追尋有過程的教學
——“烙餅問題”教學實踐與思考

陳 成 楊海榮

（1.重慶市秀山土家族苗族自治縣第一民族小學校；2.重慶市秀山土家族苗族自治縣高級中學校 重慶秀山 409900）

“烙餅問題”是人教版四年級上冊“數學廣角”單元的第二課時。四年級的學生已經有了初步解決問題的能力，具備了在日常生活中，解決問題的基本方法。但這里的關鍵是讓學生理解優化的思想，形成從多種方案中尋找最優方案的意識，提高解決問題的能力。通過以往的教學，筆者發現，四年級學生對在烙3張餅時采用交替烙的方法在理解上存在一定困難，感覺很抽象，用語言描述既說不清，又道不明。如何讓學生在理解這一問題時不再感到抽象呢？

為解決這一問題，筆者經過幾次教學設計的調整和課堂的重建，最終從學生已有的生活經驗、認知基礎出發，讓學生在活動中親身經歷“動手操作—思考感悟”的過程，積累了一定的數學活動經驗。

一、談話導入

師：煮熟一個雞蛋大約要用5分鐘，煮熟3個雞蛋最快用多長時間？

預設：

生1：要15分鐘。

生2：只需要5分鐘，因為可以放在鍋里一起煮，節約時間。

師：是的，生活中許多問題需要講究策略。今天，我們就來研究烙餅問題。（揭示課題）

思考：從簡單入手，通過煮1個雞蛋與3個雞蛋時間的對比，使學生充分認識到煮1個雞蛋與同時煮3個雞蛋，用時都是5分鐘，初步感知優化思想。

二、合作探究，體會優化

（出示主題圖。）

（一）梳理信息，理解題意

師：請看圖，你獲得了哪些數學信息？

生1：兩面都要烙。

生2：每次最多只能烙2張餅，每面3分鐘。

師：為了表達方便，我們可以把先烙的一面叫正面，后烙的一面叫反面。

師：烙1張餅要用多少時間呢？

生：6分鐘。

（二）探究雙數餅，初步感受優化

師：烙2張餅？可以怎樣烙？最少幾分鐘？

預設：

生1：一張、一張烙，要12分鐘。

生2：2張餅同時烙，要6分鐘。

師：為什么你想到要同時烙呢？

生：因為鍋里每次可以同時烙2張餅。

師：是的，只有兩張同時烙，充分利用空間，鍋才不會空著，這樣最省時。

思考：根據學生已有的認知水平，讓學生探究2張餅的最優烙法，降低學生思考的難度，同時，通過解決2張餅的問題體會到了優化意識。

（三）合理轉化，運用優化

師：烙熟4張餅，至少要烙幾次？請大家先算一算。

生：4次。

師：怎樣安排才能只烙4次呢？

生：兩張、兩張同時烙。

師：把4張餅轉化成了兩張、兩張地烙，運用了轉化的思想。真了不起!

師：烙熟4張餅至少要烙4次，最少需要幾分鐘？

生：最少需要12分鐘。

師：6張餅呢？先算一算烙幾次，最少需要幾分鐘？

生：6次，最少需要18分鐘。

師：怎樣設計最佳方案呢？

生：把烙6張餅轉化成2、2、2。

師：8張餅呢？

生：8次，最少需要24分鐘。

師：像2張餅、4張餅、6張餅，我們都是同時烙的。你發現了什么？

生：雙數張餅兩張、兩張地同時烙最省時，烙餅的次數和張數相等。

思考：抓關鍵詞“同時”“節省時間”，滲透優化的思想，讓學生明白“同時烙兩張”會“節省時間”。

（四）探究單數餅

師：思考一下，烙3張餅會有幾種不同的方法？但要想做到最省時，必須做到什么？

生：充分利用空間，讓鍋不要空著。

師：接下來，我們以小組合作的方式進行研究，用數學書代替只能烙2張餅的平底鍋，圓片當餅，看看怎樣才能盡快吃上餅？請看合作要求：

1.想一想，烙好3張餅，怎樣才能不空鍋；2.擺一擺，把你想到的方法動手擺出來；

3.記一記，把烙餅的過程用簡潔的方式記錄下來；4.準備匯報，思考怎樣讓別人聽明白你的想法。（生動手操作，師巡視。）

師：做好的同學請舉手示意，并把你們組的研究成果向大家匯報一下。

方法一：先烙第一張餅和第二張餅的正面，要3分鐘；再烙第一張餅和第二張餅的反面，也要3分鐘；接著，烙第三張餅的正面，需要3分鐘；最后，烙第三張餅的反面，同樣要3分鐘。一共烙了4次，用了12分鐘。

方法二：先烙第一張餅和第二張餅的正面，要3分鐘；再取出第二張餅，烙第一張餅的反面和第三張餅的正面，同樣需要3分鐘；最后，待第一張餅熟了，烙第二張餅和第三張餅的反面，也要3分鐘。一共只烙了3次，用了9分鐘。

（生匯報第一種方案和第二種方案并上臺演示，師記流程圖。）

板書：1正2正—1反2反—3正—3反 4次 12分鐘

1正2正—1反3正—2反3反 3次 9分鐘

師：這兩種方法中，你們覺得哪種最好，為什么？

生：第二種方法更省時。

師：第二種烙法，最關鍵的是哪一步？

生：第二步。

師：第二步我們是怎么做的呢？

生：第二步，拿出2號餅，換上3號餅的正面和1號餅的反面。

師：這樣做的目的就保證了第三次烙的時候鍋里有幾張餅？

生：2張，第3次就烙2號的反面和3號的反面了，最大化地利用了鍋。

師小結：第一種方法的第三次和第四次都只烙了1張餅。但同一張餅的兩面不能同時烙，于是，你們想到了中間換一次餅。這就保證了每次鍋里都有2張餅同時烙，從而最大化地利用了鍋。我們可以把這種交替烙3張餅的方法叫作輪換烙餅法。

思考：“如何盡快烙好3張餅”是本節課的關鍵，也是難點。教師讓學生借助學具動手操作、直觀演示，結合課件演示兩種烙法的對比，讓學生發現充分利用鍋內的空間，使鍋里每次烙2張餅，最節省時間。學生在直觀中思考、在操作中發現，從而感悟到簡單的運籌思想。

（五）找到規律，建立數學模型

師追問：想一想，有可能找到比烙3次還要少的方法嗎？為什么？

生：每次鍋里都有2張餅了，已經充分利用了鍋的空間。

師：對啊，3張餅每張都要烙幾面？一共要烙多少面呢?

生：每張餅要烙兩面，一共要烙6面。

師：這口鍋每次最多能烙幾面？

生：兩面。

師：剛才，我們通過實際操作，得出了3張餅最少要烙3次的結論。你能不能用算式來計算出3張餅最少要烙3次呢？

生：3×2=6(面)，6÷2=3(次)。（師板書）

師：這里的6表示什么？

生：3張餅總的面數

師：2代表什么？

生：鍋里每次最多烙的面數。

師：求出的3表示什么?

生：最少次數。

師（板書：總的面數，最少次數）：求出了最少次數，最短時間怎么算？

生：總的時間3×3=9(分)。

師：實際上，烙餅的最少次數就等于烙餅的總面數除以每次最多烙的面數。

課件出示：最少次數=烙餅的總面數÷每次最多烙的面數。

師：我們通過計算，也發現了烙熟3張餅最少要烙3次。這已經是最省時的方案了。那么，以后我們遇到這類題，就可以先通過計算算出最少次數，再設計出最佳方案。

（六）遷移規律

師：烙熟5張餅，至少要烙幾次？需要幾分鐘？

生：把烙5張餅轉化成2張餅和3張餅的烙法，烙了5次，用了15分鐘。

師：像5、7、9這樣單數張餅，我們應該怎樣烙才最省時呢？

生：先兩張、兩張地烙，最后3張輪換烙最省時。

師：知道了烙的最少次數，能算出最短時間嗎？

生：能，用最少次數乘3。

思考：從探究烙2張餅和3張餅最省時的方法入手，學生從操作中總結出怎樣烙，由動作思維到抽象思維，層層深入，探究出烙偶數張餅和烙奇數張餅的方法都是轉化成2張餅、3張餅去烙，滲透轉化思想。

三、知識應用

例1 復印3張資料，每次最多放2張，兩面都要復印，如果復印一面需要3秒，最少需要多少秒？

例2 有一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。小東和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要多少分鐘？

四、課堂總結

1.今天我們學習了怎樣合理安排時間，說說學習感受。

2.解決問題的方法很多，我們要善于思考，找到最好的方法，提高做事的效率。

思考：在此環節，“今天你有什么收獲嗎？”這個問題的提出，主要是想培養學生整理、歸納的意識和習慣，提高他們學好數學的自信心。

五、反思

“烙餅問題”教學有以下幾個特點[1]。

（一）從簡到繁，層層遞進

本節課導入部分做了很好的鋪墊，讓學生體會到同時操作會省時，然后，提出烙雙數張餅怎樣烙最省時的問題（同時烙），接著，重點探討了烙單數張餅（3張餅）的方法。烙3張餅既是本節課的重點，又是難點。為了突破這個難點，筆者給予學生充分的時間與空間，先讓學生小組合作，然后讓學生到黑板上展示，最后對比，尋找烙餅的最佳方案。探究活動注重學生動手能力和思維發散能力的培養，讓學生的手、眼、腦等多種感官協同活動。整個烙餅過程層層遞進，培養了學生的數學思維，讓他們能借助烙2張餅、3張餅的經驗研究烙5張餅、7張餅和多張餅的方法。

（二）層次分明，體會最優

從整體上看，探究烙餅問題可分為四個層次進行教學。第一層次，主要是讓學生體會烙雙數張餅同時烙最省時間。第二層次，主要是突破烙3張餅的難點，讓學生在對比中了解為什么用時9分鐘的烙法是最佳烙法，滲透最佳烙法的前提是充分利用鍋的空間。第三層次，找到規律，建立模型。烙餅的最佳烙法是最大限度地利用好這口鍋。在教學中，筆者讓學生不斷體會、思考最優方法，并把這種方法轉化成數學模型，即“最少次數=烙餅的總面數÷每次最多烙的面數”的計算公式。第四層次，在學生完全理解2張餅、3張餅的烙法后，探究出烙偶數張餅和烙奇數張餅的方法都是轉化成2張餅、3張餅去烙，滲透轉化思想。