翻轉(zhuǎn)課堂在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探究

黃莉，吳純

（武漢商學(xué)院信息工程學(xué)院，湖北武漢 430056）

1 翻轉(zhuǎn)課堂模式對線性代數(shù)教學(xué)的意義

“翻轉(zhuǎn)課堂”（Flipped Classroom），源于2007年一位美國教師通過課后發(fā)送教學(xué)視頻給缺課學(xué)生補課，課上再輔導(dǎo)答疑的形式。這種全新的教學(xué)模式將課內(nèi)和課外的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行了重整，將學(xué)習(xí)的決定權(quán)從教師手上轉(zhuǎn)交給學(xué)生。在翻轉(zhuǎn)課堂模式下，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)方式更加靈活，更多關(guān)注于基于任務(wù)的專業(yè)學(xué)習(xí)，課堂中教師和學(xué)生能進(jìn)行更多的互動，學(xué)生對學(xué)習(xí)有主動權(quán)，更愿意參與到課堂中來。因此翻轉(zhuǎn)課堂模式在世界各地都得到大大的推廣，從小學(xué)到大學(xué)，甚至是學(xué)前教育領(lǐng)域都有其應(yīng)用，尤其把這種模式應(yīng)用到大學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，讓我們的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂別開生面。

目前在線性代數(shù)的教學(xué)中存在著教學(xué)效果差、學(xué)生參與度低、學(xué)情復(fù)雜等問題。特別是這門課，學(xué)時較少，概念抽象，解題技巧靈活多變，學(xué)生興趣低、掌握程度差，要想有效提高線性代數(shù)課堂的教學(xué)質(zhì)量，就需要從根本上對現(xiàn)有的教學(xué)模式進(jìn)行改革和創(chuàng)新。而翻轉(zhuǎn)課堂模式恰恰能夠在最大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí)。與此同時，教師在翻轉(zhuǎn)課堂模式下實現(xiàn)了教學(xué)改革、提升了教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)了師生良性互動、營造了良好的課堂氛圍，并能實現(xiàn)課堂理論與實踐教學(xué)的有機結(jié)合。

2 線性代數(shù)教學(xué)中翻轉(zhuǎn)課堂模式的設(shè)計

2.1 課前的翻轉(zhuǎn)模式

在做課前的翻轉(zhuǎn)課堂模式設(shè)計時，教師需要在最初對課程做好整體規(guī)劃，明確每一次翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點，可以借助微課、短視頻、網(wǎng)上教學(xué)資源平臺等等幫助學(xué)生在課前自主進(jìn)行重點知識的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生帶著任務(wù)和問題去預(yù)習(xí)，明確課堂的基本流程和教學(xué)內(nèi)容。特別要指出的是，課前的翻轉(zhuǎn)模式，不受時間和空間的限制，能最大限度地利用碎片化時間去學(xué)習(xí)。

比如，矩陣的運算這一章，內(nèi)容很多，在課堂上完成全部教學(xué)是比較困難的，但前面一部分內(nèi)容比較簡單，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)完全可以掌握，那么教師只需課前布置教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在課前掌握。比如，通過描繪出知識框架圖來讓學(xué)生明確矩陣包括哪幾種運算，觀看教學(xué)平臺（例如MOOC 和SPOC）的短視頻，并要求學(xué)生記錄自己學(xué)習(xí)過程中的困惑。學(xué)習(xí)之后讓學(xué)生思考：矩陣的運算與數(shù)的運算之間有哪些相同和不同之處，學(xué)生可以分小組討論并記錄，那么課堂上教師只需要花一點時間對這部分問題做出解答即可。而對于比較困難的部分，教師可以將學(xué)習(xí)困難的部分作為教學(xué)的主要引導(dǎo)問題，比如矩陣的逆運算這一節(jié)，課前教師提出問題：矩陣的逆運算可否借鑒數(shù)的逆，同時它應(yīng)滿足什么條件呢？ 讓學(xué)生從熟知的問題出發(fā)，帶著問題去預(yù)習(xí)和思考，鼓勵學(xué)生自己通過各種渠道嘗試解決，并積極搜集相關(guān)素材和資料為課堂中的翻轉(zhuǎn)做好充分準(zhǔn)備。

2.2 課堂中的翻轉(zhuǎn)模式

在課堂中進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，常常需要教師做好全局把控，在教學(xué)引導(dǎo)的過程中能拋出有針對性和啟發(fā)性的教學(xué)問題，并組織好學(xué)生進(jìn)行分組討論。每個討論小組最好由5～8 名同學(xué)組成，不必設(shè)小組長。教師在此過程中旁聽，在評估了學(xué)生課前學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)水平之后，做好進(jìn)一步的教學(xué)引導(dǎo)，觀察學(xué)生遇到的困難，然后有針對性的幫助學(xué)生。整個討論過程中盡量讓學(xué)生自主進(jìn)行，強調(diào)學(xué)生的獨立思考，根據(jù)個人理解形成自己的觀點，最好能自己提出問題，并記錄下來，這樣能很好地內(nèi)化所學(xué)知識。

當(dāng)所有學(xué)生以小組的形式展開教學(xué)討論時，我們的課堂就真正由學(xué)生主導(dǎo)。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生自由闡述觀點，學(xué)生之間的觀點可以相互碰撞和啟發(fā)，同時小組成員之間的交流也可以培養(yǎng)團隊的合作精神。在討論過程中，教師要掌握各小組探究的動態(tài)，及時總結(jié)每個小組討論后的結(jié)論和共同的困惑，與同學(xué)們進(jìn)行充分的對話后，尋根溯源，化解難點，也可以給出適當(dāng)?shù)奶崾咀尭餍〗M之間繼續(xù)進(jìn)行探討，再次內(nèi)化學(xué)習(xí)。

同時借助這種探討的模式，可以解決線性代數(shù)中某些教學(xué)內(nèi)容從抽象到具體或者從具體到抽象的矛盾。對于一些比較抽象的概念性知識點，學(xué)生難以直接理解。這時需要教師善于在生活中找到這樣的數(shù)學(xué)模型，從學(xué)生熟悉的實際問題為切入點，提出問題，甚至也可以使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題并嘗試自己探索解決問題，教師引導(dǎo)學(xué)生將問題與理論和概念相結(jié)合，并使其拋去實際背景而抽象出精準(zhǔn)的理解數(shù)學(xué)概念，學(xué)生就能很好理解了。也可以鼓勵學(xué)生把自己對數(shù)學(xué)概念的理解表達(dá)出來，在表達(dá)過程中可加深對數(shù)學(xué)概念的理解和對數(shù)學(xué)語言的精確使用，進(jìn)一步內(nèi)化學(xué)習(xí)。

比如向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)，這兩個概念很抽象，學(xué)生初學(xué)時很難理解，教師可以利用學(xué)生熟知的解析幾何中平面上的兩個向量的位置關(guān)系引入，通過討論找到兩向量共線的充要條件，發(fā)現(xiàn)線性相關(guān)的本質(zhì)，然后在此基礎(chǔ)上去推廣出n 維向量組線性相關(guān)的概念，從而準(zhǔn)確地掌握這個抽象的概念。又比如線性相關(guān)性這一節(jié)中有很多理論比較難理解和記憶，我們也可以借助生活中的具體例子來幫助學(xué)生理解。對于“低維無關(guān)則高維無關(guān)，高維相關(guān)則低維相關(guān)”，我們可以這樣來具化：若一群人中沒有人互相認(rèn)識（即線性無關(guān)），則每個人都踩上高蹺之后還是沒有人互相認(rèn)識；若踩上高蹺的一群人中有人互相認(rèn)識（即線性相關(guān)），則卸下高蹺后還是有人互相認(rèn)識。在學(xué)生理解之后也可以鼓勵學(xué)生自己從其他角度來闡述。

因此在翻轉(zhuǎn)課堂模式下，教師不再是唯一主角，教師與學(xué)生之間有了更多的交流和對話，學(xué)生對教學(xué)活動有了更多的掌控，學(xué)習(xí)的熱情將被極大的激發(fā)，學(xué)習(xí)效率更高。

3 課后的翻轉(zhuǎn)模式

在每一節(jié)課的最后，教師要抽出幾分鐘時間來對整個教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行強化和鞏固，這就需要教師能對教學(xué)成果做出合理的評估。教師可以根據(jù)學(xué)生知識掌握的反饋情況來對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行歸納總結(jié)。如果學(xué)生對翻轉(zhuǎn)課堂的反饋很好，總結(jié)也可以由學(xué)生課后去完成，比如線性相關(guān)性這一塊內(nèi)容，如果學(xué)生在課堂上的翻轉(zhuǎn)情況較好，教師可以提出問題：判斷向量組的相性相關(guān)性可以從哪幾個方面入手？ 那么課后學(xué)生通過解決這個問題可以把向量的線性相關(guān)性理論、 方程組解的理論以及矩陣秩的理論都結(jié)合起來，這樣對前后知識點的聯(lián)系將有更深刻的認(rèn)識。如果教師需要當(dāng)時做出總結(jié)，教師就可以在總結(jié)之后，根據(jù)下堂課的教學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行教學(xué)任務(wù)的設(shè)計，引出新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。例如，一個線性相關(guān)的向量組，總可以找到一個部分向量組線性無關(guān)，那么這個部分的線性無關(guān)的向量組是否唯一，它所包含的線性無關(guān)的向量個數(shù)是否存在最多的情況？ 從而引出下節(jié)課的內(nèi)容——極大無關(guān)向量組。

在課后，學(xué)生也可以根據(jù)自己掌握的情況，自行查缺補漏，自主規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)節(jié)奏，為下一次翻轉(zhuǎn)課堂做準(zhǔn)備。

4 翻轉(zhuǎn)課堂模式引入線性代數(shù)教學(xué)中要注意的幾個問題

4.1 翻轉(zhuǎn)課堂如何與傳統(tǒng)課堂有機結(jié)合

在翻轉(zhuǎn)課堂的模式下，我們的線性代數(shù)課堂上也采用了全新的教學(xué)模式改革，全面地提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究創(chuàng)新能力。但是我們也不能完全摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)模式，要根據(jù)知識內(nèi)容的特點來采取適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，對于簡單的知識點，可以完全采用翻轉(zhuǎn)課堂，而對于學(xué)生難以自行掌握的內(nèi)容，則需要翻轉(zhuǎn)課堂和傳統(tǒng)課堂按一定比例結(jié)合，例如可以考慮對分模式，一半傳統(tǒng)講授一半探究討論，只有這樣才能事半功倍地提高教學(xué)質(zhì)量。

4.2 翻轉(zhuǎn)課堂切忌形式化，如何落到實處

我們在應(yīng)用翻轉(zhuǎn)課堂模式時，絕不可以僅僅是為了翻轉(zhuǎn)的形式而翻轉(zhuǎn)，否則我們談翻轉(zhuǎn)課堂就是一個噱頭，沒有任何實際意義。數(shù)學(xué)是有著具體的研究對象的一門學(xué)科，因此我們翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用也必須是以具體教學(xué)內(nèi)容為載體的，教學(xué)內(nèi)容最好能細(xì)化成若干知識點。特別是線性代數(shù)中的概念和知識點較多，因此我們在一次翻轉(zhuǎn)課堂中，切忌不可貪多，要突出重點，絕不要在一次討論中加入過多知識點，最好每一次討論具體針對一個問題來展開。并且翻轉(zhuǎn)課堂的引入是一個循序漸進(jìn)的過程，無論是對于教師還是學(xué)生而言，它都是一個需要慢慢積累和不斷摸索的過程，所以我們需要在教學(xué)中適時調(diào)整。

4.3 翻轉(zhuǎn)課堂模式下的評價機制如何積極創(chuàng)新？

翻轉(zhuǎn)課堂模式下，評估是一個很重要的環(huán)節(jié)，我們要強調(diào)過程性的評估，提高學(xué)生參與翻轉(zhuǎn)課堂的積極性，只有學(xué)生自覺自愿地加入翻轉(zhuǎn)課堂，我們才能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。因此對于學(xué)生的作業(yè)（比如常規(guī)性的作業(yè)、反思性的作業(yè)、讀書筆記等），教師批改的態(tài)度應(yīng)是以鼓勵為主，不過多強調(diào)對錯，多強調(diào)獨立性的思考，鼓勵創(chuàng)新，這其實是給學(xué)生一個重要的導(dǎo)向——鼓勵真實、尊重接納。這樣我們的翻轉(zhuǎn)課堂才能取得真實有效的效果。

5 結(jié)語

翻轉(zhuǎn)課堂的出現(xiàn)，使得我們的傳統(tǒng)課堂模式受到了巨大的沖擊，從教師的教學(xué)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、課程的管理模式、 教學(xué)的評價體系等等都發(fā)生了一系列的巨大變革。實踐表明，在線性代數(shù)的教學(xué)中引入翻轉(zhuǎn)課堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的積極主動性都大大提高，對師生雙方都是一個良性的促動。線性代數(shù)變得不再那么枯燥，課堂氛圍變得更加活躍了，學(xué)生們也真正理解了數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)去分析問題和解決問題的能力也有了進(jìn)一步的提高。

當(dāng)然，翻轉(zhuǎn)課堂的模式不是一成不變的，對于不同的課程、 不同專業(yè)的學(xué)生，我們都需要做出相應(yīng)的調(diào)整，并且在具體的教學(xué)實踐中我們將會面臨許多無法預(yù)料的問題和困難，這都需要我們在教學(xué)過程中進(jìn)行不斷的探究和進(jìn)一步的完善。