不落俗套 實時創新
——算法創新題賞析

■陳 琳

高考中算法初步知識以考查算法思想為主線,與函數、數列、三角函數、統計等知識進行交匯考查,是高考命題的新“靚”點。這類問題要求同學們對新穎的信息、情景的設問,選擇有效的方法和手段收集信息,靈活地運用所學的數學知識、思想和方法,進行獨立思考、探索和研究,提出解決問題的思路,創造性地解決問題。算法創新題在高考試題中也并不少見。現解讀幾例,供大家學習與參考。

一、算法與統計的交匯

例1高三某班15名學生一次模擬考試成績用莖葉圖表示,如圖1所示。執行圖2所示的程序框圖,若輸入的ai(i=1,2,…,15)分別為這15名學生的考試成績,則輸出的結果為( )。

圖1

圖2

A.6 B.7

C.8 D.9

解：由程序框圖可知,其統計的是成績大于或等于110的人數。

由莖葉圖可知,成績大于或等于110的人數為9,因此輸出的結果為9。

應選D。

評析：解答算法與統計的交匯題,關鍵是正確理解與運用統計知識,同時要讀懂程序框圖的含義。

二、算法與概率的交匯

例2執行圖3所示的程序框圖,設輸出的數據構成的集合為A,從集合A中任取一個元素a,則函數y=xa,x∈[0,+∞)是增函數的概率為( )。

圖3

解：執行程序框圖可得,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4≤3不成立,這時退出循環。

故集合A中的元素為-1,0,3,8,15,共5個。若函數y=xa,x∈[0,+∞)為增函數,則a＞0,所以所求的概率為

應選C。

評析：解答算法與概率的交匯題,必須明確概率模型,借助于算法框圖,求出基本事件的總數和滿足條件的事件個數。

三、算法與數學文化的交匯

例3我國古代數學典籍《九章算術》“盈不足”中有一道問題：“今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸;瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日相逢。”現用程序框圖描述,如圖4所示,則輸出的結果n=( )。

圖4

A.4 B.5

C.6 D.7

解：執行程序框圖可得,a=0.7,S=0,n=1,S=1.7。

不滿足條件S≥9,執行循環體,n=2,a=1.4,S=3.4;

不滿足條件S≥9,執行循環體,n=3,a=2.1,S=5.1;

不滿足條件S≥9,執行循環體,n=4,a=2.8,S=6.8;

不滿足條件S≥9,執行循環體,n=5,a=3.5,S=8.5;

不滿足條件S≥9,執行循環體,n=6,a=4.2,S=10.2≥9成立,這時退出循環,輸出n的值為6。

應選C。

評析：本題以傳統數學文化為載體,考查算法的實際應用。解答本題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題,再模擬執行程序框圖,從而使問題得到解決。

四、算法與線性規劃的交匯

例4執行圖5所示的程序框圖,如果輸入的x,y∈R,那么輸出S的最大值為

圖5

解：由程序框圖可知,當條件x≥0,y≥0,x+y≤1不成立時,輸出S的值為1;當條件x≥0,y≥0,x+y≤1成立時,輸出S=2x+y。下面用線性規劃的方法求出此時S的最大值。不等式組表示的平面區域如圖6所示的陰影部分。

圖6

由圖6可知,當直線S=2x+y經過點M(1,0)時,S最大,其最大值為2×1+0=2,即輸出S的最大值為2。

評析：解答算法與線性規劃的交匯題時,讀懂程序框圖,明確交匯的知識點,將問題進行合理轉化是解題的關鍵。