初中數學分類討論思想在解題中的有效應用探討

黃美芬

（廣州市第一一三中學 廣東·廣州 510000）

初中階段，數學一直是一個大的學科，涵蓋知識面廣泛，且與生活密切相關。然而數學的解題思維也非常多而靈活，甚至每一題都可以有不同的解題思路，這種靈活既帶給學生更多的解題機會，也讓他們在不得法的情況下充滿困惑。一旦學生對解題思想應用不靈，就會受到阻礙難以將題解下去。這也是筆者將分類討論思想從眾多解題法中挑選出來分析的部分原因。分類討論的思想能夠幫助學生更好地捋順復雜問題的邏輯，因而分析該解題思想，對學生的數學思維提升意義非凡。

1 為樹立分類討論的思想創設環境

分類討論思想本身是對解題思維的策略變換，需要有更和諧、活躍的氣氛來帶動，因而，教師要想辦法為該思想的樹立創設環境。

1.1 學生主體地位彰顯

想讓課堂變得活躍，就要讓活躍的主體性因素，即學生充分發揮主觀能動性。只有讓學生成為課堂的主動參與者，不再被動接受，才能把他們的情緒調動起來，思維調動起來。教師可以在充分尊重學生潛力的前提下，將自身角色隱退為“幕后指使者”，轉變授課模式和思路，幫助學生“放下心來”，從而讓環境更有利于學生的思考。

1.2 學生思考氛圍保障

學生的思考需要有效的情境引導。教師應該充分發揮自身的導向作用，把好思考方向。同時，環境的有利于思考并不意味著絕對的自由化，導致學生與教師地位的翻轉過分被夸大。教師應該給予學生適度的自由，讓他們發揮主觀作用的同時，保持學習時間和探究的不偏題，不離題，并維護好課堂秩序。

2 分類討論思想的深化策略

2.1 思想在日常中樹立

分類討論思想其實不僅可以針對具體習題來解題，還是學生看待和探究其他許多問題的基本思路。它是幫助人們對復雜事物進行多角度剖析的辯證性思想，具有普遍的指導意義。因此，教師完全可在日常教學中看好時機進行滲透，以幫助學生順利樹立起分類討論的思想。如，在學習有關角的問題時，學生就常常遇到判斷不明的問題。這類問題通常會給出一個角的度數，以及與它有鄰邊的角的度數，但是不相鄰的一邊卻充滿不確定性。另一邊究竟在角度內，還是在角度外，就成了值得探究，值得討論的問題。

2.2 思想在設問中錨點

分類討論思想雖然是未解決復雜問題而生的，但它本身卻并不復雜，而且具有規律可循。尤其是對于一些需要用到分類討論法進行解題的數學題，在其設問中就可窺見一些引導性信號。這些問題雖然不一定明說解題情況的多角度性，但是只要學生肯細心發現、稍加分析，就能夠掌握一二。如，下面這個例題就是方法“提示”較為明顯的典型題。

在甲乙兩個城市當中，電信公司分別成立了移動通信業務。在甲城市當中，用戶月租費為15元，每分鐘通話0.3元，在乙城市當中，用戶在辦理移動通信業務時，不需要繳納月租費，但是每分鐘通話費用比甲城市貴0.3元，為0.6元每分鐘。在此條件下，我國設用戶一個月需要通話X分鐘，甲乙兩個城市需要繳納的通信業務費用為y1、y2。

（1）試問 y1、y2與 x 之間的函數關系；（2）該用戶辦理哪種通信業務較為合適。

這道題中，第一問比較簡單明了，可列出 y1=0.3x+15,y2=0.6x。但第二問就相對復雜了，雖然問題沒有直接說要使用分類討論的思想解決問題，但是根據問題中的“你認為哪種”幾個字已經可以判斷出情況不止一種，屬于復雜情況，所以該題適合用分類討論的方法解題。我們首先假設甲乙兩城的通信費用相同，y1=y2，得出x=50。因此改題目有兩種情況：（1）當用戶通話時長小于50分鐘，選擇乙城通信業務更為劃算；（2）如果用戶的通話時長大于50分鐘，那么選擇甲城通信業務較為劃算。

2.3 思想在解題中滲透

分類討論也是一種數學題型，教師應該適當對其中的規律進行匯總。這樣能使學生更全面地掌握出題方向，從而站在俯視的角度、主動的位置上解題。因此，教師在具體的解題中，要注意幫助學生分析該思想的出題點，讓他們將分類討論思想摸清、吃透。例：現有兩個等腰三角形，已知第一個等腰三角形兩個邊分別長為10厘米與8厘米，第二個等腰三角形的兩個邊分別長為7厘米與3厘米，分別求出兩個等腰三角形的周長。

教師在引導學生對該例題進行解答時，首先要引導學生掌握等腰三角形的性質，對題目當中給出的三角形的邊長進行探索，明確邊的性質。題目當中雖然給出了邊的長度，但是對于那個長度是腰，哪個長度是底邊并沒有明確，因此在解答過程中，首先要考慮哪三天線段可以構成等腰三角形。基于此，要對該題目進行分類討論。

解析：

（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構成三角形；

當腰長為8時，周長為8+8+10=26；

當腰長為10時，周長為10+10+8=28；

故這個三角形的周長為26cm或28cm。

（2）當腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構成三角形；

當腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；

故這個三角形的周長為17cm。

由上可知，當三角形腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論。同時，教師要在引導學生解題的過程中注意，分類討論各種情況時，一定要明確題目當中給出的限定條件，驗證構成等腰三角形的三邊關系，這也是一個前提條件。

2.4 思想在實踐中強化

任何沒有實踐指導的理論都將是空談，因此，對于分類討論思想的教學應用，教師必須引導和帶領學生多訓練，在實踐中去強化它，最終實現對它的應用自如。尤其是數學中的許多題型都是千變萬化的，就不同的角度，可以拓展出無限新題。這也是數學的魅力所在。所以強化分類討論思想，教師要能夠帶領學生適應數學題的這種千變萬化。以下的舉例，就是由上一點分析中的例題變化而來。

變式1：現已知等腰三角形頂角與底角不能確定，一個角為另一個角的四倍，對該等腰三角形進行分類討論，求出該三角形的內角度數。

解析：

（1）當底角是頂角的4倍時，設頂角為x，則底角為4x，

∴4x+4x+x=180°，∴x=20°，∴4x=80°，

于是三角形的各個內角的度數為：20°，80°，80°。

（2）當頂角是底角的4倍時，設底角為x，則頂角為4x，

∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴4x=120°，

于是三角形的各個內角的度數為：30°，30°，120°。

因此三角形各內角的度數為：20°，80°，80°或 30°，30°，120°。

變式2：如果該三角形的高不能明確，那么需要對等腰三角形的高與另一邊夾角為25°進行分類討論，求這個三角形的各個內角的度數。

解析：

設AB=AC，BD⊥AC；

（1）高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的內部，

∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

（2）當高與另一腰的夾角為25°時，高在△ABC內部時，

當∠ABD=25°時，∠A=90°-∠ABD=65°，

∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

高在△ABC外部時，∠ABD=25°，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，

∴∠BAC=180°-65°=115°，

∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

故三角形各內角為：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或 115°，32.5°，32.5°。

變式3：由腰的垂直平分線所引起的分類討論在△ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角B的度數。

分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；

解：（1）AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40°，則∠A=90°-∠ADE=50°，

∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點D，∠ADE=40°，則∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°

故∠B的大小為65°或25°。

變式4：由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分成差為3cm的兩部分，求腰長。

解析：

∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，

（1）當（AB+AD）-（BC+CD）=3時，則AB-BC=3，

∵BC=5∴AB=BC+3=8；

（2）當（BC+CD）-（AB+AD）=3時，則BC-AB=3，

∵BC=5∴AB=BC-3=2；

但是當 AB=2 時，三邊長為 2，2，5；

而2+2＜5，不合題意，舍去；

故腰長為8。

以上幾個變式抓住了三角形的不同側面屬性，進行了合理的問題拓展，也讓我們看到分類討論思想運用的普遍性。教師如能在學生深刻記憶基礎上，再引導他們自創習題，則為教學效果最佳。

3 結束語

對于一種思想從陌生到熟悉，再到熟練應用，是需要漫長的滲透過程的。教師要以春風化雨的耐心，在實際教學中幫助學生在日常中樹立、在設問中錨點、在解題中滲透、在實踐中強化該思想，讓一切教學開展有章法可循，不能急于見到成效。筆者在文中提及的策略具有一定實踐意義，希望能對初中數學的相關教學起到借鑒作用，也希望隨著人們對數學思維的縱深研究，能有更多、更好的教學方法涌現。