基于雙磁偶極子的螺線管磁場(chǎng)建模分析

謝陽(yáng)光，李清華，解偉男，李新年

（1.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司 西安自動(dòng)飛行控制研究所，西安 710065；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們對(duì)導(dǎo)航定位的需求不斷提高，然而，在復(fù)雜的環(huán)境，如地下、室內(nèi)等，由于GPS信號(hào)較弱的穿透力，導(dǎo)致用戶(hù)常常接收不到位置信號(hào)，而慣性導(dǎo)航會(huì)產(chǎn)生誤差積累[1]，同樣不適合長(zhǎng)時(shí)間使用，因此需要提供一種穩(wěn)定、可靠、無(wú)累積誤差的高精度定位方法。低頻交變磁場(chǎng)擁有穿透力強(qiáng)，誤差不會(huì)隨時(shí)間累積等優(yōu)點(diǎn)[2-4]，在提供復(fù)雜環(huán)境下的定位服務(wù)上展現(xiàn)了巨大的潛力。低頻交變磁場(chǎng)通常由螺線管產(chǎn)生，為了獲得位置信息，往往需要利用目標(biāo)位置的磁特征量之間的相互關(guān)系。因此螺線管的磁場(chǎng)分布建模是低頻交變磁場(chǎng)定位的關(guān)鍵技術(shù)，在定位解算中發(fā)揮著重要的作用。

研究表明，單磁偶極子模型在遠(yuǎn)場(chǎng)能夠保持較高的精度[5]，但是在近場(chǎng)時(shí)，誤差明顯增大。為了得到電機(jī)中圓柱永磁體精確磁場(chǎng)分布模型，Hungsun等[6]在研究了DMP等效法和單磁偶極子等效法的基礎(chǔ)上，提出將永磁體等效為排列規(guī)則磁偶極子陣列，并根據(jù)永磁體特性設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進(jìn)而確定和優(yōu)化模型參數(shù)，仿真證明該方法能夠有效提高磁場(chǎng)模型的精度。戴忠華等[7]通過(guò)分析磁偶極子等效磁矩的收斂性，得到了磁性物體單磁偶極子模型的適用條件，在2.5倍磁體長(zhǎng)度以外的空間，使用單磁偶極子模型近似磁性物體，才能保證較高的精度。

為了解決在近場(chǎng)條件下，單磁偶極子模型誤差較大導(dǎo)致的低頻交變磁場(chǎng)的定位精度低的問(wèn)題，本文提出了一種基于雙磁偶極子的螺線管磁場(chǎng)分布模型。首先利用對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)磁偶極子陣列來(lái)模擬螺線管的磁場(chǎng)分布，然后將復(fù)雜的求解磁矩過(guò)程轉(zhuǎn)換為利用模擬退火算法獲取最優(yōu)模型結(jié)構(gòu)參數(shù)。為了降低模型用于定位解算時(shí)的復(fù)雜度，將磁偶極子陣列簡(jiǎn)化為磁偶極子，最終得到了易于定位解算的雙磁偶極子模型。

1 螺線管磁場(chǎng)分布建模

1.1 磁偶極子陣列模型

在研究磁性物體的磁場(chǎng)分布時(shí)，通常將其等效為一個(gè)或多個(gè)磁偶極子單元的組合。磁偶極子是磁場(chǎng)研究的基本單位之一，可以將磁偶極子近似看作半徑為R的圓形載流回路[8]。設(shè)環(huán)境中的磁導(dǎo)率為μ0，圓形載流回路的電流為I，則根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，如圖1所示，中心高度為h的磁偶極子在空間中任意一點(diǎn)P(r,φ0,θ0)處，產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度三軸分量的表達(dá)式如式(1)所示：

其中，r為目標(biāo)點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的相對(duì)距離，φ0為俯仰角，θ0為相對(duì)方位角[9]。

圖1 磁偶極子模型Fig.1 Magnetic dipole model

由鐵磁學(xué)理論可知，磁體的磁性是由大多數(shù)磁性單元的磁矩方向趨向一致而產(chǎn)生的，因此在磁矩收斂的條件下，這種一致性共同作用的磁場(chǎng)能夠等效為一個(gè)總磁矩產(chǎn)生的磁場(chǎng)。傳統(tǒng)的單磁偶極子模型的原理就是將螺線管等效為一個(gè)在螺線管中心位置的圓形磁偶極子，數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)所示，其中M為等效磁矩的大小。螺線管實(shí)物圖如圖2所示，由于螺線管的物理原因，在靠近螺線管的區(qū)域，不能簡(jiǎn)單利用磁偶極子來(lái)等效[10-11]，因此傳統(tǒng)的單磁偶極子模型在近場(chǎng)并不適用。為了解決近場(chǎng)精確定位問(wèn)題，本文利用多個(gè)磁矩已知、排列規(guī)律的磁偶極子來(lái)建立螺線管磁場(chǎng)分布模型。

圖2 雙軸螺線管Fig.2 Dual-axis solenoid

磁偶極子陣列模型的結(jié)構(gòu)如圖3所示，將螺線管等效為關(guān)于xoy平面對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)磁偶極子陣列，其中原點(diǎn)O為螺線管的中心。每個(gè)磁偶極子陣列有等距排列的k層，各層之間的間隔為d1。每層有同心的n個(gè)磁偶極子，如圖4所示，相鄰磁偶極子的半徑相差d2。因此初始設(shè)定好d1、d2，則只需要通過(guò)調(diào)整k和n，就能得到不同結(jié)構(gòu)的磁偶極子陣列模型。

根據(jù)式(1)可知，當(dāng)磁偶極子陣列模型的參數(shù)k和n已知時(shí)，可以計(jì)算出磁偶極子陣列模型在目標(biāo)位置P(r,φ0,θ0)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bn，其三軸分量如式(3)所示：

式中，Bx(i,j)為上方的磁偶極子陣列的第i行、第j列個(gè)磁偶極子在目標(biāo)位置產(chǎn)生的x軸方向磁場(chǎng)，Bx′(i,j)為下方的磁偶極子陣列的第i行、第j列個(gè)磁偶極子在目標(biāo)位置產(chǎn)生的x軸方向磁場(chǎng)，其余同理；hi為磁偶極子陣列中第k行磁偶極子相對(duì)于原點(diǎn)的高度絕對(duì)值，有hi=h0+(i- 1)d1，h0為磁偶極子的基準(zhǔn)高度；Rj為磁偶極子陣列中第n列磁偶極子的半徑，有Rj=R0+ (j- 1)d2，R0為磁偶極子的基準(zhǔn)半徑。

圖3 磁偶極子陣列模型Fig.3 Magnetic dipole array model

圖4 磁偶極子陣列橫截面Fig.4 Cross section of magnetic dipole array

設(shè)磁通門(mén)傳感器在目標(biāo)位置測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bm。定義磁偶極子陣列模型在某已知點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的相對(duì)誤差e為：

為了提高模型的精度，防止模型過(guò)擬合，可以利用多個(gè)點(diǎn)的相對(duì)誤差均值E作為目標(biāo)函數(shù)：

為了最小化目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)的磁場(chǎng)分布模型，可以利用模擬退火算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。具體步驟如下：

① 設(shè)置初始模型參數(shù)為 (k0,d0)，并令其為當(dāng)前最優(yōu)解。設(shè)初始退火溫度為T(mén)0，最小溫度為T(mén)min，衰減系數(shù)為α以及每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)為L(zhǎng)；

② 從當(dāng)前的最優(yōu)解(kn,dn)開(kāi)始進(jìn)行迭代，在當(dāng)前最優(yōu)解的鄰域隨機(jī)產(chǎn)生新解 (kn+1,dn+1)，然后計(jì)算其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值E(kn,dn)，進(jìn)而能夠得到當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值增量 ΔE=E(kn+1,dn+1)-E(kn,dn)；

③ 如果ΔE＜0，則接受新解 (kn+1,dn+1)作為當(dāng)前溫度Tn下的最優(yōu)解，否則將以概率P= e xp(- ΔE/T)接受該解作為當(dāng)前最優(yōu)解；

④ 判斷當(dāng)前最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值是否滿(mǎn)足模型的精度要求，如果滿(mǎn)足則輸出當(dāng)前最優(yōu)解為最優(yōu)模型參數(shù)，否則，繼續(xù)搜索新解；

⑤ 重復(fù)進(jìn)行步驟②～④，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到L時(shí)，利用衰減系數(shù)α進(jìn)行退火操作，使得Tn+1=αTn，然后繼續(xù)進(jìn)入迭代過(guò)程。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)滿(mǎn)足精度要求或溫度達(dá)到最小溫度Tmin時(shí)，停止迭代，當(dāng)前最優(yōu)解記為最優(yōu)模型參數(shù)。

相對(duì)于其它的優(yōu)化方法，模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)是其優(yōu)化結(jié)果與初始值設(shè)置無(wú)關(guān)，然而為了進(jìn)一步提高算法的速度，可以根據(jù)螺線管的規(guī)格，使設(shè)定的初始模型參數(shù) (k0,d0)接近真實(shí)模型。

1.2 雙磁偶極子模型

低交變磁場(chǎng)定位的原理是根據(jù)目標(biāo)位置測(cè)得磁感應(yīng)強(qiáng)度特征量[12-14]，利用磁場(chǎng)分布模型解算出位置信息，因此需要將磁偶極子陣列模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化。由圖3可知，在磁偶極子陣列模型中，各個(gè)磁偶極子排列規(guī)則，所以可以將兩個(gè)磁偶極子陣列各自等效為一個(gè)磁偶極子，得到如圖5所示的雙磁偶極子簡(jiǎn)化模型。

簡(jiǎn)化后的雙磁偶極子模型在空間中任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度三軸分量如式(6)所示：

式中：M為磁偶極子的磁矩，可以用線圈磁矩M = N ? I? S 來(lái)描述，N為線圈匝數(shù)，S為等效電流環(huán)的面積，有 S =πRd2； Rd和 hd分別為簡(jiǎn)化后磁偶極子的半徑和中心所在的高度。

圖5 雙磁偶極子模型Fig.5 Dual magnetic dipoles model

磁偶極子陣列模型的橫截面示意圖如圖4所示，其中，R0為磁偶極子的基準(zhǔn)半徑，Rn為第n列磁偶極子的半徑。由于磁偶極子的半徑和高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于目標(biāo)位置到原點(diǎn)的距離r，則由式(3)可知，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)確定時(shí)，磁偶極子陣列模型在三軸方向上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與近似成正比，且受hj的影響較小。因此雙磁偶極子模型中，磁偶極子的半徑 Rd為磁偶極子陣列模型中任意一行上n個(gè)磁偶極子半徑的均方根值，高度 hd可以設(shè)為任意一列上k個(gè)磁偶極子中心高度的平均值，即：

為了確定雙磁偶極子的等效磁矩，還需要確定模型簡(jiǎn)化后磁偶極子的等效匝數(shù)。由于在簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)表達(dá)式的過(guò)程中，對(duì)參數(shù)做了近似處理，因此如果直接令等效匝數(shù)為磁偶極子陣列中的磁偶極子數(shù)N = k ? n，會(huì)導(dǎo)致簡(jiǎn)化后的模型精度下降，因此可以設(shè)置閾值ε，通過(guò)遍歷N的ε鄰域，返回使得目標(biāo)函數(shù)E最小化的參數(shù)N，得到磁偶極子的磁矩M。將 Rd、 hd、 M帶入

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Experimental system schematic structure

式(6)，得到基于雙磁偶極子的螺線管磁場(chǎng)分布模型。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

1.3 基于三角函數(shù)擬合的信號(hào)辨識(shí)方法

由于環(huán)境中存在著諸多干擾磁場(chǎng)，包括地磁場(chǎng)、工頻磁場(chǎng)等，磁通門(mén)傳感器采集到的三軸磁場(chǎng)均不能直接用于螺線管磁場(chǎng)模型評(píng)估，需要采取措施抑制干擾，提高磁場(chǎng)的測(cè)量精度。

一種可行的方法是利用三角函數(shù)擬合對(duì)磁場(chǎng)信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)。向螺線管中通入正弦電流，由式(3)可知，在空間中任意位置能夠產(chǎn)生正弦變換的磁場(chǎng)信號(hào)，則磁通門(mén)傳感器x軸采集到的磁場(chǎng)信號(hào)可以表示為：

其中，Bx(t)為待檢測(cè)信號(hào)，Nx(t)為噪聲信號(hào)，Ax和φx分別為螺線管激磁信號(hào)幅值和相位，設(shè)參考信號(hào)為：

則根據(jù)相關(guān)原理，對(duì)于一個(gè)正弦信號(hào)周期T內(nèi)的N個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)有：

因此，辨識(shí)出的正弦信號(hào)參數(shù)為：

同理，對(duì)傳感器另外兩個(gè)軸向采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)辨識(shí)，最后，能夠得到準(zhǔn)確的三軸磁場(chǎng)幅值，則在該點(diǎn)由螺線管激磁產(chǎn)生的總磁場(chǎng)強(qiáng)度為：

將經(jīng)過(guò)信號(hào)辨識(shí)后的測(cè)量數(shù)據(jù)帶入模擬退火算法進(jìn)行模型參數(shù)優(yōu)化，能夠進(jìn)一步提高磁場(chǎng)分布模型的精度。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)分別使用單磁偶極子模型、磁偶極子陣列模型、雙磁偶極子模型對(duì)同一螺線管的磁場(chǎng)分布進(jìn)行建模。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖7所示，本實(shí)驗(yàn)使用的螺線管，軸向長(zhǎng)度為35 cm，直徑15 cm，銅線的電阻為4 Ω。實(shí)驗(yàn)所采用的傳感器為西安華舜公司生產(chǎn)的三軸磁通門(mén)傳感器，分辨率0.1 nT，線性度≤0.01%。為了提高磁場(chǎng)測(cè)量的精度，向螺線管通入頻率為2 Hz，幅值為3 A的電流，因此目標(biāo)位置的磁場(chǎng)由頻率為2 Hz的正弦磁場(chǎng)和干擾磁場(chǎng)組成，利用三角函數(shù)擬合技術(shù)，對(duì)磁通門(mén)傳感器采集到的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，得到在目標(biāo)位置精確的螺線管激磁產(chǎn)生的總磁場(chǎng)強(qiáng)度。

圖7 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.7 Experimental system

為了考察模型在不同區(qū)域的有效性，在空間中分別選取了近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)兩組測(cè)量點(diǎn)集。首先，分別考察三種模型在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的效果，驗(yàn)證結(jié)果如表1所示。可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)測(cè)量點(diǎn)遠(yuǎn)離螺線管時(shí)，三種螺線管磁場(chǎng)模型都能夠保持較高的精度，其中，單磁偶極子模型的最大相對(duì)誤差只有 4.66%，磁偶極子陣列模型的最大相對(duì)誤差為 3.34%，雙磁偶極子模型的最大相對(duì)誤差為3.38%。

然后，驗(yàn)證三種模型在近場(chǎng)條件下的效果，結(jié)果如表2所示。可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)測(cè)量點(diǎn)靠近螺線管時(shí)，傳統(tǒng)的單磁偶極子模型誤差明顯增大，在測(cè)量點(diǎn)上的最大相對(duì)誤差達(dá)到了25.67%，而磁偶極子陣列模型和對(duì)其簡(jiǎn)化后的雙磁偶極子模型仍然保持了較高的精度水平。其中，磁偶極子陣列模型的最大相對(duì)誤差為3.79%，雙磁偶極子模型的最大相對(duì)誤差為3.84%。磁偶極子陣列模型簡(jiǎn)化成雙磁偶極子模型后，精度基本保持一致，證明簡(jiǎn)化后的模型能夠很好的描述螺線管在全區(qū)域的磁場(chǎng)分布。

表1 遠(yuǎn)場(chǎng)下模型的驗(yàn)證結(jié)果Tab.1 Validation results of the model in remote-field

表2 近場(chǎng)下模型的驗(yàn)證結(jié)果Tab.2 Validation results of the model in near-field

最后，考察近場(chǎng)條件下，不同螺線管磁場(chǎng)分布模型的定位精度。由式(6)可知，雙磁偶極子模型在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在xoy平面上的投影滿(mǎn)足式(8)：

式中，Rd、 hd、M都為已知的雙磁偶極子模型參數(shù)。同理，由式(2)可知，單磁偶極子模型在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在xoy平面上的投影滿(mǎn)足式(9)：

由式(8)(9)可知，若已知測(cè)量點(diǎn)的俯仰角φ0，則可利用磁通門(mén)傳感器測(cè)得的x軸方向和y軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度解算出測(cè)量點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，能夠明顯看出，在近場(chǎng)條件下，使用雙磁偶極子模型定位的精度相對(duì)單磁偶極子模型的精度，有較大提高。由圖8可知，雙磁偶極子模型的最大定位誤差為0.003 m。

根據(jù)以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在近場(chǎng)條件下，相對(duì)傳統(tǒng)的單磁偶極子模型，雙磁偶極子模型具有更高的精度，能夠更加準(zhǔn)確地描述螺線管的磁場(chǎng)分布，進(jìn)而提高了近場(chǎng)區(qū)域低頻交變磁場(chǎng)定位的精度。

表3 近場(chǎng)條件下模型的定位結(jié)果Tab.3 Position results of the model under near-field

圖8 定位誤差曲線Fig.8 Positioning error curve

3 結(jié) 論

針對(duì)低頻交變磁場(chǎng)定位的螺線管磁場(chǎng)分布建模問(wèn)題，本文提出了一種基于雙磁偶極子的建模方法。該方法首先將螺線管等效為排布規(guī)律的磁偶極子陣列，利用模擬退火算法搜索最優(yōu)模型參數(shù)，來(lái)擬合螺線管的磁場(chǎng)分布，提高了模型的精度。在磁偶極子陣列模型的基礎(chǔ)上，本文將其簡(jiǎn)化成了兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的磁偶極子，最終得到了易于位置解算的雙磁偶極子模型。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：?jiǎn)未排紭O子模型在遠(yuǎn)場(chǎng)最大相對(duì)誤差為4.66%，在近場(chǎng)最大相對(duì)誤差為25.67%；雙磁偶極子模型在遠(yuǎn)場(chǎng)的最大相對(duì)誤差為 3.38%，在近場(chǎng)區(qū)域的最大相對(duì)誤差為 3.60%，證明雙磁偶極子模型保持了單磁偶極子模型遠(yuǎn)場(chǎng)精度高的同時(shí)，進(jìn)一步提高了近場(chǎng)的精度。同時(shí)在近場(chǎng)區(qū)域時(shí)，利用雙磁偶極子模型定位的最大定位誤差相比單磁偶極子模型最大定位誤差下降了90.26%。因此，本文提出的基于雙磁偶極子的建模方法能夠有效地改善螺線管磁場(chǎng)分布模型，提高近場(chǎng)區(qū)域低頻交變磁場(chǎng)定位精度。