“數形結合”巧定二次函數表達式

孫德萍

蘇科版《數學》教材九年級下冊第21、22頁有三個例題：

已知二次函數y=ax2的圖像經過點（-2，8），求a的值。

已知二次函數y=ax2+c的圖像經過點（-2，8）和（-1，5），求a、c的值。

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點（-3，6）、（-2，-1）和（0，-3），求這個二次函數的表達式。

【解析】上面三題把函數與方程相結合，通過把點的坐標代入表達式，建立方程或方程組，從而求出二次函數的表達式。這三個例題的解法類似，在課本中都有，這里就不再列解。表達式是函數的根本所在，所以很多函數問題都是從求表達式開始的。那么如何快速準確地求出二次函數的表達式呢？下面通過這樣幾類情況進行簡述。

一、觀察題目特征，巧設函數表達式

例1 已知一個二次函數的圖像經過點（-3，0）、（1，0）和（0，-3），求這個二次函數的表達式。

【解析】解法一：可設二次函數表達式為y=ax2+bx+c，由圖像經過點（-3，0）、（1，0）和（0，-3）列方程組求解。顯然此方法較復雜，計算繁瑣。解法二：根據圖像經過點（-3，0）、（1，0）可以看出二次函數的對稱軸是直線x=-1，所以可設二次函數表達式為y=a（x+1）2+k，再把點（1，0）和（0，-3）代入計算。解法三：根據圖像經過點（-3，0）、（1，0）不難看出，這兩個點是二次函數的圖像與x軸的交點，所以可設表達式為y=a（x+3）（x-1），再把點（0，-3）代入可得a=1，所以這個二次函數的表達式為y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3。

【總結】二次函數的表達式通常有一般式、頂點式和交點式三種。已知圖像上三個點的坐標或三組對應值時，通常選擇一般式;已知圖像的頂點坐標或對稱軸和最值時，通常選擇頂點式;已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，通常選擇交點式。三種表達式并沒有哪個特別重要，但是在不同的條件下，如果能合理選擇，便可使問題的解決變得更為方便。

二、利用幾何變換，巧定函數表達式

例2 （2019·徐州）已知二次函數的圖像經過點P（2，2），頂點為O（0，0），將該圖像向右平移，當它再次經過點P時，所得拋物線的函數表達式為 。

【解析】本題考查了二次函數圖像的平移。由圖像的頂點為O（0，0），可設表達式為y=ax2，把點（2，2）代入，得2=4a，所以a=[12]，得原二次函數的表達式為y=[12x2]。設將該圖像向右平移m個單位，則表達式為y=[12]（x-m）2，代入（2，2），解得m1=0（舍去），m2=4，所以所得拋物線的函數表達式為y=[12]（x-4）2=[12]x2-4x+8。

例3 已知二次函數的圖像在x軸上截得的線段AB長為4，函數圖像的頂點坐標為P（3，-2）。

（1）求這個二次函數的表達式;

（2）一個新的二次函數的圖像與（1）中拋物線關于y軸對稱，求新的二次函數表達式;

（3）二次函數y=ax2+bx+c的圖像與（1）中拋物線關于原點對稱，求a，b，c的值。

【解析】（1）由拋物線的頂點坐標可得拋物線的對稱軸為直線x=3，利用拋物線的對稱性可得A點和B點坐標分別為（1，0），（5，0），則可設交點式y=a（x-1）（x-5），然后把P點坐標代入求出a=[12]，從而得到拋物線解析式為y=[12]（x-1）（x-5）=[12]x2-3x+[52]。

（2）圖像關于y軸對稱，也就是圖像上的點關于y軸對稱，并且開口方向和大小都一樣，所以a相同，利用關于y軸對稱的點的坐標特征，求出點P（3，-2）關于y軸對稱的點的坐標為（-3，-2），利用頂點式確定新的二次函數表達式為y=[12]（x+3）2-2=[12]x2+3x+[52]。

（3）利用關于原點對稱的坐標特征，求出點P（3，-2）關于原點對稱的點的坐標為（-3，2），然后利用頂點式寫出新拋物線解析式為y=[-12]（x+3）2+2，再化為一般式y=[-12]x2-3x-[52]，則可得到a=[-12]，b=-3，c=[-52]。

三、給定關系式，再求函數表達式

例4 （2019·安徽）一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為（1，2），另一個交點是該二次函數圖像的頂點。

（1）求k，a，c的值;

（2）過點A（0，m）（0

【解析】（1）由交點為（1，2），代入y=kx+4，可求得k，由y=ax2+c可知，二次函數的頂點在y軸上，即x=0，則可求得頂點的坐標，從而可求c值，最后可求a的值。

（2）由（1）得二次函數解析式為y=-2x2+4，由直線BC經過點A（0，m）且垂直于y軸，所以B、C兩點的縱坐標均為m，令y=m，得2x2+m-4=0，可求x的值，即可得BC的長，從而列出W關于m的關系式，進而利用二次函數的性質求出W的最小值。

解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，

又∵二次函數y=ax2+c的頂點坐標為（0，c），

∴當x=0時，y=4，

∴二次函數頂點坐標為（0，4），

∴c=4，把（1，2）代入二次函數表達式得a+c=2，解得a=-2。

（2）由（1）得二次函數解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，解得x=[±4-m2]，∴BC=[24-m2]。

∴W=OA2+BC2=m2+4×[4-m2]=m2-2m+8=（m-1）2+7。

∴當m=1時，W取得最小值7。

我們如果要確定二次函數的表達式，應先根據題目所給條件，靈活選用二次函數表達式的不同形式，再抓住表達式與圖像之間的內在聯系，數形結合，最終運用二次函數的性質解決問題。

（作者單位：江蘇省南京市六合區勵志學校）