表格中的二次函數

夏乾冬

我們知道，函數有三種表示形式：表達式、表格、圖像。很多同學在解決相關給出表格類的二次函數問題時，往往會轉化成求函數表達式，或者畫出圖像求解，反而忽視了表格的優越性。下面我們舉例如何利用表格的特點解決“表格中的二次函數”問題。

一、表格中的自變量間距相同

表格中自變量間距相同，保證了連續點的對稱性。可以根據表格中y的相同一組或多組值，找出頂點坐標，再根據對稱性，找到其他關于對稱軸對稱的點的坐標。

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

[x … -1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … ]

則當x=5時，y的值為。

【分析】根據表格的對稱性得出函數的對稱軸是直線x=2，找出函數圖像上的點（5，y）和點（-1，10）關于直線x=2對稱，即可得出答案。

【解答】根據表格得出函數的對稱軸是直線x=2，所以函數圖像上的點（5，y）和點（-1，10）關于直線x=2對稱，即當x=5時，y=10，也可以根據表格的對稱性補全表格：

[x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 5 2 1 2 5 10 … ]

故答案為：10。

例2 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

[x … -4 -3 -2 -1 0 … y … 3 -2 -5 -6 -5 … ]

則方程ax2+bx+c=0（a≠0）的正數解x1的取值范圍是（）。

A.0

C.2

【分析】求方程ax2+bx+c=0的解，也就是當y=0時x的值，在表格中很容易看出y=0介于3與-2之間，那么對應的x的值在-4與-3之間，也就是負數解的范圍。根據表格中數據的對稱性，可以找出頂點坐標為（-1，-6），從而找出正數解的范圍。

【解答】根據表格的對稱性補全表格：

[x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … 3 -2 -5 -6 -5 -2 3 … ]

在表格中很容易看出y=0介于-2與3之間，那么對應的x的正的值在1與2之間，也就是正數解的范圍是1

【點評】此題還可以利用一般式或頂點式先求出二次函數的解析式：y=x2+2x-5，然后解方程：x2+2x-5=0，求出方程的解：x1=[6]-1，x2=[-6]-1，然后判斷出[6]-1在1與2之間，從而得到答案B。對比兩種解法，我們可以看出利用表格特點解題的簡便與快捷。

二、表格中的自變量間距不同

表格中自變量間距不同，破壞了連續點的對稱性，我們可以通過補充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同，利用表格的對稱關系，最大限度完善x和y的對應值。

例3 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的部分對應值如下表：

[x … -3 -2 0 1 3 5 … y … 7 0 -8 -9 -5 7 … ]

則當y≤0時，x的取值范圍是。

【分析】本題中可以發現自變量間距不同，可以補充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同。

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 7 0 -8 -9 -5 7 … ]

然后再根據表格的對稱性補全表格，從而得到答案。

【解答】補全表格如下：

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 … ]

從而得到：當y≤0時，x的取值范圍是-2≤x≤4。

例4 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對應值如下表：

[x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … ]

則下列判斷中正確的是（）。

A.拋物線開口向上

B.拋物線與y軸交于負半軸

C.當x=-1時，y>0

D.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負根在0與-1之間

【分析】自變量間距不同，補充遺漏的自變量的值，補全表格，然后根據表格中數據以及數據的變化趨勢解決問題。

【解答】補全表格如下：

[x … -1 0 1 2 3 4 … y … -2 2 4 4 2 -2 … ]

從表中可以看出：當自變量x的值增大時，y的值先變大后變小，可以發現拋物線開口向下，A選項錯誤;當x=0時，y=2，得到拋物線與y軸的交點為（0，2），在y軸正半軸，B選項錯誤;當x=-1時，y=-2<0，C選項錯誤;y=0時介于-2與2之間，那么對應的x的負值在-1與0之間，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負根在-1與0之間，D選項正確。故選：D。

【點評】本題可以通過求函數關系式來解決，但過程涉及多個運算（代入求值、解方程組、解一元二次方程等），也可以通過畫圖像來解決，但由于點較少，很難準確畫出，給準確結論的得出帶來一些不確定因素，導致解題的效率和準確率大大降低。

（作者單位：江蘇省南京江寧開發區學校）