數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的構(gòu)建

萬(wàn)洪剛

小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的啟蒙時(shí)期，是在整個(gè)學(xué)習(xí)的旅程中起到關(guān)鍵作用的一個(gè)階段，因此要加以重視。學(xué)生早在幼兒園時(shí)，就已經(jīng)接觸了一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有了一個(gè)初步的了解。在小學(xué)時(shí)期，學(xué)生開(kāi)始正式接觸數(shù)學(xué)這門學(xué)科，開(kāi)始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。這個(gè)跨越是具有一定難度的。因此，在小學(xué)時(shí)期，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)就顯得尤為重要了。在這個(gè)關(guān)鍵的時(shí)期，可以引入模型思想。教師可以通過(guò)一些有效的方式，讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想，使學(xué)生在日常學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中，形成嚴(yán)密清晰的思維，從而讓頭腦具有一定的邏輯性，增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，將學(xué)生正式引上數(shù)學(xué)這條道路。

一、在具體的問(wèn)題中進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

小學(xué)時(shí)期學(xué)習(xí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思想，主要就是為了解決問(wèn)題。通過(guò)這種數(shù)學(xué)模型的思想，讓學(xué)生在問(wèn)題的解決中可以很輕松地找到一些方法。每一個(gè)問(wèn)題都有著自己的解決方法，因此就有著各自的數(shù)學(xué)建模方向。雖然方向是不同的，但是，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思想在本質(zhì)上還是相同的，在一般情況下可以分為五步：第一步是對(duì)要解決的問(wèn)題進(jìn)行了解;第二步是將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，并且將其簡(jiǎn)化為一種固定的模式;第三步是根據(jù)分析與簡(jiǎn)化后的問(wèn)題，建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;第四步是對(duì)于該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解;第五步是對(duì)于求出的解來(lái)進(jìn)行檢測(cè)，通過(guò)檢測(cè)判定是否符合問(wèn)題，答案是否正確。通過(guò)這些具體的步驟，可以形成一種建模的基本思維過(guò)程，從而解決特定的問(wèn)題。

舉個(gè)例子，在學(xué)習(xí)人教版三年級(jí)上冊(cè)《正方形的周長(zhǎng)》一課時(shí)，就可以建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思想。第一步，教師先在黑板上畫一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的正方形，引導(dǎo)學(xué)生求出正方形的周長(zhǎng)是2+2+2+2=8厘米，然后在黑板上分別畫出邊長(zhǎng)是3厘米與4厘米的正方形，引導(dǎo)學(xué)生求出它們的周長(zhǎng)。第二步，讓學(xué)生觀察這些數(shù)值，然后提出問(wèn)題：你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，求正方形的周長(zhǎng)時(shí)，有什么樣的特點(diǎn)？根據(jù)上面求出的三個(gè)正方形的周長(zhǎng)，讓學(xué)生說(shuō)出自己的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的關(guān)系。第三步，是根據(jù)教師與學(xué)生的猜想來(lái)建立一個(gè)模型，即正方形的周長(zhǎng)等于4倍的邊長(zhǎng)。最后，也就是第四步，來(lái)驗(yàn)證教師與學(xué)生建立的模型，選取任意邊長(zhǎng)的幾個(gè)正方形，用普通的方法求出它們的周長(zhǎng)，再用建立出的模型來(lái)求出它們的周長(zhǎng)，將得出的結(jié)果進(jìn)行比較，看一看是否吻合。這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的建模過(guò)程。通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生建立一個(gè)求周長(zhǎng)的初步模型，來(lái)解決這一系列的問(wèn)題，從而形成一種具體的思路，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率與解決問(wèn)題的能力。

二、在學(xué)習(xí)中建立起數(shù)軸模型，增強(qiáng)數(shù)字學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性

小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容大多數(shù)都是與認(rèn)識(shí)數(shù)字相關(guān)。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)，還有正數(shù)、負(fù)數(shù)等各種各樣的數(shù)字。這些數(shù)對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的困難，并且雜亂無(wú)章，沒(méi)有系統(tǒng)性，讓學(xué)生非常頭疼。這時(shí)，教師可以引入數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生對(duì)這些數(shù)建立一個(gè)模型，即數(shù)軸模型。在數(shù)軸中將這些數(shù)表示出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)這些數(shù)的位置有一個(gè)具體的概念，在建立數(shù)軸模型的過(guò)程中充分了解這些數(shù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的性質(zhì)，從而總結(jié)出一些規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形成一個(gè)較深入的理解。

例如：在人教版五年級(jí)的學(xué)習(xí)中，有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等。學(xué)生對(duì)這幾種數(shù)概念的理解存在著一定的難度，常常混淆，也不理解其中的內(nèi)涵。因此，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，教師可以讓他們建立一個(gè)數(shù)軸模型，將這些數(shù)一次性標(biāo)在數(shù)軸上，例如說(shuō)，1/2，0.5，50%，2/5，0.4等。通過(guò)把它們標(biāo)注在數(shù)軸上，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，從而加強(qiáng)對(duì)這些數(shù)的理解。這樣在做題中，學(xué)生的思路也會(huì)具有一定的深度，增強(qiáng)其解決問(wèn)題的靈活性和對(duì)于數(shù)的理解以及計(jì)算的能力，更容易發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的性質(zhì)與特點(diǎn)。因此，可以在日常學(xué)習(xí)數(shù)字的過(guò)程中引入數(shù)軸模型，加強(qiáng)學(xué)生的理解，完成在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的建構(gòu)。

三、通過(guò)方程教學(xué)實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)的諸多內(nèi)容都是關(guān)于數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，因此，對(duì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的理解，具有至關(guān)重要的意義，其中比較重要的一種就是方程模型。在方程的教學(xué)中，教師要著重提高學(xué)生建構(gòu)方程模型的思想。對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的方式進(jìn)行引導(dǎo)，要增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用方程模型的思路。首先，要向?qū)W生介紹這種用字母來(lái)代替數(shù)字的方式。這類字母是一種特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)，數(shù)字與這些字母間存在著一定的關(guān)系，要想掌握方程模型的思想，就要弄清楚其中的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)從數(shù)字與數(shù)字之間的計(jì)算到使用字母代替數(shù)字解決問(wèn)題之間的跨越。要讓學(xué)生做好這一部分的銜接，從思維上接受這一種解決問(wèn)題的方式，讓學(xué)生真正了解其中的內(nèi)涵，了解這種抽象的方式。用建構(gòu)方程模型的方式解決問(wèn)題，還要求學(xué)生深刻地理解問(wèn)題所表達(dá)的內(nèi)容，將這些實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，讓它變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，將這些問(wèn)題用數(shù)字符號(hào)建立起一定的數(shù)量關(guān)系，即一種相等的關(guān)系，從而完成對(duì)問(wèn)題的解答。

建構(gòu)方程模型主要有三個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。首先，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理解，將問(wèn)題中的數(shù)量提煉出來(lái)，找到它們之間的關(guān)系，并且設(shè)定相應(yīng)的未知數(shù)，用字母表示;其次，就是根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)的這些數(shù)字之間的關(guān)系列出等式;最后，就是對(duì)所列出的等式方程進(jìn)行求解，求解之后，還要將求出的數(shù)字代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)。通過(guò)這三步來(lái)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)方程模型，讓學(xué)生通過(guò)方程模型來(lái)解決問(wèn)題。舉個(gè)例子，在人教版五年級(jí)上冊(cè)的練習(xí)題中有這樣一道題：超市購(gòu)進(jìn)兩種牛奶共880箱，A種牛奶是B種牛奶的三倍，問(wèn)A、B兩種牛奶各有多少箱？就可以通過(guò)以上步驟來(lái)建立方程模型，解決問(wèn)題。第一步，找出等量關(guān)系，就是兩種牛奶加起來(lái)等于880箱，設(shè)出未知量，設(shè)B種牛奶有x箱，A種牛奶是3x箱;第二步，根據(jù)所找到的等量關(guān)系列出方程，即x+3x=880;第三步，方程求解，求出x=220，再代入方程檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果正確，由此可以求出B種牛奶有220箱，A種牛奶有220×3=660箱。通過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的練習(xí)，讓學(xué)生掌握這種利用方程模型解決問(wèn)題的方法，形成建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思路。

四、通過(guò)掌握變量的思想了解函數(shù)模型

函數(shù)模型在小學(xué)中涉及的內(nèi)容較少，僅僅涉及了正比例與反比例函數(shù)。函數(shù)不僅僅是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在高中的學(xué)習(xí)中也具有比較重要的地位。因此，在小學(xué)中就要使這種思維滲透到學(xué)生解決問(wèn)題的方式中去，讓小學(xué)生對(duì)函數(shù)模型具有一個(gè)初步的了解，形成一種變量的思維模式，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的建構(gòu)。例如說(shuō)，在教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)習(xí)正比例與反比例函數(shù)時(shí)，教師可以通過(guò)各種方式讓學(xué)生理解其中變量的一些思想。可以在課堂上讓學(xué)生觀看;可以通過(guò)讓學(xué)生觀看正比例、反比例的函數(shù)上變化的數(shù)組或者是圖像，并且在觀察這些具有變化規(guī)律例子的同時(shí)，提出問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種變量的思想。例如說(shuō)，通過(guò)觀察，你們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字之間有怎樣的關(guān)聯(lián)呢？或者是這兩組數(shù)據(jù)是成正比例還是反比例呢？為什么？你能夠舉出一些正比例或者是反比例的例子嗎？在學(xué)生回答之后再加以總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生的理解，使其充分體會(huì)變量的思想。從小學(xué)開(kāi)始給學(xué)生灌輸變量的思維，讓學(xué)生初步了解函數(shù)模型，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的建構(gòu)，為以后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

隨著時(shí)代的發(fā)展與科技的進(jìn)步，在教學(xué)中需要改革與創(chuàng)新來(lái)適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。數(shù)學(xué)模型可以有效地提高解決問(wèn)題的效率，是數(shù)學(xué)思想中一個(gè)比較重要的內(nèi)容，而這種解決問(wèn)題的方法也廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，并且起到非常重要的作用。因此，在小學(xué)時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思想，不管對(duì)學(xué)生當(dāng)前解決問(wèn)題還是以后的學(xué)習(xí)都是至關(guān)重要的。然而，讓學(xué)生建立起這種重要的思維模式不是一蹴而就的，需要各個(gè)方面的努力才能實(shí)現(xiàn)。通過(guò)以上所提到的措施，讓數(shù)學(xué)建模滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的方方面面，加強(qiáng)學(xué)生模型思想的建構(gòu)，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生在掌握方法的同時(shí)，提高理解問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并且在解決問(wèn)題的同時(shí)，思維方式、探究能力等多個(gè)方面都得到有效的提高。