挖掘復習課蘊含的數學思想和策略
——《多邊形的面積》復習課教學

董紅鴿 朱銀枝

隨著課程改革的持續推進，新的理念已經深入人心，一線教師能做到把培養學生的“四基”放在心上，想盡各種辦法試圖落實在課堂學習中，在聽課、評課中，總能聽到教師們設計的最終宗旨是“為學生的終身發展奠基”這樣的說明。縱觀諸多教師復習課的教學狀況，總感覺知識的重復再現多，數學學習的“靈魂”欠缺。我認為數學教學的“靈魂”應該是學生在復習和整理數學知識的同時，感悟出解決數學問題的策略，學到了哪些歸納知識的方法，數學是從哪些角度如何認識事物的等。但遺憾的是有些復習課看不到這樣知識升華為能力的過程。究其原因，是教師沒有挖掘出數學知識背后蘊含的思想方法，不知道怎樣導引學生琢磨、找尋解決問題的策略。為此，我在復習課中就如何滲透數學思想方法和策略做了深入思考，并進行了大膽實踐，現與大家交流。

一、在整理知識中升華對數學思想方法的理解

每單元知識學完之后，一般要對本單元內容進行歸納與整理，如果僅僅是重復已學過的知識點，學生會感到索然無味，我認為在這樣的單元復習中，教師更要潛心研究貫穿數學課的兩條線，一是學生們比較清晰的數學知識點這條明線，二是隱藏在知識背后的數學思想方法這條暗線，只有兩線并舉，才能達到掌握知識和提升能力的目的。下面是北師大版五年級上冊多邊形的面積復習課，我進行了如下課堂實踐：

師：我們用將近兩周時間學習了多邊形的面積這一單元，請把這一單元的內容進行整理和復習，現獨立思考，再匯報結果。

生1：

生2：

生3：

師：你比較欣賞哪個同學的結果？為什么？

生：我認為第三個同學總結得比較好，他把學過的知識都總結了，還總結出了獲得這些知識的策略，轉化的方法。

師：有時候隱藏在知識背后的思想方法比知識本身有更多的用處，比如：在推導多邊形面積的過程中，用到的轉化的思想，把沒有學過的圖形轉化成已經學過的圖形，使未知變成已知，從而解決問題。這種轉化的思想在數學課中經常用到，想一想，還有什么地方用到轉化的思想？

生：小數乘法的計算就是把小數乘法先轉化成整數乘法進行計算。

生：除數是小數的除法也是用轉化的方法把除數轉化成整數進行計算。

……

師：用轉化的思想解決問題，不僅在數學課上經常用到，在現實生活和學習中可以用嗎？什么地方用到過？請舉例說明。

生7：在曹沖稱象的故事中，曹沖運用了轉化的思想，把大象的重量轉化成石頭的重量，把不能分開稱的物體轉化成了能分開稱的物體，得出大象的重量。

生8：在田忌賽馬的故事中，田忌的好友孫臏發現賽馬腳力差不多，可分為上、中、下三等，于是利用轉化的思想幫田忌出主意，用下等馬對付齊王的上等馬，以上等馬對付齊王的中等馬，以中等馬對付齊王的下等馬，結果三場比賽，田忌一場敗而兩場勝，最終贏得齊王的千金賭注。

……

在整理和歸納單元知識的過程中，著力把本單元的知識網絡與隱含的思想方法放在同等重要的位置，使學生的知識與能力獲得雙豐收，為他們的后續發展奠定了堅實的知識儲備和能力儲備。

二、在整理知識中滲透研究數學知識的策略和角度

六年級進入下冊總復習階段，多數教師都與學生一起歸納整理知識，學生學會了網絡圖、樹形圖、表格等各種整理知識的方法，整理知識的能力得到大幅度的提高，隨著這樣復習課的重復進行，教師的課堂少了一些思維培養方面的靈動，部分優秀的學生缺少了一些挑戰性。六年級學生已經積累了較多的數學知識和較豐富的數學思想，如何讓他們獨立展開具有挑戰性的研究？我以復習立體圖形一課為例，說說我的做法。

1.課前布置預習作業。

（1）小學階段學過哪幾種立體圖形？請畫出它們的示意圖。

（2）請用自己喜歡的方法整理這些立體圖形的相關知識。

2.課始交流預習作業。

師：請拿出課前完成的預習作業，同桌交流整理的立體圖形的相關知識。請大家一起回憶小學階段學過的立體圖形有哪幾種？

生：長方體、正方體、圓柱體、圓錐體。

師：你知道了這些圖形的哪些知識？

生：我們學習了這四種立體圖形的體積計算方法，它們的計算方法分別是……，其中長方體、正方體、圓柱體體積都可以用底面積×高進行計算。

師：圓錐體的體積計算方法是如何得出的？

生：拿出兩個等底等高的圓柱體和圓錐體容器，在圓錐體中放滿水或沙子，倒入圓柱體中，三次正好倒滿，由此得出等底等高的圓錐體體積是圓柱體體積的。

師：是用做實驗的方法得出圓錐體的計算公式，做實驗是進行科學研究常用的方法，在以后的學習或你長大了以后的工作中，可以利用實驗的方法幫你攻克難題。

師：還知道哪些知識？

生：它們表面積的概念及計算方法，分別是……

生：這幾個立體圖形的特征，分別是……

師：就像大家總結的那樣，研究一個立體圖形的相關知識，一般從三方面展開：（1）這個圖形長什么樣？包括這個圖形有哪幾個要素組成，幾個平面圖形組成，每個圖形有什么特征。（2）做這個立體圖形需要多少材料，即它的表面積。（3）這個立體圖形占多大的空間或它里面能放多少物品等，即它的體積。比如：對長方體的學習，我們可以概括出如下的知識網絡圖：

師：如果讓你獨立研究一個沒有學習過的立體圖形，你認為應該從哪幾方面展開？如何研究？

生：像前面學習的立體圖形的方法類似，可以從它的特點、表面積、體積三方面進行。

師：概括起來就是從以下幾方面展開：

師：老師為每組同學準備了一個六棱柱，請大家用我們自己總結出的方法分組研究，把結果記錄下來，可以參考老師的提示內容進行。

3.先進行分組研討，然后交流展示，有疑問的可以在課后繼續嘗試。

一節數學課不僅要讓學生理解或掌握一定的數學知識，形成一定的技能，更重要的是讓他們感受到研究問題的角度，理解知識背后蘊含的思想方法，從而具備一定的獨立解決問題的能力。通過這節復習課的展開，我試圖讓學生在梳理知識的同時，感悟一些研究立體圖形的角度和方法，并試圖培養學生的一種能力，給出一個沒有學過的立體圖形，自己嘗試進行研究；這樣的問題對學生來說，具有一定的挑戰性，是考查學生能力的試金石，也是我們數學課的最終目的，在研究這個圖形的過程中，學生獨立解決問題的能力得到提高，數學核心素養的培養落到實處。

三、在整理知識中深刻感受數學的作用和價值

針對數學知識的學習，教師如果不能緊密地聯系生活實際，學生感受不到學習這些知識的價值，體會不到所學數學知識在生活實踐中的作用，就沒有辦法做到整體把握某方面的內容，也不能靈活運用知識解決問題。例如：北師大版五年級下冊學生學習了方向與位置，期末的整理與復習中，出現了以下的學習片斷：

師：在絳北大峽谷游玩的過程中，小敏迷失方向了。下圖是絳北大峽谷平面圖（1厘米表示500米），你怎樣幫她找到出口？

生：以小敏的位置為觀測點，在圖中畫出從出口到小敏的位置間的線段，觀察方向，測量出角度和距離，就能找到出口。

生：要說明白行走的路線圖，必須說清楚三方面的內容，方向、角度、距離。

師：還有其他的方法嗎？

生：老師，還能用數對表示吧。

師：在生活中，什么地方見過用數對確定位置？

生：到電影院看電影，買的入場券寫的是第幾排第幾號，這算是用數對表示位置嗎？

師：這是用數對確定位置的雛形，因為擔心有些人看不懂類似（3,9）這樣的數對的意思，所以在入場券中注明是第幾排第幾座。還有嗎？有沒有大家約定俗成的？

（沒有學生回答，我出示下圖，并做如下引導：）

師：見過這樣的地球示意圖嗎？圖中橫、豎標出的度數是什么意思？

生：在電視中聽到過東經45°北緯30°發生了某件事這樣的新聞，這個地球示意圖中的橫線、豎線應該表示這個意思。

生：地球上從南極到北極畫的弧線是經線，東西方向畫的弧線是緯線。

生：……

師：把地球的每個地方用經緯線表示有什么優勢？我給大家舉個例子，地球上海洋面積大于陸地面積，一艘輪船在茫茫的大海中航行，突然，輪船發生了故障，船上100多人面臨生命危險，船長果斷做出決定，向附近發出請求支援信號，應該怎樣發信號，就能使其他人員很快找到遇險船只的位置？

生：用經度和緯度表示船只所在的位置。

師：茫茫大海上沒有可參照的觀測點，沒有辦法根據觀測點確定位置。地球這么大，每時每刻都可能發生意想不到的事情，怎樣能讓全世界的人們形成共識，只要說到某一個地方，都能找到具體位置，于是誕生了這樣的經線和緯線，如果把經線和緯線畫在平面圖上，就是下圖的樣子。

師：在這個平面圖上，任意一點都可以用數對表示，這就是用數對確定位置常用的例子。任何數學知識的發明和創造都是現實生活的需要，都是為現實生活服務的，所以說數學是一門工具課，學好它可以幫你解決不少問題。

師：現在你知道可以用幾種方法幫小敏找到出口了嗎？請用自己喜歡的方法完成這個問題，并思考，什么情況下用數對確定位置，什么情況下用路線圖確定位置。