中考熱門壓軸題之二次函數角的轉化與化歸

孫宇

【摘要】二次函數是連接初中數學和高中數學的重要橋梁，同時涉及幾何與代數的相關知識.二次函數問題在初中階段基本以幾何為主，學生不僅要對基本的代數轉化熟練掌握，對幾何也要有全面的認知.在二次函數綜合題中，角的轉化與化歸是最重要的考點之一.這種題型是無錫中考壓軸題的熱門題型，也是重點題型，但是大部分學生不能熟練掌握.本文對二次函數中直角關系的轉化與化歸、倍角關系的轉化、角的和差關系分別進行討論與研究.

【關鍵詞】二次函數;轉化與化歸;直角關系;倍角關系;和差關系

一、直角關系的轉化與化歸

1.理解二次函數中的直角關系

直角關系是二次函數角的轉化問題中最基本的題型之一，也是中考中最經典、考查最頻繁的考點之一.在平面直角坐標系中，點的坐標表示與直角關系有著天然的聯系，最基本的解題方法是“K型”相似，這也是初中幾何問題的最重要解題方法之一.基本上，只要出現直角關系，解題思路就大概率是作坐標軸的垂線或平行線，構造“K型”相似，將問題轉化為對點坐標的求解.另一種解題方法常用于直角關系存在性問題中——利用“直徑所對圓周角是直角”來進行解答.這種題型出現的概率比較小，但是學生要有一定的積累.

2.重點例題分析

例1 已知：如圖1所示，一次函數y=kx-1的圖像經過點A（35，m）（m>0），與y軸交于點B，點C在線段AB上，且BC=2AC.過點C作x軸的垂線，垂足為點D，若AC=CD，

（1）求這個一次函數的表達式;

（2）已知一開口向下，以直線CD為對稱軸的拋物線經過點A，它的頂點為P，若過點P且垂直于AP的直線與x軸的交點為Q-455，0，求這條拋物線的表達式.

理解分析 這道題是2018年無錫中考壓軸題.這一題的難度不是很大，題目設置比較常規，但是考查的內容和解答方法很全面，而且考生需要自己作圖.在第（1）題中，過點B作BE⊥CD，過點A作AF⊥BE，AG⊥CD，垂足分別為E，F，G，則∠BEC=∠BFA=90°.利用“K型”相似，即△BEC∽△BFA.將斜線段比BC=2AC轉化為坐標之間的關系，可以得到BE=25，則點C坐標為（25，25k-1），所以AG=5.同理易得△AGC∽△BEC，則CG=5k，而AC=CD=25k-1，在Rt△ACG中，利用勾股定理可得（25k-1）2=5+5k2，則k=255（負值舍去）.解這一問時需要注意及時將斜線段比進行轉化，利用“K型”相似直接將問題和點的坐標聯系起來，這是無錫中考的必考點，基本上年年都出現.

對于第（2）題，由第（1）題可得C（25，3），可設二次函數表達式為y=a（x-25）2+n（a<0）.畫出圖像（如圖2所示），由“K型”相似可得△PNA∽△QMP，則QMPN=PMNA，即n1455=5n-5，則n=7（負值舍去）.最后代入A（35，5），則a=-25.所以拋物線表達式為y=-25（x-25）2+7.回顧第（2）題的解答過程，可以發現，這就是一道很典型的利用“K型”相似求解的題目：已知直角，過直角頂點作坐標軸垂線（或平行線），構造“K型”相似，代入點的坐標（線段長），最終得到正確的解.

3.綜合分析

二次函數中有關直角關系的題目最常用的也是最基本的解題方法就是“K型”相似，對于涉及“直角關系”存在性的問題，可利用圓周角與直徑的關系進行解答.在解答過程中，我們要對函數的表達式進行合理的變形（交點式、頂點式），使得計算更加簡單，有時可以達到消元的目的.在直角坐標系中，線段的比值關系可由“K型”相似轉化為坐標的關系，這是無錫中考必出的一個考點.若題設中的是含參數的二次函數表達式，則先寫出對稱軸，然后進行消元，利用線段比求出函數表達式與x軸的交點坐標，將拋物線表達式寫成交點式.在解答這類綜合題的過程中，我們不僅要關注題設條件和解答方法，還要通過回顧與反思來理解題目的本質結構.解題研究，尤其是中高考試題的分析研究，是一個非常廣闊又頗具吸引力的領域.

二、倍角關系的轉化與化歸

1.二次函數中倍角關系的理解

在江蘇近幾年的中考題中，倍角關系的轉化占有重要地位，成為2018年揚州卷、常州卷等中考壓軸題.其中倍角關系的轉化方法巧妙又靈活，我們經常利用等腰三角形或二次函數的對稱性進行轉化，這一題型考查考生對幾何圖形的綜合理解與分析.

二次函數中的倍角關系題經?？疾榈闹R點是二倍角的關系.遇到二倍角關系的相關題目時，我們常用的解題方法是：二次函數（等腰三角形）對稱性轉化;構造等腰三角形，利用外角進行轉化;角平分線法.

那么三倍角的關系呢？如圖3所示，若∠ABC=3∠BAC，則該如何轉化？我們進行如下構造：設∠ABC=3θ，將∠ABC三等分，則∠BAD=∠DBA=θ，∠BDC=∠DBC=∠ABF=2θ，∠BFC=∠ABC=3θ，從而得到兩組母子三角形相似：△ABF∽△BDF，△BFC∽△ABC.三倍角關系的處理更加需要技巧，這一點在試題中也有所體現.

2.重點例題分析

例1 如圖4所示，二次函數y=-ax2+2ax+c（a>0）的圖像交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，過A的直線y=kx+2k（k≠0）與這個二次函數圖像交于另一點F，與其對稱軸交于點E，與y軸交于點D，且DE=EF.設二次函數圖像頂點為P，連接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函數的表達式.

理解分析 這一題是2017年無錫中考模擬題.題設中出現了倍角的關系.首先寫出對稱軸——直線x=1，A點坐標為（-2，0），B點坐標（4，0），則拋物線表達式寫成交點式y=-a（x+2）（x-4），進行消元，則c=8a.由于DE=EF，則F（2，8a），與點C對稱，且k=2a，進一步得到P（1，9a），D（0，4a），利用二次函數的對稱關系，則∠CPF=2∠CPE=2∠DAB，所以tan∠CPE=1a=tan∠DAB=4a2，從而a=22.回顧這一題的求解過程，思路清晰明了，利用二次函數對稱關系將倍角轉化為等角關系，然后利用正切值（本質上是坐標三角形相似）求得結果.這一題也體現了消元的重要作用：方便理解點與點之間的關系（點C與點F的對稱關系）;簡化計算過程.

例2 如圖5，二次函數y=-13x2+bx+2的圖像與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A的坐標為（-4，0）.連接AC，BC，判斷∠CAB與∠CBA的數量關系，并說明理由.

理解分析 這一題是2018年常州卷的壓軸題.連接相關線段，我們基本可以得到∠CBA=2∠CAB.根據這樣的關系，我們作點B關于y軸的對稱點B′，如圖所示.由題易得B（32，0），C（0，2），A（-4，0），則B′-32，0，則AB′=52=B′C，所以∠ACB′=∠CAB，利用外角關系則得到∠CB′B=2∠CAB，則∠CBA=2∠CAB.這一題的解答過程簡潔明了，有點讓人驚訝.實際上，這一題求證的倍角關系本質上是通過構造等腰三角形，利用等腰三角形的外角來進行求解的.這種求解方法是倍角轉化問題中的重要解題方法之一，在很多相關題目中都可以使用.

3.綜合分析

二倍角關系的轉化方法總體而言有三種.第一種是通過二次函數對稱關系轉化為等角關系來進行求解，如例1.這種方法在2018年揚州卷的壓軸題中出現過，有興趣的讀者可以自行探究.第二種就是通過構造等腰三角形外角關系進行轉化，再利用相似三角形（母子三角形相似）、勾股定理等方法求解.這兩種方法是解決二倍角關系的經典方法，也是應用廣泛的方法.第三種是利用角平分線進行二倍角關系的轉化.如例2，可以作∠CBA的角平分線交y軸于點E，證明∠OBE=∠CAB.這種解答方法也是特別好用的，讀者可以自行解答.當然二倍角的關系還包括一種關系——同弧所對圓心角是圓周角的二倍.這一考點在二次函數中很少涉及.有一道題經典題可以利用這一知識點解答，讀者可自行探究，題目如下：

【變式】在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2-4mx+n（m>0）與x軸交于A，B兩點（點A在原點左側），與y軸交于點C，且OB=2OA，連接AC，BC.

（1）若△ABC是直角三角形，求n的值;

（2）將線段AC繞點A旋轉60°得到線段AC′，若點C′在拋物線的對稱軸上，請求出此時拋物線的函數表達式.

三、角的和差關系的轉化與化歸

1.二次函數中角的和差關系的理解

對于角的和差關系，正常情況下我們都是利用三角形的外角來進行轉化來得到母子三角形相似的（注意其與坐標三角形之間的緊密聯系）.還有一類題目需要將所求轉化為特殊角（45°）或等角關系，再根據等角關系進行求解（正切值、相似三角形等）.

2.重點例題分析

例1 如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，O為坐標原點.設點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長.

理解分析 這一題是2017年無錫模擬試題，典型的角的和差關系轉化.根據題設條件，易得∠CBA=45°.當點P在x軸上方時，發現并不能將角的和差關系進行相應轉化，但當點P在x軸下方時，延長CA，發現有外角關系存在.如圖6，過點P作PD垂直于CA延長線，垂足為D，則∠OPA+∠OCA=∠CBA=∠DAP=45°，則△DAP為等腰直角三角形，可以構造“K型”全等.直線AC：y=3x+3，設P（0，t），D（m，3m+3），則-m=-（3m+3）3m+3-t=-1-m，解得m=-32，t=-2.所以P（0，-2），則CP=5;由對稱性可得當P在x軸上方時，P（0，2），則CP=1.這一題也可以利用相似三角形求得結果，即△CAO∽△CPD，讀者可自行解答.總結反思這一題，我們需要對題設條件有充分的認識，明確∠CBA=45°，將角的和差關系與三角形外角聯系起來，這樣求解起來就比較簡單.如果糾結點P位于x軸上方對應的關系，那么會讓自己走進死胡同出不來，要利用對稱關系重新尋求突破口.

3.綜合分析

角的和差關系在二次函數中考查的頻率不是很高，一般的解答方法就是利用三角形外角進行轉化，得到母子三角形相似，從而進行相應的求解.題目難度加大后，會出現其與等角的轉化，此時要特別注意其與坐標三角形內角的正切值和45°這一特殊角之間的聯系.總而言之，在解答過程中，學生要始終保持冷靜，要運用數學思想方法，不能過于關注“述”而輕視“法”、忽略“道”，要善于總結與反思，透過現象看清本質.

【參考文獻】

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