探索多層問題，透析數(shù)學(xué)模型

楊薇

摘要：在現(xiàn)今的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)試教育中，解應(yīng)用題或叫解決問題是不少學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。解應(yīng)用題的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模，而建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是對(duì)問題模型的建造，相當(dāng)于應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系模型的確立。本文以四年級(jí)數(shù)學(xué)廣角中雞兔同籠典型問題作為案例，探索以建立數(shù)學(xué)模型為主的課堂。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;數(shù)量關(guān)系;雞兔同籠;應(yīng)用題

學(xué)生錯(cuò)解應(yīng)用題，離不開一些主要原因。例如，學(xué)生對(duì)題目文字、詞語的意思把握不足、生活視野狹窄和缺乏思維想象導(dǎo)致無法審題或?qū)忣}偏差，分析問題時(shí)難以準(zhǔn)確提取數(shù)量關(guān)系。課堂上沒有完全理解問題的數(shù)量關(guān)系，知其然而不知其所以然，靠發(fā)揮記憶力來推敲類似題目的數(shù)量關(guān)系。

有些教師會(huì)以不同的數(shù)量關(guān)系劃分成不同類型的應(yīng)用題針對(duì)性地進(jìn)行大量訓(xùn)練，這樣很容易把題目“講死”，學(xué)生思維固化，以記憶解題方法為主，不利于思維發(fā)展。

一、解應(yīng)用題的本質(zhì)——數(shù)學(xué)建模

這是某些專家畫出的數(shù)學(xué)建模流程圖（如圖1），這過程跟解應(yīng)用題非常相似，實(shí)際上就是小學(xué)生解應(yīng)用題時(shí)的步驟：審題、分析數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算或列方程解答、驗(yàn)證。而建模中的“數(shù)學(xué)問題（模型）”這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)跟應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系的分析和確立，都是用一些文字、符號(hào)或圖形表達(dá)這個(gè)關(guān)系而形成的模型，其本質(zhì)沒有區(qū)別。所以進(jìn)一步研究怎樣把數(shù)學(xué)建模思想融合到解決問題里去，對(duì)提高學(xué)生解決問題的能力有一定的研究價(jià)值。

不管是何種因素導(dǎo)致學(xué)生解題能力低下，也應(yīng)歸咎于學(xué)生和教師對(duì)問題的數(shù)量關(guān)系理解不深刻。解應(yīng)用題時(shí)，有正確完整的數(shù)量關(guān)系模型才可以解答問題，不論是列算式還是列方程。因此，重視數(shù)量關(guān)系的分析、提取和運(yùn)用是提高學(xué)生應(yīng)用題解題能力的核心。

二、探索利用建模思想解決問題的課堂案例

在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題范疇里，用特定的數(shù)量關(guān)系或特殊步驟解決問題，我們把這種類型題目叫做典型應(yīng)用題，因其有較大的研究價(jià)值，我們把這些應(yīng)用題歸類成各種“問題”。下面以四年級(jí)下學(xué)期的“雞兔同籠”問題作為案例來解析建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)方法。

課上，教師引入一類型問題“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？”基于建模的一般步驟，我把探索這一問題的課堂實(shí)踐分成幾個(gè)必要環(huán)節(jié)展開：分析問題、構(gòu)建模型、驗(yàn)證模型。

1、分析問題

高等數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)建模的第一步是對(duì)象屬性的分析和背景調(diào)查，而小學(xué)數(shù)學(xué)里面，解題第一步是審題，這里可以理解成后者是前者的初級(jí)版。審題時(shí)除了讀出隱藏信息（例：兔有4腳，雞有2腳），還需要初步感知條件與問題之間的關(guān)聯(lián)性（例：只有知其中一個(gè)只數(shù)能求另一個(gè)只數(shù)，只數(shù)與腳數(shù)有關(guān)，怎樣通過腳數(shù)來確定只數(shù)是關(guān)鍵）。對(duì)于“雞兔同籠”問題學(xué)生主要通過畫圖、枚舉甚至利用表格有序列舉等方法去分析（如圖2、3），因此教師應(yīng)鼓勵(lì)并給予充分時(shí)間組織學(xué)生動(dòng)手試探，經(jīng)歷這個(gè)過程充分感知后，教師引導(dǎo)指出：不管用什么方法，實(shí)際解題方法都離不開“假設(shè)”。有人一次假設(shè)就碰對(duì)，有些則假設(shè)多次，并引導(dǎo)學(xué)生往有沒有更方便快捷的方法來解決這種問題的方向思考。

這里的分析問題環(huán)節(jié)，不是單純地思考分析，簡單來說是通過動(dòng)手來思考分析，不斷累積這種基于數(shù)形結(jié)合的動(dòng)手操作的經(jīng)驗(yàn)來構(gòu)建想象。這里，畫圖法是最好的體現(xiàn)。同時(shí)讓學(xué)生感受到當(dāng)數(shù)據(jù)變大時(shí)，粗糙的假設(shè)方法是行不通的，需要產(chǎn)生一種相對(duì)固定的解決辦法，也就必須找到固定的數(shù)量關(guān)系來建立模型。

2、構(gòu)建模型

（1）從假設(shè)中感知規(guī)律

在充分體驗(yàn)假設(shè)后，教師根據(jù)實(shí)際情況可設(shè)問“在這個(gè)過程里說說你的發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生不管是哪種假設(shè)，當(dāng)他們直觀感受到當(dāng)假設(shè)得到的總腳數(shù)比26（實(shí)際總腳數(shù)）多時(shí)，說明假設(shè)兔的頭數(shù)多了，反之。教師接著引導(dǎo)指出：假設(shè)總腳數(shù)與26的差值與兔多出的只數(shù)有關(guān)。然后進(jìn)一步觀察列表（如圖4）中數(shù)據(jù)探索這種關(guān)系（如圖5）。

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，每多一只兔，總腳數(shù)就多2;也就是總腳數(shù)多了2n，兔假設(shè)只數(shù)多n，反之。所以不管任何一種假設(shè)，只要知道與實(shí)際腳數(shù)相差多少，就能推出兔的假設(shè)只數(shù)比實(shí)際相差多少，我們可以利用這個(gè)關(guān)系來確定兔的實(shí)際只數(shù)，從而確定雞只數(shù)。

（2）提取算式，初構(gòu)模型

在基于學(xué)生不同的假設(shè)上，老師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生列算式表達(dá)出不同的假設(shè)，嘗試在這些不同的“假設(shè)”算式里找到模型的影子。

例：當(dāng)雞只有0只，那么兔就有8只：………假設(shè)的腳數(shù)比實(shí)際多

總腳數(shù)比實(shí)際多6，那么兔的假設(shè)只數(shù)多了，說明兔實(shí)際有，雞有。如此類推。

………………

不管學(xué)生如何假設(shè)兔只數(shù)和雞只數(shù)，都有能通過雞與兔的總腳數(shù)和實(shí)際總腳數(shù)的差值除以“2”來求出多了幾只兔或少了幾只兔，從而對(duì)應(yīng)求出雞兔的實(shí)際只數(shù)。

（3）深入?yún)⑴c模型建構(gòu)，發(fā)掘模型本質(zhì)

上一個(gè)例題是以動(dòng)物雞和兔為情景，為了更接近雞兔同籠問題的本質(zhì)，我們可以對(duì)上一個(gè)例題的對(duì)象和情景稍作更改，以達(dá)到變式效果。可舉出第二例題：停車場里有10個(gè)停車位，里面停滿了三輪車和摩托車，每個(gè)停車位只能停一輛車，如果這里所有車一共有23個(gè)輪子，問三輪車和摩托車各有多少輛？

學(xué)生基于第一例題的探究經(jīng)驗(yàn)，不難看出“10個(gè)車位”相當(dāng)于雞兔總只數(shù)，求摩托車和三輪車各有的輛數(shù)相當(dāng)于求雞兔各有的只數(shù)。只要套用剛才的模型就能解決問題，這里學(xué)生會(huì)遇到每多一輛三輪車，總輪數(shù)還是否多2的問題，也就需要重新理清“為什么每多一只兔總腳數(shù)就會(huì)多2”的問題。設(shè)計(jì)例題二的原因不單是讓學(xué)生體驗(yàn)情景對(duì)象上的變化，更重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)問題的本質(zhì)和模型的由來。

通過綜合兩個(gè)例題，進(jìn)一步理解模型本質(zhì)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用自己表達(dá)方式。如果用對(duì)象1和對(duì)象2比喻成剛才例題中的雞和兔、三輪車和摩托車，用對(duì)象1和對(duì)象2的總腳數(shù)比喻成雞兔總腳數(shù)、三輪車和摩托車總輪子數(shù)，要求的是對(duì)象1和對(duì)象2各有的只數(shù)，那么模型就有一個(gè)比較具體的表達(dá)，隨意假設(shè)對(duì)象1和對(duì)象2相應(yīng)只數(shù)后所得模型：

（4）識(shí)破變式，看透問題本質(zhì)

經(jīng)歷第二例題的情景與對(duì)象的變化，創(chuàng)設(shè)例題三以求突破。例三：六1班全班同學(xué)參與植樹節(jié)活動(dòng)，全班共20人，每個(gè)男生負(fù)責(zé)植樹5棵;每個(gè)女生負(fù)責(zé)植樹3棵，一共要種76棵樹，問男女生各多少人？相對(duì)例一、二里面的對(duì)象屬性，“三輪車和摩托車”與“雞與兔”具有明顯的相似性，學(xué)生需要辨識(shí)例三是否屬于同類型題目。

隨意假設(shè)有19個(gè)男生，1個(gè)女生，那么就有19×5+1×3=98棵樹，比實(shí)際植樹數(shù)多，說明男生假設(shè)得多了，女生少了，下面需要知道男生和女生人數(shù)與實(shí)際相差多少個(gè)，利用模型解決問題：

所以男生實(shí)際人數(shù)：19-11=8（人）女生實(shí)際人數(shù)：1+11=12（人）

通過多層例題，看透一個(gè)本質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)模型應(yīng)用，深刻理解了雞兔同籠模型的意義和由來，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

3、驗(yàn)證模型

驗(yàn)證模型也是數(shù)學(xué)建模里面的一個(gè)必要環(huán)節(jié)，不單只是建設(shè)模型，驗(yàn)證和校對(duì)模型同樣是確立模型的關(guān)鍵，在小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問題里，“驗(yàn)證模型”更像是在檢查解決過程的合理性，驗(yàn)算結(jié)果的正確性，對(duì)問題進(jìn)行二次思考與回顧。例如對(duì)例題三的驗(yàn)證：8×5+12×3=76（棵），也可以通過列表和觀察數(shù)據(jù)的變化，判斷出“總腳數(shù)差值”、“單個(gè)腳數(shù)差值”和“與實(shí)際相差的只數(shù)”三者關(guān)系是否符合模型要求。

學(xué)生經(jīng)歷參與模型的建立，理解模型由來，看透問題的本質(zhì)，最終理清特定問題的數(shù)量關(guān)系的意義，深刻體驗(yàn)?zāi)撤N數(shù)量關(guān)系與特定問題的關(guān)聯(lián)性。而非強(qiáng)調(diào)借助記憶力辨別類型題目對(duì)應(yīng)類型模型，從而缺乏對(duì)數(shù)量關(guān)系摸索的深度參與。

三、雞兔同籠的建模教學(xué)方法與傳統(tǒng)的對(duì)比

由于學(xué)生在四年級(jí)還沒有接觸列方程求解，教師在教授“雞兔同籠”問題時(shí)多用抬腿法、假設(shè)法等方法講解題目，用假設(shè)時(shí)一般會(huì)直接假設(shè)全部是兔或全部是雞的只數(shù)，如果當(dāng)堂教師沒有揭示為什么要這樣假設(shè)，學(xué)生解題時(shí)容易局限于形式套路，著重發(fā)揮記憶和重復(fù)訓(xùn)練的效果來達(dá)到解題目的，沒有真正看透假設(shè)法的本質(zhì)意義。利用數(shù)學(xué)建模的方法則是著重于引領(lǐng)學(xué)生觀察和分析問題，通過多層問題的探索而確立數(shù)學(xué)模型，發(fā)掘問題的本質(zhì)。整個(gè)學(xué)習(xí)過程的時(shí)長可能會(huì)超出一般課時(shí)的規(guī)定，但這樣能夠充分開發(fā)揮學(xué)生的思維深度，重視建立數(shù)量關(guān)系模型，把握解決問題的核心。

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