生數學建模能力主要是針對生活中的實際問題，基于現有數學知識，通過建立數學模型，對模型進行分析、求解，最終實現解決實際問題為根本出發點.通過數學建模，可以培養學生數學思維和思考問題的能力，以及尋找思考問題的角度.也可以培養學生的創新意識和創造能力，訓練快速獲取信息和資料的能力，以及了解和掌握新知識的技能.

在初中數學中，常用模型主要有：函數模型、方程模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.本文以一元二次函數模型在實際問題中的應用為例，就相關建模能力的培養提出幾點建議，供參考.

一、能否樹立數學建模的意識？

樹立建模意識是建模能力培養的前提，通常情況下，在實際問題中如果具有可量化的指標，基本都可以抽象成各數學變量，并在此基礎上運用相關的數學知識和方法進行分析，找出它們之間的對應關系，進而建立對應的數學模型，再利用模型對問題進行分析求解，并將所求結果與實際對照檢驗，若符合實際則得出相應的結論；若與實際不符，則需重新進行分析、抽象，選擇數學模型.將實際問題數學化的過程如圖1所示：

圖1

函數建模是在實際問題中通過對數據的分析，抽象出變量，找出各變量之間的關系，從而將實際問題數學化的過程.

通過數學抽象、建立數學模型，對模型進行分析求解，把生活中的各種實際問題轉化為函數問題來解決.

二、是否掌握數學建模的方法？

如何更好地對實際問題進行分析，并求出相應的結論？這與選擇的數學模型息息相關，其中選擇數學模型是數學能力的反映.數學模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個最佳的模型，體現了學生對所學知識靈活應用能力的強弱.

函數指在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果在某一范圍內對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，其中x為自變量.在初中數學中所涉及的函數模型主要有以下幾種：

（1）正比例函數：如速度與路程、單位數量與總量；

（2）反比例函數：如價格與銷售量、速度與時間的關系；

（3）一次函數：如在票價一定的情況下，乘客數量與成本、收入之間的關系；

（4）二次函數：優化問題、用料最省問題、造價最低、利潤最大等.

三、能否基于實際需求建立數學模型？

案例：汽車超速行駛是造成交通事故的重要原因之一，那么在事故的現場如何檢測一輛汽車是否超速呢？相關技術部門通常采用測量“剎車距離”來判斷是否超速.“剎車距離”指一輛行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的原因，還要繼續向前滑行一段距離才能停住，這段距離就稱為“剎車距離”.如何測定某種型號汽車的剎車性能？

1.選擇研究對象

汽車型號：選擇某品牌某一型號的汽車為研究對象，并確定相應的輪胎規格.

測量地址：直線型柏油路；

自變量（車速）的值：為便于計算，選擇車速分別為5、10、15、20、25、30（千米/時）；

剎車位置：選擇某一位置為剎車起點.

2.數據的收集

實際測量在不同車速下的剎車距離，如表1所示：

表1

3.數據的整理

在如圖2所示的直角坐標系中，以剎車時車速為橫坐標，以剎車距離為縱坐標，描出這些數據所表示的點，并用平滑的曲線連接這些點，得到某函數的大致圖像（根據需要補充車速為0時，剎車距離為0）.

圖2

4.建立的模型

借助圖像信息建立函數模型，即觀察圖像，從中獲取信息，將其轉化為具體的函數，進而利用函數的性質解決問題.

通過觀察圖像可知，該圖像的形狀與拋物線接近，猜想該函數為一元二次函數.因為圖像經過原點，故可設此二次函數的表達式為y=ax2+bx（x≥0）.

5.模型的求解

利用待定系數法確定抽象出來的函數關系：

選取（20，1）和（10，0.3）代入表達式y=ax2+bx（x≥0）中，得到二元一次方程組：利用消元法解得

6.模型檢驗

代入各點檢驗，只有（25，1.6）略有誤差，其他點均滿足所求表達式.

7.誤差分析

由于所選擇的柏油路的光滑程度、輪胎的不同型號及人為操作等原因，不可避免會出現一些誤差，因此在具體應用中，可以利用統計學知識，將應用模型所得數據以分組的形式表示，規定一個合理的組距.

8.模型的應用

問題1：若車速是90千米/時，估計剎車距離可能為多少.

解答：將x=90千米/時代入得y=17.1.

問題2：一輛該型號汽車在高速公路上發生交通事故，現場測得剎車距離約為40米，已知這條高速公路限速100千米/時，請根據你確定的函數表達式，通過計算判斷在事故發生時，汽車是否超速行駛.

解答1：將y=40代入y==40，解得x≈140千米/時.因為140＞100，所以汽車已經超速.

解答2：將x=100千米/時代入（x≥0），得y=21＜40，所以該汽車已超速行駛.

四、是否具有建模的能力？

數學建模的過程是將我們所學知識用在日常生活的過程，培養建模能力是培養我們運用所學數學知識分析問題與解決問題能力的關鍵，為培養學生的建模能力，我們要更好地完善如下數學建模能力：

1.理解實際問題的能力

數學知識與生活中的眾多問題息息相關，通過對這些問題的理解、分析、探究，挖掘出其數學本質，從而建立數學模型，再利用數學知識解決這些實際問題.除本文所述的模型外，生活中的抽簽、抽獎、投資、理財，小區的綠化、樓房的采光、車輛的存放等，甚至生活中節水、節電問題等，均可找到相應的數學模型.只要學生認真觀察，生活中的數學無處不在.

2.洞察能力

即抓住實際問題中要點的能力.如本文案例中與剎車距離相關的要點除了車速，還有柏油路的路面光滑程度、輪胎的型號等.

3.抽象分析問題的能力

如本文中的案例，根據速度與剎車距離之間的關系，抽象出二次函數模型.

4.“翻譯”能力

即把經過抽象、簡化的實際問題用數學語言、數學符號表達出來，形成數學模型的能力，以及應用數學方法進行推演或計算得到結論，并能用自然語言表達出來的能力.

5.通過實際對模型進行檢驗的能力

即所建立的數學模型要與生活實際相符，要經得起實踐的檢驗.

6.所學數學知識的運用能力

如本文例案中構造了二次函數模型，應用這些模型解決問題的前提是我們要熟悉二次函數圖像及相關性質，這樣才能更好地將其應用于實際問題的解決中.

只有各方面能力加強了，才能更好、更快地解決生活中的實際問題.

總之，生活與數學是密不可分的，數學來源于生活，通過建立數學建模，解決生活中的實際問題，享受數學帶給人們的樂趣，從而讓我們感受到生活中處處有數學.