基于雙磁偶極子的螺線管磁場建模分析

謝陽光，李清華，解偉男，李新年

（1.中國航空工業集團公司 西安自動飛行控制研究所，西安 710065；2.哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001）

近年來，隨著經濟的不斷發展，人們對導航定位的需求不斷提高，然而，在復雜的環境，如地下、室內等，由于GPS信號較弱的穿透力，導致用戶常常接收不到位置信號，而慣性導航會產生誤差積累[1]，同樣不適合長時間使用，因此需要提供一種穩定、可靠、無累積誤差的高精度定位方法。低頻交變磁場擁有穿透力強，誤差不會隨時間累積等優點[2-4]，在提供復雜環境下的定位服務上展現了巨大的潛力。低頻交變磁場通常由螺線管產生，為了獲得位置信息，往往需要利用目標位置的磁特征量之間的相互關系。因此螺線管的磁場分布建模是低頻交變磁場定位的關鍵技術，在定位解算中發揮著重要的作用。

研究表明，單磁偶極子模型在遠場能夠保持較高的精度[5]，但是在近場時，誤差明顯增大。為了得到電機中圓柱永磁體精確磁場分布模型，Hungsun等[6]在研究了DMP等效法和單磁偶極子等效法的基礎上，提出將永磁體等效為排列規則磁偶極子陣列，并根據永磁體特性設置目標函數和約束條件，進而確定和優化模型參數，仿真證明該方法能夠有效提高磁場模型的精度。戴忠華等[7]通過分析磁偶極子等效磁矩的收斂性，得到了磁性物體單磁偶極子模型的適用條件，在2.5倍磁體長度以外的空間，使用單磁偶極子模型近似磁性物體，才能保證較高的精度。

為了解決在近場條件下，單磁偶極子模型誤差較大導致的低頻交變磁場的定位精度低的問題，本文提出了一種基于雙磁偶極子的螺線管磁場分布模型。首先利用對稱的兩個磁偶極子陣列來模擬螺線管的磁場分布，然后將復雜的求解磁矩過程轉換為利用模擬退火算法獲取最優模型結構參數。為了降低模型用于定位解算時的復雜度，將磁偶極子陣列簡化為磁偶極子，最終得到了易于定位解算的雙磁偶極子模型。

1 螺線管磁場分布建模

1.1 磁偶極子陣列模型

在研究磁性物體的磁場分布時，通常將其等效為一個或多個磁偶極子單元的組合。磁偶極子是磁場研究的基本單位之一，可以將磁偶極子近似看作半徑為R的圓形載流回路[8]。設環境中的磁導率為μ0，圓形載流回路的電流為I，則根據畢奧-薩伐爾定律，如圖1所示，中心高度為h的磁偶極子在空間中任意一點P(r,φ0,θ0)處，產生的磁感應強度三軸分量的表達式如式(1)所示：

其中，r為目標點P到坐標原點O的相對距離，φ0為俯仰角，θ0為相對方位角[9]。

圖1 磁偶極子模型Fig.1 Magnetic dipole model

由鐵磁學理論可知，磁體的磁性是由大多數磁性單元的磁矩方向趨向一致而產生的，因此在磁矩收斂的條件下，這種一致性共同作用的磁場能夠等效為一個總磁矩產生的磁場。傳統的單磁偶極子模型的原理就是將螺線管等效為一個在螺線管中心位置的圓形磁偶極子，數學表達式如式(2)所示，其中M為等效磁矩的大小。螺線管實物圖如圖2所示，由于螺線管的物理原因，在靠近螺線管的區域，不能簡單利用磁偶極子來等效[10-11]，因此傳統的單磁偶極子模型在近場并不適用。為了解決近場精確定位問題，本文利用多個磁矩已知、排列規律的磁偶極子來建立螺線管磁場分布模型。

圖2 雙軸螺線管Fig.2 Dual-axis solenoid

磁偶極子陣列模型的結構如圖3所示，將螺線管等效為關于xoy平面對稱的兩個磁偶極子陣列，其中原點O為螺線管的中心。每個磁偶極子陣列有等距排列的k層，各層之間的間隔為d1。每層有同心的n個磁偶極子，如圖4所示，相鄰磁偶極子的半徑相差d2。因此初始設定好d1、d2，則只需要通過調整k和n，就能得到不同結構的磁偶極子陣列模型。

根據式(1)可知，當磁偶極子陣列模型的參數k和n已知時，可以計算出磁偶極子陣列模型在目標位置P(r,φ0,θ0)產生的磁感應強度Bn，其三軸分量如式(3)所示：

式中，Bx(i,j)為上方的磁偶極子陣列的第i行、第j列個磁偶極子在目標位置產生的x軸方向磁場，Bx′(i,j)為下方的磁偶極子陣列的第i行、第j列個磁偶極子在目標位置產生的x軸方向磁場，其余同理；hi為磁偶極子陣列中第k行磁偶極子相對于原點的高度絕對值，有hi=h0+(i- 1)d1，h0為磁偶極子的基準高度；Rj為磁偶極子陣列中第n列磁偶極子的半徑，有Rj=R0+ (j- 1)d2，R0為磁偶極子的基準半徑。

圖3 磁偶極子陣列模型Fig.3 Magnetic dipole array model

圖4 磁偶極子陣列橫截面Fig.4 Cross section of magnetic dipole array

設磁通門傳感器在目標位置測得的磁感應強度為Bm。定義磁偶極子陣列模型在某已知點產生磁場的相對誤差e為：

為了提高模型的精度，防止模型過擬合，可以利用多個點的相對誤差均值E作為目標函數：

為了最小化目標函數，得到最優的磁場分布模型，可以利用模擬退火算法對模型進行優化。具體步驟如下：

① 設置初始模型參數為 (k0,d0)，并令其為當前最優解。設初始退火溫度為T0，最小溫度為Tmin，衰減系數為α以及每個溫度下的迭代次數為L；

② 從當前的最優解(kn,dn)開始進行迭代，在當前最優解的鄰域隨機產生新解 (kn+1,dn+1)，然后計算其對應的目標函數值E(kn,dn)，進而能夠得到當前目標函數值增量 ΔE=E(kn+1,dn+1)-E(kn,dn)；

③ 如果ΔE＜0，則接受新解 (kn+1,dn+1)作為當前溫度Tn下的最優解，否則將以概率P= e xp(- ΔE/T)接受該解作為當前最優解；

④ 判斷當前最優解的目標函數值是否滿足模型的精度要求，如果滿足則輸出當前最優解為最優模型參數，否則，繼續搜索新解；

⑤ 重復進行步驟②～④，當迭代次數達到L時，利用衰減系數α進行退火操作，使得Tn+1=αTn，然后繼續進入迭代過程。當目標函數滿足精度要求或溫度達到最小溫度Tmin時，停止迭代，當前最優解記為最優模型參數。

相對于其它的優化方法，模擬退火算法的優點是其優化結果與初始值設置無關，然而為了進一步提高算法的速度，可以根據螺線管的規格，使設定的初始模型參數 (k0,d0)接近真實模型。

1.2 雙磁偶極子模型

低交變磁場定位的原理是根據目標位置測得磁感應強度特征量[12-14]，利用磁場分布模型解算出位置信息，因此需要將磁偶極子陣列模型的數學表達式進行簡化。由圖3可知，在磁偶極子陣列模型中，各個磁偶極子排列規則，所以可以將兩個磁偶極子陣列各自等效為一個磁偶極子，得到如圖5所示的雙磁偶極子簡化模型。

簡化后的雙磁偶極子模型在空間中任意點產生的磁感應強度三軸分量如式(6)所示：

式中：M為磁偶極子的磁矩，可以用線圈磁矩M = N ? I? S 來描述，N為線圈匝數，S為等效電流環的面積，有 S =πRd2； Rd和 hd分別為簡化后磁偶極子的半徑和中心所在的高度。

圖5 雙磁偶極子模型Fig.5 Dual magnetic dipoles model

磁偶極子陣列模型的橫截面示意圖如圖4所示，其中，R0為磁偶極子的基準半徑，Rn為第n列磁偶極子的半徑。由于磁偶極子的半徑和高度遠遠小于目標位置到原點的距離r，則由式(3)可知，當目標點確定時，磁偶極子陣列模型在三軸方向上產生的磁感應強度與近似成正比，且受hj的影響較小。因此雙磁偶極子模型中，磁偶極子的半徑 Rd為磁偶極子陣列模型中任意一行上n個磁偶極子半徑的均方根值，高度 hd可以設為任意一列上k個磁偶極子中心高度的平均值，即：

為了確定雙磁偶極子的等效磁矩，還需要確定模型簡化后磁偶極子的等效匝數。由于在簡化數學表達式的過程中，對參數做了近似處理，因此如果直接令等效匝數為磁偶極子陣列中的磁偶極子數N = k ? n，會導致簡化后的模型精度下降，因此可以設置閾值ε，通過遍歷N的ε鄰域，返回使得目標函數E最小化的參數N，得到磁偶極子的磁矩M。將 Rd、 hd、 M帶入

圖6 實驗系統結構圖Fig.6 Experimental system schematic structure

式(6)，得到基于雙磁偶極子的螺線管磁場分布模型。實驗系統結構圖如圖6所示。

1.3 基于三角函數擬合的信號辨識方法

由于環境中存在著諸多干擾磁場，包括地磁場、工頻磁場等，磁通門傳感器采集到的三軸磁場均不能直接用于螺線管磁場模型評估，需要采取措施抑制干擾，提高磁場的測量精度。

一種可行的方法是利用三角函數擬合對磁場信號進行辨識。向螺線管中通入正弦電流，由式(3)可知，在空間中任意位置能夠產生正弦變換的磁場信號，則磁通門傳感器x軸采集到的磁場信號可以表示為：

其中，Bx(t)為待檢測信號，Nx(t)為噪聲信號，Ax和φx分別為螺線管激磁信號幅值和相位，設參考信號為：

則根據相關原理，對于一個正弦信號周期T內的N個測量數據有：

因此，辨識出的正弦信號參數為：

同理，對傳感器另外兩個軸向采集到的數據進行信號辨識，最后，能夠得到準確的三軸磁場幅值，則在該點由螺線管激磁產生的總磁場強度為：

將經過信號辨識后的測量數據帶入模擬退火算法進行模型參數優化，能夠進一步提高磁場分布模型的精度。

2 實驗驗證

本節分別使用單磁偶極子模型、磁偶極子陣列模型、雙磁偶極子模型對同一螺線管的磁場分布進行建模。實驗系統如圖7所示，本實驗使用的螺線管，軸向長度為35 cm，直徑15 cm，銅線的電阻為4 Ω。實驗所采用的傳感器為西安華舜公司生產的三軸磁通門傳感器，分辨率0.1 nT，線性度≤0.01%。為了提高磁場測量的精度，向螺線管通入頻率為2 Hz，幅值為3 A的電流，因此目標位置的磁場由頻率為2 Hz的正弦磁場和干擾磁場組成，利用三角函數擬合技術，對磁通門傳感器采集到的磁場數據進行辨識，得到在目標位置精確的螺線管激磁產生的總磁場強度。

圖7 實驗系統Fig.7 Experimental system

為了考察模型在不同區域的有效性，在空間中分別選取了近場和遠場兩組測量點集。首先，分別考察三種模型在遠場條件下的效果，驗證結果如表1所示。可以發現當測量點遠離螺線管時，三種螺線管磁場模型都能夠保持較高的精度，其中，單磁偶極子模型的最大相對誤差只有 4.66%，磁偶極子陣列模型的最大相對誤差為 3.34%，雙磁偶極子模型的最大相對誤差為3.38%。

然后，驗證三種模型在近場條件下的效果，結果如表2所示。可以發現當測量點靠近螺線管時，傳統的單磁偶極子模型誤差明顯增大，在測量點上的最大相對誤差達到了25.67%，而磁偶極子陣列模型和對其簡化后的雙磁偶極子模型仍然保持了較高的精度水平。其中，磁偶極子陣列模型的最大相對誤差為3.79%，雙磁偶極子模型的最大相對誤差為3.84%。磁偶極子陣列模型簡化成雙磁偶極子模型后，精度基本保持一致，證明簡化后的模型能夠很好的描述螺線管在全區域的磁場分布。

表1 遠場下模型的驗證結果Tab.1 Validation results of the model in remote-field

表2 近場下模型的驗證結果Tab.2 Validation results of the model in near-field

最后，考察近場條件下，不同螺線管磁場分布模型的定位精度。由式(6)可知，雙磁偶極子模型在空間任意點產生的磁感應強度在xoy平面上的投影滿足式(8)：

式中，Rd、 hd、M都為已知的雙磁偶極子模型參數。同理，由式(2)可知，單磁偶極子模型在空間任意點產生的磁感應強度在xoy平面上的投影滿足式(9)：

由式(8)(9)可知，若已知測量點的俯仰角φ0，則可利用磁通門傳感器測得的x軸方向和y軸方向的磁感應強度解算出測量點到原點的距離。實驗結果如圖8所示，能夠明顯看出，在近場條件下，使用雙磁偶極子模型定位的精度相對單磁偶極子模型的精度，有較大提高。由圖8可知，雙磁偶極子模型的最大定位誤差為0.003 m。

根據以上的實驗結果可以看出，在近場條件下，相對傳統的單磁偶極子模型，雙磁偶極子模型具有更高的精度，能夠更加準確地描述螺線管的磁場分布，進而提高了近場區域低頻交變磁場定位的精度。

表3 近場條件下模型的定位結果Tab.3 Position results of the model under near-field

圖8 定位誤差曲線Fig.8 Positioning error curve

3 結 論

針對低頻交變磁場定位的螺線管磁場分布建模問題，本文提出了一種基于雙磁偶極子的建模方法。該方法首先將螺線管等效為排布規律的磁偶極子陣列，利用模擬退火算法搜索最優模型參數，來擬合螺線管的磁場分布，提高了模型的精度。在磁偶極子陣列模型的基礎上，本文將其簡化成了兩個對稱的磁偶極子，最終得到了易于位置解算的雙磁偶極子模型。

實驗結果表明：單磁偶極子模型在遠場最大相對誤差為4.66%，在近場最大相對誤差為25.67%；雙磁偶極子模型在遠場的最大相對誤差為 3.38%，在近場區域的最大相對誤差為 3.60%，證明雙磁偶極子模型保持了單磁偶極子模型遠場精度高的同時，進一步提高了近場的精度。同時在近場區域時，利用雙磁偶極子模型定位的最大定位誤差相比單磁偶極子模型最大定位誤差下降了90.26%。因此，本文提出的基于雙磁偶極子的建模方法能夠有效地改善螺線管磁場分布模型，提高近場區域低頻交變磁場定位精度。