基于初中數學模型思想的靶向教學實踐研究*

重慶市黔江區育才初級中學校 張世恩

一、困局——初中數學教學困境的緣由

長期以來，初中數學對很多學生而言總是“易學易懂、易會易錯”，師生一不留神就陷入題海戰術的泥潭，學生的數學水平仍然不盡如人意，如何破解這種高耗低效的教學困局，成為數學教師亟待解決的一個問題.筆者發現，課堂上，師生缺少應用模型方法分析和解決問題的自覺意識，教學方向不明、教學方式不當、教學重點不準、教學反饋不對等是學習數學最大的障礙.

新課程標準要求，數學教學應注重發展學生的模型思想，其重要性是顯然的.如何有效實現模型思想的培養，在新授課中如何滲透、在習題課中如何剖析、在命題中如何把握，實踐中仍然困難重重.

包括文獻［1］～［4］在內的諸多文章，主要論述了數學應用建模的方法和如何滲透等，文獻［5］介紹了基于學生自主發展的靶向教學模式，在師生活動方面頗有參考意義.本文主要從廣義的數學模型思想著手，并以一個幾何模型為例，結合多年實踐闡述了基于初中數學模型思想的靶向教學模式.

受醫學“靶向治療”的啟發，醫者治療身體，教者喚醒心靈，故而實施“靶向教學”，即以數學模型為載體，針對學生生長點，開展師生多邊對話，教師精準點撥的教學模式.

二、破局——實施靶向教學的理性思考

（一）靶向教學的理論依據

最近發展區理論認為：學生的發展水平有兩種，一是學生當前的水平，即自主活動能達到的水平；二是學生可能的水平，也就是通過教學能達到的水平.兩者之間的差異就是最近發展區，我們稱之為“生長點”.故此，教學應著力于學生的生長點，給學生“跳一跳摘得到”的任務，擇機給學生助力，使每個學生能獲得適度的生長.

新課標指出，“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’”.靶向教學針對的是“學生的生長點”，用“知識的生長點”促進“學生的生長點”的生長.

實施靶向教學基于上述理論基礎，突出搜索最近發展區，鎖定學生生長點，要求師生在教學任務指引下，為解決問題開展多邊對話.

（二）靶向教學的可行性分析

只要對學生的學習適時檢測，通過師生互動，學情即得以顯現，很容易發現最近發展區的點位.

信息技術的發展不僅使課堂得以延伸，而且使教學數據分析和學情監測更加精準，同時優質資源的共享更為便捷.因此，實施靶向教學就有了工具和實操的保障.

（三）靶向教學的模式初構建

靶向教學的要點就是有的放矢，因材施教.“靶點”就是學生無法自主突破的點，就是學生的生長點所在；既是學生這個主體的生長點，也是教學內容、教學素材等知識的生長點.所以實施靶向教學必須找準突破口，鎖定學生的生長點，才能針對性地及時解決.當然，隨著學習的不斷推進，“靶點”也會隨之變化，而且不同水平的學生之靶也會不同，這就要求教師時刻關注學生的學習進程.

靶向教學的基本流程如圖1所示.

圖1 靶向教學的流程

第一階段自學.自學是靶向教學的基本前提.這里的自學指學生通過對教師給出的學習任務進行深度剖析，努力嘗試自主解決問題，提煉其中的數學模型，歸結自己的思維障礙點，是為找靶.

第二階段互教.互教是靶向教學的重要環節.通過自學，學生將自己難以突破的思維障礙點向同學請教，也可將自己掌握的部分向其他同學或者老師講解.

第三階段點撥.點撥是靶向教學的關鍵步驟.通過前面兩個階段的活動，教師應進一步以學生的生長點為靶位，進行精準追問、點撥、解惑，幫助學生歸結問題模型，從而完成學習任務，是為打靶.

第四階段反饋.通過前面幾個階段的活動，教學任務得以基本完成，選取同類問題進行檢測，檢驗學生能否運用模型，做到“回頭看”，是為校靶.

需要說明的是，以上活動并不是完全分離，而是相互交融.

（四）靶向教學的實施策略

一是組建學習共同體即學習小組.要實施學生間的互教，需要事先將學生分組，每組學生學習水平應大致相近，并指定一人引領本組的互教活動，對學生進行適當的培訓，教會他們如何提出問題、交流想法、講解思路.

二是編制同模問題群即學習任務.筆者認為“數學即模型”，為此，每堂課的學習都可以定義為一個模型的學習、建構和運用.為了便于學習模型，應編制能化歸為同一模型的問題群，由易到難、由簡入深，這樣就明確了每節課的學習內容.

三是放手讓學生教學生即同學互教.營造融洽的師生、生生關系，鍛煉學生的表達能力和膽識，鼓勵學生敢于表達自己的想法，引導、鼓勵學生互教，相互講出來，講思路、講方法、講感受.

四是靶向點撥生長點即精準指導.教師應出現在學生最需要的時候，講在學生最需要的地方，堅持“哪里不會幫哪里”，不講則已，一講就能讓學生在解決問題的道路上向前邁一步.要做到這一點，要求教師在課堂上多傾聽學生，走到學生中間去，才能把握學生的最近發展區和生長點，便于當堂指導和教學反思.

三、設局——基于模型思想的靶向教學實踐

筆者認為，以“學模型、建模型、用模型”為基點的教學不失為數學學習的重要途徑.

重視模型的建立或提煉在初等數學中對于數學學習起到關鍵作用，也是發展數學思維的重要方法.在眾多的數學模型類型中，幾何模型的運用往往讓人無從下手，其中最常見又較難的是最短距離模型.下面以“垂線段最短”模型為例.

問題1：平面直角坐標系中，直線y=x，點B（6，2）、A（1，0），動點M在直線y=x（x＞0）上，動點P、N在x軸的正半軸上，連接MB、MN、NB.若點M（3，3），如圖2，當△BMN周長最小時，連接MP，求PM+MN的最小值，并求出此時點P的坐標.

圖2

問題2：如圖3，在平面直角坐標系中，點A、B在拋物線y=-x2+4x上，且點A的橫坐標為1，點B是點A的對稱點，直線AB與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，點E（1，1）.點P為線段AB上方拋物線上任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當△PBE的面積最大時，求的最小值.（2018年重慶中考A卷）

圖3

圖4

問題3：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點Q.如圖4，連接AC、BC.若點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF⊥BC于點F，過點B作BG∥AC交y軸于點G.點H、K分別在對稱軸和y軸上運動，連接PH、HK.當△PEF的周長最大時，求PH+HK+KG的最小值及點H的坐標.（2019年重慶中考B卷）

教學中要求學生先對問題群進行對比分析找共同點，步步為營，逐步分析解決.已會的要敢于向不會的同學講解.教師的點撥也是逐步推進，絕不包辦.

靶點分析1：整體來看，問題群呈現都以拋物線為背景，以第一次最值為前提條件，最后求三條線段和的最值，其中一條長度可求為定值.

靶點分析2：第一次最值的求法是一個靶點，第二次最值整體上看是有起點有終點，但的存在就不是點到點的距離模型，形如的處理就是最大的靶點所在.

靶點分析3：問題可歸結為，如圖5 所示，已知，點P為∠BAC其中一邊AB上的一個動點，點M在射線AB、AC的同側，連接MP，則當的值最小時，點P的位置如何確定？

圖5

圖6

靶點分析4：問題的關鍵在于如何確定的大小，如圖6，過點P作PQ⊥AC，垂足為點Q，則sin∠BAC=PQ，故問題求的最小值轉化為求“MP+PQ”的最小值.

靶點分析5：當M、P、Q三點共線時，“MP+PQ”最小（如圖7），只需過點M作MH⊥AC，垂足為點H，MH的長即為所求的最小值.

圖7

由此可以看出，本文所述基于模型思想的靶向教學實踐，一是教學內容以問題群模型呈現，二是教學過程以生長點靶向點撥.

四、復盤——基于模型思想的靶向教學反思

筆者在長期的教學實踐中，堅持以可化模型問題群組織內容，學生自己推進學習進程，教師適時精準點撥，實施靶向教學，做到因材施教，取得了較好的教學效果.

實踐中，要求教師一要能整合教材、組織好問題群，做好課前的靶點預設；二要在與學生的交流中，能打開學生的心扉，敢于相互交流發言，培養積極思維的好習慣，融入學生之中，發現靶點，伺機點撥；三要探索激勵機制，鼓勵學生共同進步；四是注重反饋既是檢測教學效果的需要，也是師生深入交流的需要.借助信息技術反饋、檢測，或許是發現靶點的新方式，值得在以后的教學中探討運用.