數(shù)理統(tǒng)計方法在證券投資中的運用

張凌睿

摘要：當(dāng)今金融市場上，證券價格、交易量等信息的數(shù)量巨大。通過定性分析投資者獲取超額收益越來越困難。在投資分析中，合理利用數(shù)學(xué)方法已經(jīng)成為一種比較有效的分析方法。將證券收益率作為隨機變量，引入數(shù)學(xué)期望和方差的概念，通過理論分析和實例分析相結(jié)合，對兩個證券組合的投資狀況進行了數(shù)學(xué)度量，并對其相關(guān)性進行了實證分析，證明了相關(guān)系數(shù)對投資風(fēng)險的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)理統(tǒng)計 ?證券投資 ?應(yīng)用 ?收益

一、引言

金融市場主要由貨幣市場、資本市場、外匯市場和黃金市場構(gòu)成，證券市場則是其中的重要組成部分。股票市場的基本功能是融資、資本定價和資本配置。股票投資也是投資的重要組成部分。對證券投資者而言，面對證券價格、成交量、公司基本面等大量信息，單純的定性和判斷越來越難以獲得超額收益。通過數(shù)學(xué)方法的合理運用，可以更好地引導(dǎo)人們客觀、理性地認識和總結(jié)投資規(guī)律，提高投資的收益。通過幾種常用的統(tǒng)計分析方法，對數(shù)理統(tǒng)計在證券投資中的實際應(yīng)用進行了分析。

伴隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，人們的證券、期貨、股票投資觀念發(fā)生了變化，如何用最少的人力、財力實現(xiàn)利潤的最大化顯得尤為重要。生活中，有的人每天在電腦前看股票市場行情，但是仍然不能得到很好的回報，而有的人只需定期分析股票的走勢，然后用自己的數(shù)學(xué)知識去判斷方向，就可以得到較高的回報。雖然其他因素也不能排除，但是數(shù)學(xué)知識的運用卻顯得尤為重要。經(jīng)濟學(xué)的數(shù)學(xué)化已逐漸成為不可阻擋的趨勢，數(shù)學(xué)知識的重要性日益凸顯。尤其是近十年來，隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，金融、保險等經(jīng)濟學(xué)科的應(yīng)用日益廣泛。隨機性事件的概率論研究在經(jīng)濟領(lǐng)域的發(fā)展越來越快，體現(xiàn)了它強大的功能和效率。當(dāng)代實證經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展甚至可以說是概率統(tǒng)計知識在經(jīng)濟模型中的具體應(yīng)用。概率論和數(shù)理統(tǒng)計之所以能夠迅速地被應(yīng)用到經(jīng)濟領(lǐng)域，是因為它們的特點和優(yōu)點：第一，概率論強調(diào)事物處于不可能事件和必然事件之間，即事物出現(xiàn)的概率在（0，1）之間，這與經(jīng)濟現(xiàn)象的現(xiàn)實相吻合;第二，它具有嚴格、精確的邏輯推理，并且利用已有的概率論模型或概率論定理，得出新的結(jié)果，用直覺上難以或不易得出的結(jié)論來解釋經(jīng)濟現(xiàn)象的本質(zhì)。概率論理論在經(jīng)濟學(xué)中的運用，使經(jīng)濟學(xué)成為一門更加規(guī)范的科學(xué)，更加符合經(jīng)濟行為的規(guī)律，使人們能夠從更深的層次找到兩者之間的聯(lián)系。

二、證券投資的含義

第一，我們理解證券的概念，證券就是證券持有者用證券獲得一定的收益。例如股票、債券、本票、匯票、支票、保險單、存單、提單等都是證券。按照證券的性質(zhì)，證券可以分為兩類：有價證券和憑證式證券。在這些權(quán)利中，有價證券是指具有一定面值，能證明持有者有權(quán)按規(guī)定時間獲得一定收益，能自由轉(zhuǎn)讓和交易的所有權(quán)或債權(quán)憑證，基本形式是股票和債券。這些債券可以分為公司債券，國庫券和不動產(chǎn)抵押債券。證券本身并無價值，只因其能為持有者帶來一定的股息或利息收入，因而可在證券市場上自由交易流通。

然后，我們開始了解股票市場。證交所是買賣證券商品的市場，是買賣股票、公司債券、政府債券及其他有價證券的地方。股票交易所通過發(fā)行各類證券，吸收長期資金，向政府和企業(yè)提供財政資金和長期資金。具體地說，它包括兩個部分：證券發(fā)行市場和證券交易市場。總體而言，證券市場屬于長期金融市場（或資本市場），是其中的一個組成部分。證券市場的交易形式可分為股票市場和債券市場，它們分別由發(fā)行市場和流通市場構(gòu)成。

股市可以分為一級市場和二級市場。發(fā)行市場也稱為一級市場，是指投資者、出資人和發(fā)行人（通常是投資銀行）共同組成的新證券發(fā)行市場。其發(fā)行模式分為公開和非公開兩種。投資銀行向社會中的非特定投資者出售證券;而在公開發(fā)行中，投資銀行或募集機構(gòu)直接向特定投資者發(fā)行證券。在發(fā)行新的證券時，投資者以低于證券面值的價格購買證券，稱為折價發(fā)行;投資者以等于證券面值的價格購買證券，稱為平價發(fā)行;投資者以高于證券面值的價格購買證券，稱為溢價發(fā)行。但是對股票來說，他們只會以面值或溢價發(fā)行。

第二類市場是證券發(fā)行后的轉(zhuǎn)讓與流通市場。證券在二級市場交易的價格稱為證券市場價格，相當(dāng)于預(yù)期當(dāng)前證券收益對市場利率的比率。二級市場按其組織形式可以分為證券交易所和場外交易市場。一般來說，只有信譽好、資金雄厚的大企業(yè)發(fā)行的證券（或政府債券）才有資格在本所上市，而那些沒有資格在本所上市的證券只能在場外交易市場進行交易。

證交所的業(yè)務(wù)范圍主要包括：組織上市證券的管理、提供上市證券的集中交易場所、辦理證券的集中結(jié)算交割、提供上市證券的交易信息、進行證券的集中交易;經(jīng)證交所批準(zhǔn)或授權(quán)的其他證券業(yè)務(wù)。股票投資是指投資者（法人或自然人）為獲得股息、利息和資本收益而購買證券，如股票、債券、基金債券及其他衍生產(chǎn)品的投資行為和過程，這是間接投資的重要形式之一。它具有如下特征：證券投資具有很強的市場競爭力，它是一種風(fēng)險投資，能給證券帶來預(yù)期的收益;投資與投機是證券投資活動中不可或缺的兩個方面;證券投資二級市場不會增加總的社會資本，而是在持有者之間重新分配。股票投資具有以下功能：股票投資是社會籌集資金的重要渠道;股票投資有助于規(guī)范資本投資方向，提高資金使用效率，引導(dǎo)資源合理流動，實現(xiàn)資源優(yōu)化配置;股票投資有助于改善企業(yè)經(jīng)營管理，提高企業(yè)經(jīng)濟效益和社會知名度，促進企業(yè)行為合作;股票投資為中央銀行實施金融宏觀調(diào)控提供了重要手段，對促進國民經(jīng)濟持續(xù)高效發(fā)展具有重要意義;股票投資有助于促進國際經(jīng)濟交流。

三、證券投資組合的重要性

投資收益水平和風(fēng)險大小是證券投資者最關(guān)心的問題，投資者在選擇投資策略時，希望收益越大風(fēng)險越小。但高回報與高風(fēng)險相伴，投資者只能選擇在給定收益率的情況下盡可能降低風(fēng)險的投資策略;或在愿意承擔(dān)風(fēng)險的情況下追求盡可能提高總收益率的目標(biāo);他們還可以權(quán)衡利弊，做出自己滿意的投資決定。投入的資金越大，風(fēng)險就越大。關(guān)鍵是如何采取多種防范措施和方法來降低投資風(fēng)險。減少風(fēng)險的有效方法是組合投資，即投資者選擇一組證券，而非一種證券作為投資對象，再將資金按不同比例分配于各種證券，從而達到分散風(fēng)險的目的。債券投資不能簡單地將基金分為購買證券的幾個品種，而應(yīng)該是一個最佳的投資組合。這就是說，在這樣的組合中，收益是確定的，風(fēng)險是最小的，或者說，風(fēng)險是確定的，收益是最大的。

四、我國證券業(yè)統(tǒng)計方法應(yīng)用現(xiàn)狀

伴隨著我國證券市場的不斷發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計方法在證券領(lǐng)域的研究與應(yīng)用也日益深入。在證券領(lǐng)域中，數(shù)理統(tǒng)計方法的研究與應(yīng)用主要從股票定價、證券資產(chǎn)組合、證券資產(chǎn)風(fēng)險分析以及市場分析等幾個方面展開。就股票定價模型而言，通常可分為五種模式：實物資產(chǎn)定價模式、財務(wù)比率預(yù)測定價模式、企業(yè)基礎(chǔ)理論定價模式（包括零增長、穩(wěn)定增長和多重增長）、資本資產(chǎn)定價模式和比較分析定價模式。在此基礎(chǔ)上，本文提出了三個新的定價模型，分別是：基于股票特性的定價模型、基于股票理論價值度量的定價模型以及基于區(qū)間分析的定價模型。本文提出的8種股票定價模型考慮了各種情況下股票價值的確定。

近代證券投資理論是證券投資與統(tǒng)計結(jié)合的典型實例。股票投資理論是西方股票投資分析的一個重要組成部分。事實上，它是金融理論與數(shù)理統(tǒng)計相結(jié)合而形成的新興交叉學(xué)科。本文研究的模型包括：均值差模型、無風(fēng)險借貸擴張模型、單指標(biāo)模型、多指標(biāo)模型、資本資產(chǎn)定價模型、特征模型、套利定價模型、效率市場檢驗等幾個方面的統(tǒng)計模型。股票投資的收益主要取決于股票投資組合的質(zhì)量，好的資產(chǎn)組合能帶來可觀的收益，壞的資產(chǎn)組合會造成資金的損失。因而，對證券組合的研究和應(yīng)用成為數(shù)理統(tǒng)計在證券領(lǐng)域中的一個熱點問題。

現(xiàn)有的新出現(xiàn)的投資組合模型包括：穩(wěn)定分布假設(shè)與組合模型、最小損失概率原理與風(fēng)險資產(chǎn)組合模型、多組合投資風(fēng)險模糊極小化方法、無風(fēng)險利率變化下的組合優(yōu)化方法、無風(fēng)險貸款下的組合優(yōu)化方法等。將統(tǒng)計學(xué)方法應(yīng)用于證券組合風(fēng)險及可行性分析，主要是通過數(shù)理統(tǒng)計方法的研究與應(yīng)用實現(xiàn)的。通過分析，投資者可以更好地理解中國股票市場的行為，做出理性的投資決策。

五、證券投資中數(shù)理統(tǒng)計分析方法

一般而言，理性投資者在進行投資決策時最關(guān)心的兩個指標(biāo)是：投資收益和投資風(fēng)險。因為投資收益受到很多因素的影響，所以它可以被看作是一個隨機變量。隨機性實驗中，每個可能結(jié)果的概率與結(jié)果乘積。客觀地反映了隨機變量的均值;自然得可以用隨機變量的數(shù)學(xué)期望來描述和反映平均投資收益。數(shù)理期望越大，期望收益率就越高，利潤就越大。所以，當(dāng)我們知道了收益分布函數(shù)或者用歷史數(shù)據(jù)擬合了收益分布時，就可以用隨機變量的期望計算方法計算出預(yù)期收益。如果R是一個離散的隨機變量，并且其分布規(guī)律是p{R=rk}=PK，那么預(yù)期收益e（R）=∑∞k=1rkpk;如果R是一個連續(xù)的隨機變量，并且其概率密度函數(shù)是f（R），那么預(yù)期收益e（R）=+∞_RF（R）Dr。

我們通常把價格或收益的波動和極值的出現(xiàn)視為投資的風(fēng)險。研究表明，方差可用于測量隨機變量與它們的數(shù)學(xué)期望（即平均）之間的偏差。所以用方差來衡量風(fēng)險是適當(dāng)?shù)模讲羁梢院饬繉嶋H收益和預(yù)期收益之間的偏差。若R是一個離散的隨機變量，則方差2=e（R2）-[e（R）]2;若R是一個連續(xù)的隨機變量，則方差2=BA=[R-e（R）]2F（R）Dr。在進行投資決策時，有理性的人只需要判斷收益與風(fēng)險的比率，他們就能購買具有高預(yù)期收益與低風(fēng)險的證券。但在大多數(shù)情況下，這兩個因素都不能被考慮在內(nèi)，只能通過投資偏好或其他指標(biāo)進行判斷。

證券投資組合的投資判斷是在實際投資中，我們經(jīng)常會遇到多種可投資證券，那需要證券組合。為簡化分析過程，本文主要對兩種證券組合進行分析。如果投資者面臨的是A、B兩類不同風(fēng)險收益的證券，就需要進行組合投資。假定配給比例為x，1-x（0≤x≤1），配給的證券分別為A和B。只需將它分為兩種情況。

首先，如果E（A）>E（B），而σ2（A）<σ2（B），那么A證券的預(yù)期收益率比B高，而風(fēng)險（方差）小于B，那么我們應(yīng)該全倉配置A證券，而不是B證券，此時即x=1。

當(dāng)E（A）>E（B）時，σ2（A）>σ2（B）時，是第二種情況。在這個時候，高收益和低風(fēng)險不可兼得，合適的組合是必需的。這個組合的預(yù)期收益是：

E（Porfolio）=E[xA+（1-x）B]=xE（A）+（1-x）E（B）

變異數(shù)：θ2（porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+2σ2（B）

在這里，我們利用上面的兩個式子求x，即：dE（Porfolio）dx=E（A）-E（B）>0

可見，導(dǎo)函數(shù)大于零，即預(yù)期收益率隨x的增大而增大。如果x=1，則預(yù)期收益率最高，E（A）。

d2σ（Porfolio）

Dx=2xσ2（A）+2（1-x）σ2（B）-4xρσ（A）σ（B）+2ρσ（A）σ（B）上式可解為：x1=02（B）-ρσ2（A）σ2（B）σ2（A）-2ρσ2（A）-2α（A）σ2（B）+σ2（B）

結(jié)果表明，當(dāng)x=x1時，σ2（Porfolio）求得最小值，也就是組合的方差和風(fēng)險均為最小。因此，在第二種情況下，通過合理配置，可以實現(xiàn)低風(fēng)險投資。

組合風(fēng)險相關(guān)系數(shù)的影響。如果E（A）>E（B），那么σ2（A）>σ2（B）。復(fù)合方差是：

θ2（Porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+（B）

結(jié)果表明，相關(guān)性也會影響風(fēng)險大小。dρ=2x（1-x）σ（A）σ（B）>0

所以風(fēng)險隨著ρ的增大而增大。由于ρ的取值范圍為[1，1]，因此兩種證券是完全相關(guān)的。也就是ρ=1，是最危險的。當(dāng)相關(guān)系數(shù)減小時，當(dāng)兩種證券都完全為負相關(guān)時，某些風(fēng)險就會“分散”，也就是說，當(dāng)ρ=-1時，風(fēng)險就會減小。上述說明就是我們常說的“請勿將雞蛋放在同一籃子”的理念。現(xiàn)實生活中，在多個概率變量之間，完全線性且不存在正相關(guān)ρ<1的情形。

[xσ（A）+（1-x）σ（B）]2（σ2（Porfolio）

所以，如果將這些因素結(jié)合在一起，部分的“分散”（也就是部分的風(fēng)險）將被“集中”。但注意，即使在多個隨機變量之間，也不完全與線性負相關(guān)，ρ>-1的情況下，風(fēng)險通常被認為是σ2（Porfolio）][xσ（A）-（1-x）σ（B）]2≥0，盡管通過投資組合投資可以降低風(fēng)險，但通常無法消除風(fēng)險。

六、結(jié)束語

金融業(yè)的發(fā)展極大地提高了貨幣等資本的流動性，實現(xiàn)了資源的有效合理配置，促進了經(jīng)濟活動和金融體系的健康運行和發(fā)展，成為國民經(jīng)濟發(fā)展不可缺少的經(jīng)濟中介。證券收益率是一種隨機變量形式。本文利用數(shù)理統(tǒng)計中的一些概念和關(guān)鍵指標(biāo)，對不同要求的證券組合投資進行了實證研究。可想而知，隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，跨學(xué)科的蓬勃發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計在金融投資領(lǐng)域的應(yīng)用將會越來越廣泛。

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作者單位：重慶工商大學(xué)