視覺化表征：讓數學問題輕松解決

趙晨鑫 魏佳

【摘要】在數學課堂教學中，用應用題來評估并促進學生數學潛能發展是一種有效手段。視覺化表征能夠使學生更好地理解問題，直觀地把握問題實質。本文呈現了應用題教學的三種視覺化表征方式：圖像表征、圖式表征、情境表征。希望通過選擇符合小學生思維發展特點的呈現方式來提高數學問題解決能力。

【關鍵詞】小學生? 視覺化表征? 數學問題解決? 思維能力

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）48-0003-02

1.引言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力” [1]。在數學課堂教學中，用應用題來評估并促進學生數學潛能發展成為一種有效手段。應用題的解決不僅需要學生具備良好運算能力，也需要有一定的問題表征能力。所謂問題表征能力，就是在應用題的解決過程中，利用畫圖形、列表格等方法來增加對問題的理解。根據著名數學心理學家Mayer的研究，數學中問題解決的能力主要涵蓋以下兩個方面：一是對數學問題的表征能力，二是解決計劃的執行能力[2]。如果小學生對問題的表征能力相對薄弱，將直接影響數學問題的解決。

2.視覺化表征、問題解決、應用題

2.1視覺化表征促進小學生思維轉化

何美萍等人曾探討視覺化表征及其在數學學習中的作用[3]：視覺化表征描繪了具體的、形象的、直觀的意義，便于人們較為快捷地視覺化數學的整體結構和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點，也是右半球發展的外在促進。因此，視覺化表征在數學學習中有著舉足輕重的作用。

在小學階段，學生思維發展的特點主要是抽象邏輯思維在逐步發展，但仍帶有很大的具體性，離不開具體事物的支持[4]。因此，在進行純文字的應用題教學當中，將文字表征模式的應用題轉化為圖像表征豐富的應用題，不僅可以幫助學生直觀地理解題意，而且能夠促進思維過渡。美國心理學家維特羅克認為，如果訓練學生對他所閱讀的東西產生一個類比或表象，他們的理解就會增強，這些表象可能包括圖形、圖像、表格和圖解等[5]。也有專家認為，個體在知識的表征過程當中，影響比較大的是視覺認知?；诖耍覀兛梢哉J為小學生對圖式有著更好的理解力，多利用圖式表征能夠使小學生更好地明白問題的含義，從而提高解決應用題能力[6]。

如果教師能根據不同年齡段學生運算策略的使用特征及數學思維發展狀況，并遵循科學的原則，選擇恰當的方式進行教學，不僅可以提高課堂效率，還能有效促進學生數學思維發展。

2.2應用題成為培養問題解決能力的重要載體

應用題是用語言或文字敘述有關事實，反映某種數量關系，并求解未知數量的題目。小學數學應用題通常分為兩類：只用加、減、乘、除一步運算進行解答的稱簡單應用題;需用兩步或兩步以上運算進行解答的稱復合應用題[7]。

應用題——作為小學階段的重點教學內容，不僅考查了學生們所學習和掌握的數學基本知識與相關技巧，更考查了他們的思考能力以及整合所學知識與技能解決身邊現實問題的能力，同時也包含了學生們對于生活中某些問題的態度與情感。正如Reusser所說[8]，應用題是將數學知識與實際情境相結合的問題形式，這種形式有助于幫助學生進行數學思維的建構[9]。但在實際的教學當中我們卻發現，學生解決應用題，尤其是純粹文字應用題的狀況卻并不理想。

影響問題解決的客觀因素之一便是問題的情境。問題情境是指問題呈現的知覺方式。當問題呈現的知覺方式與人們已有的知識經驗越接近，問題就越容易解決;相反，如果問題呈現的知覺方式與人們已有的知識經驗相差很遠，問題解決起來就越困難[10]。而大多數教師在課堂教學中往往會把能力培養形式化，傾向于直接交給學生抽象的數學算法、公式與技巧，而非根據學生的思維發展特點為其創設合理的問題情境來解決問題。這就導致學生不能很好地彌合所學知識與實際問題情境，也不能發揮真正潛能來解決問題。

Morales，Shute，&Pellegrino（1985）[11]通過分析3至6年級學生在解決應用題上的錯誤后發現：超過67%的錯誤是“概念性的”而不是“計算性的”。解答錯誤的學生是因為他們選擇了錯誤的方法而不是計算上失誤，這些概念性錯誤通常只是發生在對問題進行轉化的階段。如果學生不能用正確的數學方法表述應用題中的文字信息（轉化），他們將不能正確解決問題;如果能夠準確地轉化，計算并不是主要的問題[12]。

3.應用題教學的視覺化表征舉例

3.1圖像表征方式

看圖列式計算隸屬問題解決范疇。雖有圖畫做襯托，對于以形象思維為主的小學生來說要準確領悟圖所表達的意思，也并不容易。他們對圖中信息的解讀可能會出現各種各樣問題。要通過圖片引導學生讀懂圖，就要從學生對圖片的理解入手。開始時，學生可能會停留在仿說跟說的層面，隨著說圖練習的加強，他們對于問題情境建構就會逐漸清晰起來。

如圖1，一道混合運算題目，看箭頭的順序，兩張圖片要連接在一起看。“湖中原來有4只天鵝在嬉戲，不一會兒飛來了三只天鵝，過了一會兒，又有兩只天鵝結伴飛走了，湖中現有多少只天鵝？”其中要強調“飛走”這樣的詞用減法，“飛來”用加法。當學生反復經歷看圖——說圖——列式這樣的步驟，也就等同于經歷了自主學習、合作交流，共同探究等過程，在培養了學生思維能力的同時，也在一定程度上幫助學生理解運算過程，提高數學表達能力以及解決實際問題的能力。

3.2圖式表征方式

在解決數學問題的過程中，一個關鍵的影響因素便是對問題的表征能力。學生在面對數學問題時，首先要對問題進行相應的表征，是否具有相應的圖式決定著表征的成功與否。圖式表征策略是小學生廣泛采用的、影響小學生數學問題解決能力的一種表征策略。圖式表征是以數學語言和特征為基礎，以簡約的數學符號、數量、線段等形式表征題中的數量關系，構造數學模型。教學中亦常稱為線段圖表征，一般約定如下[13]：（1）“? ? ?”? ? 表示數量反映在線段上的起點與終點;（2）“？”表示未知數量;（3）不同長度線段表示不同數量; （4）長度相等的線段表示同樣多的兩個或兩個以上的數量;如圖2：一條繩子，第一次剪去全長的，第二次剪去3米，此時剛好剩下一半，那么繩子原長多少米？

用線段圖來表征這類問題，它可以有效減弱引入圖像或其他元素時造成的認知負荷過大的情形。另外，通過作圖，原來題目中文字敘述的數量變得直觀，符合小學生形象思維特點，學生一看就明白文字的含義，也就能正確地求解。求解過程中還可保留這些痕跡，其優點在于：這些具體操作活動是進一步開始抽象思考的基礎，同時保留具體作圖痕跡也便于監控及反思解題過程。

3.3情境表征方式

小學階段的數學內容多數源自生活，但也包含數學本身的內容。在實際教學過程中，學生們大多被灌輸“為了快速解題而解題”的學習思想，而不考慮真實問題情境。這種行為會導致學生們不能理解問題情境的意義，無法將所學知識技巧與生活彌合，不能充分發揮其在日常生活中解決問題的潛力。Kees Hoogland et al.（2018）在語境教學問題表征變化對學生表現的影響這一研究中，通過改變問題表征方式，對來自中小學年齡在10-20歲之間的31，842名學生進行了測試并得出結論：學生在描述問題情境的問題上得分明顯較高[14]。在研究中，他們所采用的問題表征方式主要以照片、報紙的標題和手寫注釋的形式（如圖3），來增強模擬的逼真度，追求對現實生活的再現，一定程度上避免了為“盡快得出答案”而專注于計算方法與結果的定勢思維。

蘋果以 2.5 公斤的袋裝出售，一個蘋果重157克。袋子里大概有幾個蘋果？文字表征轉換為視覺表征后，問題情境更加真實，加強了學生對問題的知覺性理解。所謂應用題，是要把理論概念應用起來解決真正的問題。問題不僅僅以書面形式存在，更滲透于生活當中。轉換問題表征方式，糅合知識與實際經驗，才能真正做到將應用題應用于生活。

結束語

小學生，尤其是低段的學生，在實際生活中的經驗和知識量是十分有限的，因此對應用題所表達的情境以及某些符號語句都會感到難以理解。這就要求我們依照弗賴登塔爾的數學教學原則[15]，盡量為小學生創設與生活相關的實例——接近生活實際的圖像或照片，讓小學生容易理解題目文字的意思，引導他們結合已有數學知識經驗去解題，以便更好地向抽象思維過渡，從而激發數學學習的潛能，提升數學問題解決的能力。

需要注意的是，我們從認知負荷理論角度來看，在添加圖像時，額外的信息會給學生的理解帶來額外的認知負荷，從而引發注意分散。基于小學生思維的特點，容易被解決問題的無關因素所吸引，例如，若出示一幅色彩豐富的圖片，題意是要學生計算圖片中小明手里和地上筐里的蘋果共有多少個，而學生可能額外注意到的藍天、白云、花草樹木這些無關因素。因此，在給文字應用題添加視覺化表征時應盡力避免太過復雜的圖像，僅呈現從題目文字中所提取出的信息即可。

參考文獻：

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[3]何美萍，唐劍嵐，全波.視覺化表征及其在數學學習中的作用[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版）.2008（08）

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[14]Kees Hoogland;Jaap de Koning;Arthur Bakker;Birgit E.U. Pepin;Koeno Gravemeijer. Changing representation in contextual mathematical problems from descriptive to depictive： The effect on studentsperformance[J]. Studies in Educational Evaluation， 2018， Vol.58：122-131.

[15]杜劍影.小學數學簡單應用題教學策略的研究[D].天津師范大學，2010

作者簡介：

趙晨鑫（1996.3.14-），女，漢族，遼寧盤錦人，碩士研究生在讀。