統(tǒng)計(jì)解題中的誤區(qū)與警示

■王 飛 劉大鳴(特級教師)

本文針對統(tǒng)計(jì)解題中常見的易錯(cuò)、易混、易忘的典型問題進(jìn)行錯(cuò)解剖析,幫助同學(xué)們識破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

誤區(qū)1：對系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)理解不準(zhǔn)確

例1中央電視臺動(dòng)畫城節(jié)目為了對本周的熱心觀眾給予獎(jiǎng)勵(lì),要從2014名小觀眾中抽取50名幸運(yùn)小觀眾。先用簡單隨機(jī)抽樣從2014人中剔除14人,剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人,則在2014人中,每個(gè)人被抽取的可能性( )。

A.均不相等

B.不全相等

錯(cuò)解：應(yīng)選A或D。

剖析：對個(gè)體入樣的可能性與抽樣間隔理解不透,導(dǎo)致錯(cuò)選。對于A,認(rèn)為剔除14人,被抽取的機(jī)會就不相等了。對于D,認(rèn)為被抽取的機(jī)會相等,計(jì)算時(shí)利用了剔除后的數(shù)據(jù)。

正解：在系統(tǒng)抽樣中,若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除,則應(yīng)先剔除幾個(gè)個(gè)體。本題先剔除14人,然后再分組,在剔除過程中,每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會相等,所以每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等,均為應(yīng)選C。

警示：當(dāng)總體容量較大,總體可以分為均勻的幾個(gè)部分時(shí),用系統(tǒng)抽樣較為合理;當(dāng)總體容量除以樣本容量不是整數(shù)時(shí),要先在總體中剔除部分個(gè)體,總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會是均等的,也就是說每個(gè)個(gè)體不被剔除的機(jī)會也是均等的。由此可知在整個(gè)抽樣過程中,每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會仍然相等。設(shè)在第一段內(nèi)用簡單隨機(jī)抽樣方法確定的個(gè)體編號為a1,按系統(tǒng)抽樣法,則抽取樣本an滿足

誤區(qū)2：忽視分層抽樣的特征

例2某單位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體情況,需從中抽取一個(gè)容量為36的樣本,則適合的抽樣方法是( )。

A.簡單隨機(jī)抽樣

B.系統(tǒng)抽樣

C.直接運(yùn)用分層抽樣

D.先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣

錯(cuò)解：因?yàn)榭傮w由差異明顯的三部分組成,所以考慮用分層抽樣。總?cè)藬?shù)為28+54+81=163,樣本容量為36,抽樣比為這時(shí)無法得到整數(shù)解,因此考慮先剔除1人,則抽樣比變?yōu)槿魪睦夏耆酥须S機(jī)地剔除1人,則老年人應(yīng)抽取27×6(人),中年人應(yīng)抽取54×12(人),青年人應(yīng)抽取81×=18(人),即組成容量為36的樣本。應(yīng)選D。

剖析：若用簡單隨機(jī)抽樣先從老年人中剔除1人,則老年人被抽到的概率顯然比其他人群小了,這不符合隨機(jī)抽樣的特征,即每個(gè)個(gè)體入樣的概率相等。注意“先從老年人中剔除1人”與“從總體中隨機(jī)剔除1人”是不一樣的。

正解：直接運(yùn)用分層抽樣法。老年人,中年人和青年人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為

警示：當(dāng)總體可以分層,層與層之間有明顯差異時(shí),選用分層抽樣,確定抽樣比k是分層抽樣的關(guān)鍵。一般地,先確定抽樣比k=為總體容量,n為樣本容量),再按抽樣比k在各層中抽取個(gè)體,就能確保抽樣的公平性。在每層抽樣時(shí),應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法。

誤區(qū)3：利用頻率分布直方圖求頻率時(shí)忽視組距

例3有一容量為500的樣本,把數(shù)據(jù)分成7組,它的頻率分布直方圖如圖1所示。

圖1

根據(jù)頻率分布直方圖,請你估計(jì)數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的樣本數(shù)量。

錯(cuò)解：由頻率分布直方圖可知,數(shù)據(jù)落在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.054,數(shù)據(jù)落在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.06,數(shù)據(jù)落在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.075。所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的樣本數(shù)量為500×(0.054+0.06+0.075)=94.5。所以估計(jì)數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的樣本數(shù)量大約為95。

剖析：沒有看懂縱坐標(biāo)所表示的意義,錯(cuò)把縱坐標(biāo)表示的數(shù)據(jù)作為頻率了,其實(shí)縱坐標(biāo)表示的是若要計(jì)算頻率,則要找出組距,從橫坐標(biāo)中明顯看出組距為3。

正解：由頻率分布直方圖可知,數(shù)據(jù)分成7組,其組距為3,所以數(shù)據(jù)落在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.054×3,數(shù)據(jù)落在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.06×3,數(shù)據(jù)落在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.075×3。所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的樣本數(shù)量為500×(0.054×3+0.06×3+0.075×3)=283.5。

所以估計(jì)數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的樣本數(shù)量大約為284。

警示：正確地認(rèn)識頻率分布直方圖：縱坐標(biāo)表示的是而非頻率;頻率=;小矩形的面積=頻率。利用頻率分布直方圖可求眾數(shù),中位數(shù)和平均數(shù)：最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積之和是相等的;平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。

誤區(qū)4：對莖葉圖的畫法規(guī)則及特征認(rèn)識不到位

例4某市對上下班情況作了抽樣調(diào)查,上下班時(shí)間各抽測了12輛機(jī)動(dòng)車的車速如下(單位：km/h)：

上班時(shí)間：30,33,18,27,32,40,26,28,21,28,35,20;

下班時(shí)間：27,19,32,29,36,29,30,22,25,16,17,30。

用莖葉圖表示以上數(shù)據(jù)。

錯(cuò)解：機(jī)動(dòng)車行駛速度的莖葉圖如圖2所示。

圖2

剖析：對莖葉圖畫法規(guī)則和特征理解不到位,莖葉圖中重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄。上述解法漏掉了3個(gè)重復(fù)的數(shù)據(jù)。

正解：畫莖葉圖時(shí),需要將每個(gè)數(shù)據(jù)分為“莖”和“葉”兩部分,表示“莖”的數(shù)字按照大小順序由上到下排列,表示“葉”的數(shù)字,重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄。

畫出莖葉圖,如圖3所示。

圖3

警示：用莖葉圖分析數(shù)據(jù)直觀、清晰,所有信息都可以從莖葉圖中得到。莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少,較為集中且位數(shù)不多時(shí)比較適用。由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù),所以可用來分析樣本數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征,如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等。

誤區(qū)5：忽視方差的統(tǒng)計(jì)意義

例5甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如表1所示(單位：t/km2)。

表1

若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植,請給出你的建議。

錯(cuò)解：由表1中的數(shù)據(jù)可得=10,則甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,所以可以引進(jìn)兩種冬小麥的任意一種。

剖析：上述解法只對兩種冬小麥的平均產(chǎn)量進(jìn)行了比較,而忽視了對冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的討論。

正解：由表1中的數(shù)據(jù)可得(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244。由于甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,且s2甲＜s2乙,所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥,應(yīng)推薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植。

警示：平均數(shù)反映的是樣本個(gè)體的平均水平,方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本的波動(dòng)、離散程度。對于形如“誰發(fā)揮更好、誰更穩(wěn)定、誰更優(yōu)秀”之類的題目,除了比較數(shù)據(jù)的平均數(shù),還應(yīng)比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差的大小,以作出更為公正合理的判斷。

誤區(qū)6：運(yùn)用數(shù)字特征作評價(jià)時(shí)考慮不周

例6一次數(shù)學(xué)知識競賽中,兩組學(xué)生的成績?nèi)绫?所示。

表2

經(jīng)計(jì)算,已知兩個(gè)組的平均分都是80分,請根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識,進(jìn)一步判斷這次競賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀,并說明理由。

錯(cuò)解：由于乙組90分以上的人數(shù)為24,甲組90分以上的人數(shù)為20,所以乙組更優(yōu)秀。

剖析：對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí),應(yīng)從平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù),方差,極差等多個(gè)角度進(jìn)行分析和判斷。

正解：(1)甲組成績的眾數(shù)為90,乙組成績的眾數(shù)為70,從成績的眾數(shù)這一角度看,甲組成績好些。

因?yàn)閟2甲＜s2乙,所以甲組的成績比乙組的成績更穩(wěn)定。

(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80,其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人,乙組成績在80分以上(含80分)的有26人,從這一角度看,甲組的成績總體較好。

(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看,甲組成績大于或等于90分的有20人,乙組成績大于或等于90分的有24人,可知乙組成績在高分段的人數(shù)多,同時(shí),乙組滿分比甲組多6人,從這一角度看,乙組成績較好。

警示：正確解答此題,首先,要抓住問題的關(guān)鍵,全方位地進(jìn)行計(jì)算,不能僅從平均數(shù)與樣本方差的大小去判斷哪一組的優(yōu)劣,對于這樣的實(shí)際問題,要從實(shí)際的角度去分析,如本題中的“高分段人數(shù)”“滿分人數(shù)”等;其次,要在恰當(dāng)?shù)卦u估后,作出正確的結(jié)論。