切比雪夫逼近在中學數學中的應用

王浩

（江蘇省海安高級中學，江蘇南通 226500）

1 背景

函數構造論是數學分析的一個分支，起源于數學家切比雪夫的偉大工作：內插理論，機械求積，矩量問題。它所研究的是利用簡單的分析工具來研究近似表達任意函數的問題。在函數的一致逼近理論中，我們遇到過一種問題：能不能用多項式去逼近一個任意給定的函數，并且具備已給定的精度。1885年Weierstrass第一定理給我們指出，閉區間上的連續函數可以用多項式來表示并具有預先給定的精度。然而，這樣給出的多項式次數可能很高。自然要問：如果預先對多項式的次數進行限制，那么能達到什么樣的精度？這就是切比雪夫逼近。在中學數學解題中，我們會經常遇到一類帶絕對值的含參函數f(x)-Ax-B求最大值的最小值問題，其本質是用直線y=Ax+B對函數f(x)進行切比雪夫逼近，即求f(x)的一次最小偏差多項式。

2 切比雪夫逼近理論簡介

我們用H表示一次多項式的集合，C[a,b]表示閉區間[a,b]上連續函數的集合。

(2)若x∈[a,b]，使得P(x)-f(x)=E(f)，則x稱為（+）點，若P(x)-f(x)=-E(f)，則x稱為（-）點。

定理2：（+）與（-）都存在。

定理5：若函數f(x)在閉區間上有不變號的二階導數，則f(x)的最佳逼近直線為：

幾何意義：g(x)實際上就是函數f(x)在閉區間[a,b]的極值點和函數f(x)圖像的兩個端點連成的兩條線段的中點所在的直線。

3 解題應用

例題3：f(x)=|x-ax-b|,x∈[-1,1]，f(x)的最大值為M[a,b],求M[a,b]的最小值。

解析：令p(x)=x，p(x)=6x，由于p(x)二階導數在區間[-1,1]上變號，因此不能直接利用定理5的結果，我們考慮一次最佳逼近的幾何意義，發現最佳逼近直線就是兩條夾逼區間內圖像的直線的中線。

如圖1所示，分別過圖形的兩個端點A，C求出切線，易得切線分別為：3x-4y+1=0,3x-4y-1=0。所以最佳逼近直線為3x-4y=0。

圖1 解題圖

例題4：已知f(x)=acosx-4cosx，若對任意的x∈R，都有|f(x)|≤1，求a的值。

解析：令cosx=t∈[-1,1]，則函數f(x)=at-4t，類似于例題3，可以求出最佳逼近直線為y=3t， 所以a=3。

4 思考與感悟

函數是描述客觀世界變化規律的主要模型，函數的變化特征反應了自然規律的變化特征。研究函數就是要研究數量之間的相互關系。函數的內容豐富，我們可以從不同的角度研究，比如單調性、奇偶性、周期性。函數題目靈活多變，主要考察學生對性質的整體把控，以及對性質的進一步研究。本文通過對利用切比雪夫一次逼近解題的研究，筆者得到一些啟發。對于求最大值的最小值問題我們可以從切比雪夫逼近的角度挖掘問題的本質，關注幾何和代數的聯系，轉化其中解題的通性通法。通過對問題的轉化、變換，可以激發學生對數學的興趣，同時培養學生思維的廣闊性。高考數學突出考察學生的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，而這其中多學生的基本思想考察尤為重視。轉化思想、數學結合的思想在考題中都有很充分的體現。我們要教會學生從“形”和“數”兩方面來思考問題。數學教學的核心是要突出主體性和思維性。學生的思維廣度和深度的提高、解題能力的提升、對于數學的認識的加深都是自身逐步內化的過程。我們在教學過程中既要精準施教也要注意培養學生進一步探究的能力。