由一道簡算題想到的

金志軍

[摘要]計算教學考驗著數學教師的基本功，也反映出數學教師的教育理念。讓學生掌握知識、應用知識很關鍵，但是單純為了學生能夠應用知識而進行計算教學會弄巧成拙。透過一道簡算題，發現為簡便而進行計算會復雜化，找到實用方法才是真的簡便，教師在計算教學中應尋找科學教法。

[關鍵詞]簡便計算;實用;簡便;科學

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號] 1007—9068（2019）32—0024—02

一位五年級學生在解答一道小數除法計算題“15÷2.5+15÷7.5”時，能輕而易舉地采用常規方法解答問題，即分別求出15÷2.5和15÷7.5的商，最后再將兩者加起來，但她對于題目中的要求“盡量使用簡便計算方法計算”感到困惑。明明可以直接解決問題，為什么還要用簡便算法呢？這位學生熟練掌握整數除以小數的除法計算法則，這是她首先就能想到的算法，而要繞彎子去想簡便算法，反而成為她的思想負擔，迫使她不得不放棄唾手可得的方法去絞盡腦汁想別的算法。那么，這道題的簡便算法是什么？該如何去思考？下面就讓我們站在小學生的角度來審視這個問題，并進行答疑解惑。

一、為簡便而進行的計算反而復雜化

能否簡便計算，首先要考慮是否能運用運算律。初步審題，發現上述計算題的兩個除法式子的被除數都是15，中間用加號連接，讓人想到利用分配律來解題，即15÷（2.5+7.5）=15÷10=1.5。當然這樣的結果是經不起推敲的，學生很快就會發現這樣解題的結果是錯誤的。也許，這就是命題者故布疑陣。對小學五年級學生來講，乘法分配律是簡便計算中的常用運算律，但是卻無法類推至“除法分配律”。這個“陷阱”會讓很多學生中招。

如果“除法分配律”行不通，不妨改弦易轍，轉換思路。對于五年級學生來說，解決問題當然要用現成的定理和公式，這樣，分數知識便成了首選，沿著這個思路，把有關除法式子轉化成分數形式，讓分子和分母同時擴大10倍，然后對分母進行通分，約分化簡之后即可求解。如15÷2.5+15÷7.5=15/2.5+15/7.5=15×10/2.5×10+15×10/7.5×10=150/25+150/75=6+2=8，即15÷2.5+15÷7.5=8。五年級學生早在一年前就學過分數的基本性質，這其實就是把陌生問題轉化成熟悉問題，用已掌握的知識巧妙解決問題，是學生能夠理解，也能夠接納的方法。但這樣處理簡化計算步驟了嗎？不難看出，這種方法反而略顯煩瑣了。

也有教師提出不同看法，鑒于小數0.5作為除數的特別之處，其實也可以另辟蹊徑，將2.5化成5×0.5，將7.5化成3×5×0.5，原題也就轉換為：15÷（5×0.5）+15÷（3×5×0.5）=15÷5÷0.5+15÷3÷5÷0.5=6+2=8。這種方法也能求出正確得數，但不適合推廣。原因有二：一是將2.5化成5×0.5和將7.5化成3×5×0.5的形式，對剛剛接觸整數除以小數的五年級學生而言，是很難想到的;二是這樣一來簡單的兩商之和的算式結構被破壞了，變得無比復雜。這種方法在除法之外增加乘法運算，還運用到了拓展公式a÷（b×c）=a÷b÷c。把算式形態復雜化，更容易使學生出錯，最終造成“滿盤皆輸”。

二、找到最實用的方法才是真簡便

如果非要按照上述方法解題，倒不如對算式進行分解，看起來思路更清晰。

方法一：15÷2.5+15÷7.5=3×5÷2.5+2×7.5÷7.5=3×（5÷2.5）+2×（7.5÷7.5）=6+2=8。

方法二：15÷2.5+15÷7.5=（3×5）÷2.5+（3×5）÷（2.5×3）=3×（5÷2.5）+5÷2.5=6+2=8。

這兩種運算思路，比前面的運算思路更容易理解。

以上幾種方法運用起來簡單省事，但是卻不容易想到。因此，上述方法還不夠實用，需要找到一種既簡便又容易讓人接受的方法。于是，筆者繼續探索新方法，不斷嘗試創新。題目是求15÷2.5和15÷7.5的和，宏觀來看，只要用簡單易懂的方法算出兩個商數就行。“15÷2.5”這樣的算式學生生疏，根據除法的商不變定律，學生對于5÷2.5=2和100÷25=4的運算輕車熟路，有著十分豐富的經驗，因此只要把100和25同步縮小10倍，也就是把小數點向左移動一位數字，100÷25的結果就和10÷2.5相等。因此，不妨把15分成10+5，讓它們分別除以2.5，所求的兩個商之和就是15÷2.5的商，即15÷2.5=（10+5）÷2.5=4+2=6。前半部分解決了，后半部分以此類推。同理，尋找7.5的一些常見倍數，而7.5+7.5恰好等于15，于是聯想到把15÷7.5化為15÷7.5=（7.5+7.5）÷7.5=1+1=2。采用這種方法，其實是緣于2.5是特殊除數，對比前面的方法，五年級學生可能更好接受，但這種方法也不是最簡便的。

三、尋找科學的計算教學方法

過程重于結論。通過探索研究，基本可以確定，本題沒有更簡便的方法。然而這一艱辛的探索沒有白費，一是明確了分配律對除法失效;二是認識到具體計算時，可以適度地放縮分子和分母，或進行數據的拆分，使計算方式更具選擇空間。

數學教學不應禁錮學生的思維，只給學生一條路走。多一條思路，可能對數學的理解就會多一份深刻。本題一個勁地追求簡潔高效，反而適得其反、弄巧成拙，越搞越復雜。有些計算題，采用一般方法也會得出準確值。教師只有引導學生多方面思考，多維度探索，才能真正豐富學生的想象能力和遷移類比能力。

當學生簡算達到一定熟練程度，對所有常規的運算律有一個全局把握后，教師應引導他們舉一反三、觸類旁通，在深入理解運算性質的基礎上，隨機應變，靈活處理各種運算。如根據加減法去括號衍生出乘除法去括號。例如，計算“321-79-21”，就可以根據加減法的性質來變通處理達到簡算目的，如321-（79+21），因為連續減去兩個數，可以看作一次性減去兩個數的和。當然，能不能簡算，和去括號和添括號沒有必然聯系，這不是絕對的，需根據實際情況而定，如果是321-（21+50），這時，去括號就能簡算。同理，可以推斷出乘除法的去括號，如1000÷25÷5=1000÷（25×4），這樣添括號后，后面兩個除數就構成相乘關系，這同樣是通過類比加減法去括號原理得出的，連續除以兩個數，相當于一次性除以這兩個數的乘積，當然這也不是絕對的，算式如果是100÷（25×5），那么去括號就會更簡便。值得注意的是，這種類比變通要防范“想當然”，預防形式上的“冒充”。如根據乘法分配律5×（8+6）=5×8+5×6想當然地類推出100÷（3+7）=100÷3+100÷7這顯然是錯誤的。但是，反過來卻是行得通的，如（30+70）÷20=30÷20+70÷20。這其中的奧妙就要教師引導學生對基本算理進行深入理解。

數學教學中，教師不能只在意學生會不會做，更應在意學生會不會想，要充分替學生考慮，了解他們的想法，以及探究他們產生這些想法的根源，即站在學生的視角去思考問題。一道題會有多種解法，在做題時，應選擇最契合學生思維特點的方法來教學。

一道簡算題，看似簡單，但是，在簡算和常規算法的取舍之間，我們應該再三斟酌，再三嘗試，在不斷嘗試中總結提升，不斷優化算法，實現真正的簡算。