學材重構：促進學生學習的教材觀

【摘 要】在課程改革的背景下，教師作為教材的解讀者與組織者，應將教材轉化為有利于學生學習的學材，以學材觀審讀與研析教材，在文本轉換中實施學材重構。研究者通過研究教材內容的重組與學材觀的建立、學材視域下學生主體性的認識以及整體觀下的學材重構，并以基本不等式為例，闡釋學材重構的教學意義，促進學生對知識本質的理解。

【關鍵詞】學材重構;文本轉換;基本不等式

【作者簡介】丁益民，高級教師，新青年數學教師工作室創始成員，主要研究方向為高中數學教學。

【基金項目】江蘇省教研室第13期重點課題“基于深度學習的高中數學中觀教學設計的研究”（2019JK13-ZB34）

隨著學習心理學新成果地不斷涌現，人本主義的理念得到普遍認可，主體意識的覺醒讓個性化學習成為當代教育的必然。學校教育已經從知識轉向素養，知識已成為培育學生數學能力和核心素養的載體，學生在獲取知識的過程中提升各種核心素養，數學教育已從知識與技能的傳授轉變成培養學生的“四基”“四能”。在這樣的新背景下，教材也發生了較大變化，教材的編寫更加關注學生的自主學習和深度學習，如整體性設計單元知識，大背景、大觀念的引領示范教學等，融入數學探究、數學建模、數學閱讀、數學寫作等多種活動來促進數學的學習，教材已經從“教”的材料演變成“學”的材料[1]，因此，建立正確的學材觀是促進學生學習的前提。

一、教材內容的重組與學材觀的建立

傳統數學教材的編寫一般比較注重知識的學術性，強調教材是教學中唯一的“法定文化”。從根本上講，這是以教為中心的教材觀的集中體現，教材對學生而言更多呈現的是訓練的功能，學生的學習活動被教師的“教教材”所支配，教學活動的組織實施與學生的認知規律、心理特點和思維發展存在一定的差距，這樣的知識傳授只是一種“學究式知識”的傳遞，而不是觸及主體體驗的“發現式學習”。

課程標準是教材編寫的基本依據，不管怎樣編寫教材，課程標準、教材、教學這三者之間都會存有一定的空間[2]，比如數學本身的抽象，知識的時空限制，編者的不同理解等，這就為教師重構教材提供了可能，即以學生的深度學習為目的，依據課程標準開發教材，讓教材成為培育學生核心素養的土壤，這便是學材觀的建立。

學材觀的建立強調對教材內容的重新組織，使教學內容更具有系統化、結構化和科學化，更利于學生的數學學習。鐘啟泉教授說：“既不能無視兒童已有的知識體系，單向地灌輸知識，也不能走向輕視概念性知識、無視知識結構化的體驗主義教育。”盡量減少機械性的接受，消除無意義的接受，使學生朝著有意義接受性學習的方向學習知識，將數學知識在相互聯系的基礎上組織起來，以學生心智發展規律為基礎，加強數學學材與學生生活的客觀世界的聯系，引導學生從“被動學”向“主動求知”轉變，從被動記憶轉化為主動內化，以喚起學生學習的主動性為根本目標。

二、學材視域下學生主體性的認識

建構主義學習理論認為，學生的學習過程并不是由教師單一地將知識教給學生，而是學生主動參與并自主建構知識的過程，學生的學習是基于原有知識結構和認知經驗，對已有知識體系進行更新與重構的過程。學材觀要求教師關注學生是認知的主體，充分考慮學生原有知識結構與新知識的邏輯關聯，引導他們將新知識的建構融入到原有相關認知結構和活動經驗中去，促進學生在知識的理解水平和思維水平等方面的提升，形成“四基”與“四能”。

為了實現學生對學材的自主建構，在教學中，教師應始終以學生自己的建構為主旨，充分暴露學生知識建構的思維過程，以組織者的身份引導學生用數學的眼光來看客觀世界的千變萬化，用數學的思維分析各種現象，進而用數學的語言進行表達與交流。教師還要積極提供各種教學平臺，鼓勵學生勇敢地發表自己的數學見解。在教學中，教師要充分考慮學生的心智特點，創設適合學生年齡、生活和認知基礎的情境（包括數學內部的情境、生活情境以及科學情境），貼近他們的學習環境和學習心理，讓他們在這樣的情境中進行直觀想象、抽象概括等思維活動，進行有意義的數學學習，達到真正理解知識本質的目的。

凸顯學生主體地位的學材觀建立，其根本目的是充分調動學生數學學習的積極性，激發學生數學學習的內驅力，改變被動接受的淺層學習狀態，為實現深度學習提供可能。事實表明，只有學生真正參與到建構的活動中去，才能促使他們樹立正確的數學觀和數學學習觀。從本質上講，教師的“教”是為了喚醒學生本有的學習潛能，是為了指導他們如何更好地進行數學學習，讓他們更真實地進行知識的建構、思維的訓練，積累更多的有意義的學習經驗，逐步形成現代公民生活和工作必需的數學素養和關鍵能力。

三、整體觀下的學材重構

特級教師李庾南先生提出了“學材再建構”的教學主張，這對于指導教師開展數學單元教學具有重要意義。“學材再建構”是從知識整體性的視角對數學學材進行整合、重組而進行的單元教學的建構。這就要求數學教學不能照本宣科，而必須以課程標準為基礎，以教材為參照材料，以學生的最大發展為旨歸，重新建構學材，源于教材，高于教材[3]。

教師作為教材的解讀者與組織者，應將教材轉化為有利于學生學習的學材。學材重構是教師進行教材開發與實施中不可或缺的方式之一，其首要目標是促使學生真正理解數學知識的本質和核心概念的內涵。學材重構需要教師以整體的視角站在學生學習的立場審視教材文本，正確理解教材編寫意圖，積極挖掘教學內容的教學功能，對教材進行深度的研讀、分析與評鑒，不僅找到其可操作的方法（包括教學功能、學科本質的體現、教學組織的學材屬性等），還要找出其中存在的局限性。

學材重構還需要實現靜態知識與動態學習兩者間的科學調適，不僅包括課前的教學預設，還包括課堂上師生對話時的現場開發。教學過程并非如預設一樣一成不變，任何“意外”隨時都可能發生，教師應依據動態的教學情境對靜態的預設適時進行調控，努力構建教與學雙向的共生平衡。當教師和學生一起將靜態知識轉化為動態的教學體驗時，教學才可能達成所需的目標，才可能將靜態知識轉化為解決問題時所需要的關鍵能力。

學材重構更為重要的一點就是通過模塊化、系統化的教學組織，實現學生從過程性知識到對象性理解的親歷體驗過程。親歷體驗是深度學習的核心特征，從心理學上講，體驗是指學生作為全身心投入時的個體親歷、體認與驗證的過程，經歷生理和心理、感性和理性、個體和整體等方面復合交織的情感、態度與價值觀的內心活動，讓學生獲得充分的學習體驗，是學生實現深度學習的應然選擇和必由之路。為此，只有親歷體驗，才能從真正意義上實現學材重構的根本目的——深度學習。在這個過程中，實際上是把學生作為學習的主體進行互動、交流、理解、反思、體悟等活動，實現對知識的接收、重組和內化等過程[4]。

四、學材重構的實踐案例

2019年蘇教版高中數學必修第一冊第3章“基本不等式”一節中，材料的組織是這樣的。

材料1 情境設置——由不等臂天平稱物的情境引出兩個平均數;

材料2 幾何解釋——引導學生作出長度為ab和a+b2的兩條線段，用半圓中的半徑與半弦認定二者大小關系;

材料3 證法安排——通過作差、分析法和綜合法三種方法進行證明;

材料4 弦圖利用——在練習中出現“弦圖”進一步理解基本不等式。

對于材料1，不等臂天平秤物并非學生常見的情境，教師需要解釋學生才能明白，不僅如此，在處理問題時還需要用到物理中的杠桿原理才能解決。整個過程似乎是為了“發現”這兩個平均數而兜了一大圈，最終還是回到通過數值代入來比較兩者大小，這樣的教學情境并不能反映所學知識的本質。筆者認為縮短發現這兩個平均數的過程很有必要，應基于實數的非負性（x2≥0）引入基本不等式，這樣比較符合學生的認知規律。學習對象指向精確，減少了因理解情境和表征對象導致的認知負荷，將學習的重心落在如何理性認識并深度認識基本不等式這一核心目標上。

對于材料2，如果沒有教師的引導學生在同一個圖形（如圖1）中作出這樣的幾何對象是非常困難的，而且從整個認知的路線看，這里也顯得突兀。因為從情境中抽象出對象a+b2和ab，再通過數值驗證兩者的大小關系，這里的認知活動以“推理—演算”為主要的認知方式，教師讓學生重新從另一個認知視角（即幾何）來驗證正處于“模糊”狀態下的認知對象，一方面，會導致學生在認知方式的轉頻上產生間歇性的困難，學生可能會出現思維上的斷層，另一方面，按照A·Sfard概念二重性理論，一個概念的形成要從過程開始，然后轉變為對對象的認知過程。顯然，之前的代數值驗證活動是概念認知的過程階段，這時的認知更多是感性的，而之后的“作圖驗證”屬幾何表征，是在獲得結論（a+b2≥ab）的基礎之上進行的概念認知的對象階段，很明顯這個過程中出現了認知方式上的混亂，這不利于概念的理性建構。筆者認為可以按照這樣的認知路徑：“不等式的發現—不等式的證明—不等式的欣賞”，遵循從感性認識到理性認識，再到深度認識的過程。根據逐步認知數學對象的原則，筆者將素材的順序調整為：發現a+b2≥ab—代入數值進一步驗證—運用不同的方法進行證明—從其他角度（幾何、函數等）進行欣賞，形成深度理解。

從整個學習單元來看，實數大小關系的基本事實是解決等式、不等式問題的邏輯基礎。通過類比等式的性質獲得不等式性質，并以此進一步研究基本不等式等是本章的學習主線。因此，研究基本不等式的認知起點應是實數的大小關系。所以作差法應該是證明基本不等式的首選方法，這樣的選擇體現單元教學的邏輯性，突出知識的生成是之前認知的延續與生長。分析法的核心是從證明的結論出發，逐步尋求使其成立的充分條件。在前一章學習中，學生已經認識到進行證明的邏輯依賴于命題的充要性，而實施分析法的邏輯依據就是本章上一節中的不等式的性質，分析法實際上是在不等式性質的基礎上進行的推理展示。證法3實際上是從x∈R，x2≥0出發，通過取x=a-b進行的代數變形。證明方法的選擇應充分考慮方法在學生認知系統中的整體性，并且還要考慮選擇的方法對學生解決問題時的思維方式形成的影響。所以，三種方法的使用可以調整成如下的組織結構：證法3作為不等式發現的方法——從比較大小的角度選擇證法1（作差法）證明——從運用不等式性質及邏輯的角度選擇證法2（分析法）證明。那么，這三種方法是不是都要進行講解？是不是一定要照此來講解？筆者認為應以單元學習的整體視角來審視證明方法的選擇，有什么樣的目標定位就選擇什么樣的證明方法（或方法的組合），教師應靈活整合這些方法進行講評，不是孤立地將其作為證明的某一種方法進行傳授，而應作為整體認知中某一個邏輯點來考量。

弦圖是經典的教學素材，其結構精妙，內涵豐富，是數與形完美統一的典范。如果僅僅把趙爽弦圖作為問題情境或數學欣賞的素材則大大削弱了其教學功能。學生在初中已借助趙爽弦圖研究勾股定理，是從幾何圖形中構建代數關系的基本活動經驗，這些經驗恰好為學生學習基本不等式起到了先行組織者的作用，因此，教師可以引導學生對弦圖進行以下探究活動。

探究活動1：如圖2，過點E作EH⊥AB于H，則由等積法得到HE=aba2+b2，再取AB的中點M，則ME=a2+b22，由于ME≥HE，即a2+b22≥aba2+b2，平方得a2+b24≥a2b2a2+b2，即a2+b22≥21a2+1b2。

探究活動2：由等積法c=abh≥2h，即ab≥2h2=2a2b2a2+b2=21a2+1b2。

探究活動3：如圖3，以AN，BN為鄰邊向形外作矩形ANBM，O為正方形的中心，所以O，A，M，B四點共圓，其中AB為圓的直徑，OM為圓的一條弦，所以OM≤AB。可得OM=a+b2，AB=a2+b2，所以得a+b2≤a2+b22。

由此可得結論：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22。

上述探究活動和之前通過弦圖發現（或幾何解釋）基本不等式的認知方式一致，是在已有活動經驗下進行的探究，而且獲得的結論是經典的不等式鏈，學生很有可能會帶著這樣的認知經驗和鑒賞體驗去探求更多更豐富的數學結論，這對學生進行深度認知是有促進作用的。

總之，教材是教學活動開展的行動指南，在教學過程中，教師要理性考量教材中的素材，創造性地使用教材，以學生的認知和數學邏輯來審視教學素材，結合教學的實際情況進行學材重構，真正發揮學材的教育教學價值，促進學生對知識本質的理解。

參考文獻：

[1]李善良.教科書：從“教”材到“學”材：蘇教版高中數學教科書編寫思考[J].中學數學月刊，2019（8）：1-4.

[2]李強，李孟璐.變“教材”為“學材”的幾個基本問題[J].教育理論與實踐，2011（29）：15-17.

[3]李庾南，馮衛東.學材再建構 在結構中教與學[J].數學通報，2018（8）：17-22，30.

[4]齊歡.數學教學要促進和發展學生的主體性[J].中國教育學刊，2018（1）：106.

（責任編輯：陸順演）