加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)與學(xué)法指導(dǎo)的思考

江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 錢 烽

準(zhǔn)確且清晰的概念是個(gè)體在問(wèn)題思考中進(jìn)行正確判斷與推理的基礎(chǔ).注重方法并促使學(xué)生具備舉一反三的能力，使其學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重概念教學(xué)，注重學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，從而促使學(xué)生進(jìn)入高效學(xué)習(xí)的狀態(tài).

一、加強(qiáng)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念揭示其本質(zhì)特征時(shí)往往借助定義的形式，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與運(yùn)算技能、提升邏輯論證與幾何想象能力都必須建立在正確且靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上才能得以實(shí)現(xiàn).因此，設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)并進(jìn)行有效培養(yǎng)、開(kāi)發(fā)學(xué)生思維品質(zhì)值得廣大數(shù)學(xué)教師審慎與思考，并落實(shí)到實(shí)際教學(xué)中去.厘清概念的內(nèi)涵、幫助學(xué)生掌握概念，并使其了解概念教學(xué)背后的規(guī)律性，對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)是重要的教學(xué)目標(biāo)之一.教師應(yīng)注重定義、定理、法則的教學(xué)并進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)以促進(jìn)學(xué)生的深刻理解，使學(xué)生能夠在搞清概念來(lái)龍去脈、領(lǐng)悟概念實(shí)質(zhì)的過(guò)程中培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.一般來(lái)說(shuō)，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行.

1.注重概念的形成過(guò)程

教師首先應(yīng)該認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念是有根可溯的，并幫助學(xué)生建立起正確的認(rèn)知.有的數(shù)學(xué)概念是在現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式上進(jìn)行合理的抽象而獲得的，有的數(shù)學(xué)概念則是以基本的知識(shí)聯(lián)系為依據(jù)而形成的，因此，將概念的形成過(guò)程概括為簡(jiǎn)單的“規(guī)定”這一教學(xué)行為顯然是不科學(xué)的，不僅如此，教師在概念形成的教學(xué)過(guò)程中不應(yīng)該進(jìn)行包辦代替，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更多的思考并引領(lǐng)他們進(jìn)行概念形成的探索，使其在“親眼目睹”概念誕生的過(guò)程中，獲得對(duì)概念的透徹理解與熟練掌握和運(yùn)用.

筆者對(duì)于那些從實(shí)例引進(jìn)的概念，在教學(xué)上一般都會(huì)盡力為學(xué)生創(chuàng)造建立直觀、抽象感知的空間并使其在親身參與中獲得概念的本質(zhì)屬性和結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程.比如，直觀教具與動(dòng)畫展示就可以在“橢圓的定義”的教學(xué)中得到很好的利用，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在觀察直觀教具與動(dòng)畫演示之后，再對(duì)橢圓這一定義的本質(zhì)進(jìn)行觀察和思考：哪些是動(dòng)的？哪些是固定的？哪些量是變化的？哪些量又是不變的？繼而引導(dǎo)學(xué)生歸納得出：（1）F1、F2為定點(diǎn)；（2）｜PF1｜+｜PF2｜=定長(zhǎng)；（3）P 為到F1、F2的距離之和等于定長(zhǎng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).然后引導(dǎo)學(xué)生概括和描述橢圓的定義，使學(xué)生在親身參與的觀察和思考中進(jìn)行坐標(biāo)系的建立，并推導(dǎo)得出橢圓的方程（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），“令a2-c2=b2”是唯一一處需要教師進(jìn)行點(diǎn)撥的地方.

以更基本的知識(shí)聯(lián)系為依據(jù)而形成的概念教學(xué)，則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生親身參與以舊引新、下定義的過(guò)程.比如，教師在“余弦函數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)中就可以憑借正弦函數(shù)的定義與性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，適當(dāng)點(diǎn)撥類比正弦函數(shù)即可獲得余弦函數(shù)的性質(zhì).

學(xué)生探索知識(shí)的發(fā)生過(guò)程或許會(huì)花費(fèi)很多的時(shí)間，但學(xué)生卻會(huì)因?yàn)樽约旱挠H身經(jīng)歷而收獲更多，學(xué)生掌握、理解概念本質(zhì)是其收獲之一，更為重要的是學(xué)生獲得思維能力的提升及知識(shí)獲取的快樂(lè).

2.注重概念的靈活運(yùn)用

過(guò)難、過(guò)大的題型在概念教學(xué)的初期應(yīng)用中是不合時(shí)宜的，教師應(yīng)著眼于構(gòu)思靈活、內(nèi)容新穎、形式多樣的小題型并提供給學(xué)生練習(xí)，使學(xué)生能夠在靈活運(yùn)用概念的過(guò)程中掌握知識(shí)的本質(zhì)特征并獲得應(yīng)變能力的培養(yǎng).

（1）在關(guān)鍵詞句上深挖概念內(nèi)涵.鞏固性的概念練習(xí)能幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解.比如，筆者在“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)之后選編了以下一題：請(qǐng)判斷以下函數(shù)的奇偶性并說(shuō)出其理由：①y=（x+1）2；②y=x2+1；③y=x2，x∈［-2，4］；④y=2x，x∈（-1，1］；⑤y=x2+x.

（2）克服似是而非的錯(cuò)覺(jué).學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念之后，往往會(huì)因?yàn)樾屡f知識(shí)的交叉而容易混淆，教師應(yīng)精選練習(xí)并幫助學(xué)生劃清新舊知識(shí)之間的“界線”.比如，在橢圓與雙曲線的定義學(xué)習(xí)之后，可以設(shè)計(jì)以下一題：已知A（-3，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，試求分別滿足以下條件的動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡：①｜PA｜+｜PB｜=6；②｜PA｜+｜PB｜=10；③｜PA｜+｜PB｜=4；④｜PA｜-｜PB｜=2；⑤｜PA｜-｜PB｜=-2；⑥｜PA｜-｜PB｜=±2.

（3）消除符號(hào)的神秘感.學(xué)生不理解數(shù)學(xué)符號(hào)，往往會(huì)令其無(wú)法弄清概念的內(nèi)涵，教師應(yīng)精心選編習(xí)題以幫助學(xué)生揭開(kāi)符號(hào)的神秘“面紗”.比如，y=f（x）這一函數(shù)符號(hào)，教師應(yīng)在必要的比喻與說(shuō)明之外設(shè)計(jì)以下題組：①已知f（x）=2x+1，求f（f（x））；②已知f（x）=2x，g（x）=x2，求f（g（x））、g（f（x））；③已知f（x）=π，求f（-π），f（π2）；④已知f（x）=ax，求證f（x+y）=f（x）f（y）.

（4）克服思維定勢(shì).思維定勢(shì)的負(fù)面影響會(huì)使學(xué)生對(duì)新的思維方式產(chǎn)生一定的排外心理，教師應(yīng)有針對(duì)性地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練以幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)并使其思維水平產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.比如，教師在角的概念推廣后，應(yīng)選編以下類似的習(xí)題幫助學(xué)生獲得思維的發(fā)展：如圖1，OA、CP 為角的始邊，OB、PD 為角的終邊，則∠AOB 與∠CPD 之間，哪個(gè)較大？為什么？

圖1

二、幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法

幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)”是教師的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生“會(huì)學(xué)”卻更顯重要.教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法并使學(xué)生在“學(xué)法”、“仿學(xué)”、“創(chuàng)法”中獲得學(xué)法的遷移，使學(xué)生在從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從課中到課外的學(xué)習(xí)中形成一套科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.學(xué)生一旦掌握科學(xué)、先進(jìn)的學(xué)習(xí)方法，便會(huì)在知識(shí)的獲取過(guò)程中變得主動(dòng)并因此形成自學(xué)能力.傳統(tǒng)教學(xué)下的學(xué)生往往特別注重上課聽(tīng)講和下課模仿，這在新課標(biāo)理念下的當(dāng)代教學(xué)中顯然是落后的，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)法并對(duì)其進(jìn)行反復(fù)的督促.

1.課前預(yù)習(xí)

很多學(xué)生在剛剛開(kāi)始預(yù)習(xí)的時(shí)候往往會(huì)感覺(jué)能夠讀懂教材，但在閱讀中又不能深入，提出疑惑更是難上加難.教師在指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義中的字、詞、句進(jìn)行反復(fù)的推敲，引導(dǎo)學(xué)生在理解意思的基礎(chǔ)上搞清定理、公式、例題的條件和結(jié)論，動(dòng)手嘗試推導(dǎo)并與課本進(jìn)行對(duì)照和分析，不管推導(dǎo)的過(guò)程正確與否，這一對(duì)照和分析往往會(huì)使一些問(wèn)題產(chǎn)生.在推導(dǎo)方法與課本一致時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推導(dǎo)方法是否一致、可有新的方法等進(jìn)行思考.比如“點(diǎn)到直線的距離公式”這一內(nèi)容的預(yù)習(xí)，學(xué)生在有意義的預(yù)習(xí)與推導(dǎo)之后，往往會(huì)獲得多種不同的證明方法，與課本進(jìn)行對(duì)照與分析之后，很多學(xué)生也會(huì)因此獲得更多的領(lǐng)悟、思考并產(chǎn)生一定的疑惑.

2.同步思考或超前思考

教學(xué)中，面對(duì)學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生，教師應(yīng)該要求其同步思考并緊隨教師的思路，使學(xué)生能夠邊聽(tīng)邊思考教師如此分析的理由；面對(duì)學(xué)習(xí)能力較好的學(xué)生，教師則應(yīng)該要求學(xué)生進(jìn)行超前思考，要求學(xué)生在弄清已給條件后而結(jié)果未出之前，就能先洞悉教師的解題方法和思路，使學(xué)生能夠在超前思考中盡量提出疑惑.比如，有不少學(xué)生在三角函數(shù)線的學(xué)習(xí)中往往會(huì)提出以下問(wèn)題：正切線作于單位圓和x 軸負(fù)向的交點(diǎn)之處的理由是什么呢？新的求知欲往往因此得到激發(fā).

3.整理歸納與提問(wèn)

很多學(xué)生在復(fù)習(xí)階段已經(jīng)能夠弄清概念的來(lái)龍去脈，對(duì)所學(xué)內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)也已經(jīng)建立了初步的了解，這一階段的學(xué)生往往更加容易提出問(wèn)題，且問(wèn)題質(zhì)量相對(duì)較高.教師在知識(shí)單元的教學(xué)結(jié)束之后，應(yīng)及時(shí)要求學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的整理和歸納并鼓勵(lì)其在此時(shí)進(jìn)行提問(wèn).

4.解題之后的回顧

此題的解法我是如何獲得的呢？解題的關(guān)鍵在哪里？易錯(cuò)之處在哪里？可以防止錯(cuò)誤嗎？新的解法是否存在？命題拓展上是否可進(jìn)行思考？諸如此類的問(wèn)題思考都是解題后的反思與回顧.比如，已知x+y=1，求證筆者在此題的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了解題回顧，學(xué)生最終尋得了八種證明方法并進(jìn)行了命題的推廣.

5.探求錯(cuò)因

對(duì)于需要重復(fù)輔導(dǎo)才能糾錯(cuò)的學(xué)生，教師應(yīng)教會(huì)他們建立“病歷卡”并引導(dǎo)其對(duì)錯(cuò)誤原因進(jìn)行深入的探尋和分析.F